曲线的轨迹方程求解策略数学教学培训课件PPT

1、基础知识说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。六种轨迹六种轨迹求解方法求解方法相关点法直接法定义法参数法点差法交轨法定义法定义法：定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定 义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲 线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。解题思路:一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线， 圆、椭圆、双曲线、抛物线等 二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。定义法圆:椭圆:双曲线:抛物线

2、:121 222PFPFaaF F121 222PFPFaaF FPFd(d-动点到定直线的距离)PMr(M为定点,r0)请说出下列曲线的定义。请说出下列曲线的定义。定义法例1:若一动圆P与圆M:(x+3)2+y2=1和圆N:(x-3)2+y2=9都相外切，则动圆圆心P的轨迹方程为 .) 1( 18:22, 3, 1, 22P, 6MN2PM-PNPMPN, 3PN, 1PM,P:22xyxbcaarrr轨迹方程为且，的轨迹为双曲线的左支动圆圆心由双曲线的定义可得：且的半径为设动圆解定义法变式:若一动圆P与圆M:(x+3)2+y2=1和圆N:(x-3)2+y2=9都相内切，则动圆圆心P的轨迹方

3、程为 .) 1( 18:22, 3, 1, 22P, 6MN2PN-PMPNPM, 3PN, 1PM,P:22xyxbcaarrr轨迹方程为且，的轨迹为双曲线的右支动圆圆心由双曲线的定义可得：且的半径为设动圆解定义法变式:若一动圆P与圆M:(x+3)2+y2=1和圆N:(x-3)2+y2=9其中一个内切，其中一个外切，则动圆圆心P的轨迹方程为 .154:5, 3, 2, 42P6MN4PN-PM, 6MN4PN-PM, 3-PN, 1PMMP, 6MN4PM-PN, 3PN, 1PMMP,P:22yxbcaarrrrr轨迹方程为且的轨迹为双曲线，动圆圆心由双曲线的定义可得：且外切时，与圆当动圆

4、且内切时，与圆当动圆的半径为设动圆解双曲线左支双曲线右支定义法例例2:2:已知圆已知圆M M:(:(x x+4)+4)2 2+ +y y2 2=100=100内一点内一点N N(4,0),(4,0),P P为圆上的动点，为圆上的动点，D D为为NPNP的中点的中点, ,线段线段NPNP的垂直平分线交直线的垂直平分线交直线MPMP于于E,E,求点求点E E的轨迹方程。的轨迹方程。yxMNPEDOENEPNPDEEN:的垂直平分线，为线段直线，连接解的轨迹是椭圆，由椭圆的定义知：又E8MN10MPEPEMENEM1925E, 3, 4, 5,10222yxbcaa的轨迹方程为定义法变式变式: :已

5、知圆已知圆M M:(:(x x+4)+4)2 2+ +y y2 2= =3636外外一点一点N N(4,0),(4,0),P P为圆上的动点，为圆上的动点，D D为为NPNP的中点的中点, ,线段线段NPNP的垂直平分线交直线的垂直平分线交直线MPMP于于E,E,求点求点E E的轨迹方程。的轨迹方程。xMNDPyEENEPNPDEEN:的垂直平分线，为线段直线，连接解，的轨迹是双曲线的左支由双曲线的定义知：又E8MN6MPEMEPEMEN) 3( 179E,7, 4, 3, 6222xyxbcaa的轨迹方程为xMNDPyE正确吗？的轨迹是双曲线，由双曲线的定义知：又E8MN6MPEMEPEME

6、N定义法例3:已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求 出满足下列条件的动点P的轨迹方程. （1）PAB的周长为10; （2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;定义法 解解(1)(1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10， 即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P点的轨迹是点的轨迹是椭圆椭圆， 且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b= ， 因此其方程为因此其方程为 （y0y0）. . （2 2）设圆）设圆

7、P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r， 因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为点的轨迹为双曲线的右支双曲线的右支， 且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a=a= ,c=2,b=,c=2,b= ， 因此其方程为因此其方程为定义法例例4 4：E E为椭圆为椭圆 上一动点上一动点, ,M M、N N为椭圆的两个焦点，从椭为椭圆的两个焦点，从椭圆任一焦点引圆任一焦点引MENMEN外角平分线的垂线外角平分线的垂线, ,垂足为垂足为D D, ,求点求点D D的轨迹方程

8、。的轨迹方程。 221259xyMNExDyOP25D5),0 , 0(OD51021ENME21EPME21MP21ODMP21ODMPODMNOEPENNPDDPNDEDPEDNEDNPNEPEDODPMEND:22yxr的轨迹方程为半径的轨迹为圆，圆心为由圆的定义可知：点）（）（且的中点，为又的中点，为的角平分线，且为，连接于点交直线延长解定义法1.1.如图所示如图所示: :ABCABC顶点为顶点为A A(-5,0),(-5,0),B B(5,0), (5,0), ABCABC的内切圆圆的内切圆圆心在直线心在直线x x=3=3上上, ,求顶点求顶点C C的轨迹方程。的轨迹方程。练习练习E

