2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题

1、高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题三角函数的图象和性质例 1 已知向量i=(2cos 3X, 1), = (sin ox-cos 3,2),其中 3>0,函数/(x)=i + 3, 若函数/(X)图象的两个相邻对称中心的距离为全求函数.f(x)的单调递增区间；(2)将函数/(X)的图象先向左平移G个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;，得 到函数g(x)的图象，当x弟，同时，求函数g(x)的值域.解 由题意可得二加十3=2cos 3r(sin cox - cos cox) -2 + 3=2sin coxcos cox - (2cos2cyx - 1)=sin 2co

2、x - cos 2cox=y2sin2cox -：).由题意知，T二言二兀，得3二1 ,则/(%)二啦 sinl2x-：).由 2kn -2k兀十3，kWZ ,解得履-十毛，kGZ , oo/(x)的单调递增区间为履-E十三(k£Z).将的图象向左平移二个单位长度，得到y =啦sin(2x十的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的3 ,得至Ig(x)= V2sin( 4.v + 的图象.4v+r- -1 * |_6 ' 2J，小+412，4，-lWsin(4x + k乎,故函数g(x)的值域为-啦,1.思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y=As

3、inx十 叫十k的形式，然后将t = cox +(p视为一个整体，结合y = sin t的图象求解.跟踪训练 1 设 / (a)=2/3sin(7rx)sin x-(sin x-cos x)2.求函数.f(x)的单调递增区间；(2)把函数y=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象 向左平移矜单位长度，得到函数尸以x)的图象，求的值.解 由 f(X)= 2小sig - x)sin x - (sin x - cos x)2=2-/3sin2x - (1 - 2sin xcos x)=a/3( 1 - cos lx)十 sin 2x - 1=sin 2x -9c

4、os 2a + -3 - 1=2sin(2T - T J + /-1.由 2kn -2k兀十我£Z),乙JJ彳导女兀-十含keZ).由知/=2sin(2x,-窈+5-1 ,/£2)(或(女冗-Y5 , br