9、BxAODCFyx=3I解： 设ABC的内切圆分别切AC、AB、BC于D、E、F. 则 , ,8AEAD2BEBFCDCF因为 826CACBCDDACFFBADFBAB所以所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(扣除顶点)，故其方程为2213916xyx定义法练习练习直接法直接法直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些 条件简单明确，易于表述成含条件简单明确，易于表述成含x,yx,y的等式，就得到轨迹的等式，就得到轨迹 方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一

10、 般有般有建系建系, ,设点，列式，化简，验证设点，列式，化简，验证五个步骤，最后的五个步骤，最后的 验证可以省略，但要注意验证可以省略，但要注意“挖挖”与与“补补”( (舍去不满足舍去不满足 条件的点或者说明取值范围条件的点或者说明取值范围) )。解题思路：解题思路：根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。直接法.,259,),05(),05(的的轨轨迹迹方方程程求求顶顶点点于于所所在在直直线线的的斜斜率率之之积积等等边边，的的两两个个顶顶点点坐坐标标分分别别是是CBCACBAABC 例例1:1:则有则

11、有的坐标为的坐标为解：设顶点解：设顶点),(yxC5,5 xykxykBCAC25955 xyxy由由题题意意知知092525922 yx化化简简得得192522 yx即即) 5( x)5( x)5( x顶点顶点C C的轨迹方的轨迹方程是什么曲线？程是什么曲线？表示焦点在X轴，但不包含左右两个顶点的椭圆直接法变式：已知一曲线是与两个定点变式：已知一曲线是与两个定点O(0,0)O(0,0)、A(3,0)A(3,0)距离的比为距离的比为1:2 1:2 的点的轨迹的点的轨迹, ,则此曲线的方程是则此曲线的方程是_._.22(1)4xy则有的坐标为解：设曲线上的点),(yxP2222) 3(,yxPA

12、yxPO21)3(2222yxyxPAPO由题意知4) 1(22yx化简得直接法例2:如图，圆O1与圆O2的半径都是1，丨O1O2丨=4过动点P分别作圆 O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM= PN， 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.2解:以O1O2的中点O为原点，其所在直线为x轴.如图建立坐标系，则O1（-2，0）O2（2，0）由条件 PM2=2PN2,而|Q1M|=|Q2N|=1.O.03121)2(2)2(),(. 12).1(2122222222212221为所求轨迹方程化简得得设即xyxyxyxyxPPOPOPOPO直接法直接法相关点法相关点法相关点法

13、: :动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动 点点P(x,y)P(x,y)却随另一动点却随另一动点Q(xQ(x，y)y)的运动而有规律的运动而有规律 的运动，且动点的运动，且动点Q Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x,yx,y表示为表示为x,yx,y的式子，再代入的式子，再代入Q Q的轨迹方程，然的轨迹方程，然 而整理得而整理得P P的轨迹方程，代入法也称相关点法。的轨迹方程，代入法也称相关点法。解题思路：解题思路：相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个点随着主动点运动而运动（被动）相关

14、点法重心G随点P运动而运动，而P在已知曲线椭圆上相关点法的轨迹方程。的中点为垂足，求线段，轴作垂线段向，从圆上任意一点已知圆例PMNNMNxMyx4. 2222.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-4-3-2-11234PNOM)0 ,(),(),(P:111xNyxMyx则设解yyxxx22MNP111的中点，为1444M22222111yxyxyyxx轨迹方程为：在圆上，代入可得：点相关点法.,2,),1 , 4(432点的轨迹方程求点满足是抛物线上任意一点及点已知抛物线：例PPBAPPBAxy解)34(38)31(2434)213(4,4213243221224)22 ,

15、22() 1, 4(2),() 1, 4(),(),(2212121111111111xyxyxyxyByyxxyyyxxxyyxxyxPBAPyyxxPByxAPyxPyxB整理得上在抛物线又得则设相关点法例3:如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。)2 ,2(),(),(P:1111yyxxNyxQyx则设解代入得：上在直线点2222)2 ,2(1111yyxxyxyyxxN垂直直线又0, 11, 2PQ1111xyyxxxyyyx01222212321121232211yxyxyxyyxx代入双曲线可得：联立可得相关点法相关点

16、法参数法参数法参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之 间的关系，则可借助中间变量（参数），使间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,yx,y之间建之间建 立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点 轨迹方程。轨迹方程。解题思路:求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利 用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化 为寻求变量间的关系。参数法例例1.1.已知点已知点P P在直线在直线x=2x=2上移动，直线上移动，直线l l通过原点且和通过原点且和OPOP垂直，通垂直，通过

17、点过点A A（1 1，0 0）及点）及点P P的直线的直线m m和直线和直线l l相交于相交于Q Q，求点，求点Q Q的轨迹方程的轨迹方程. .PO A 2 XlmQ解：如图设OP所在直线的斜率为k，则点P的坐标为（2，2k）. 由lOP 得直线l的方程为x+ky=0. 直线m的方程为y=2k(x-1). 点Q（x,y）是直线 和直线m的交点，由联立，消去k，得点Q的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(x1).消去参数k参数法参数法参数法交轨法交轨法交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如 求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建 立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。立这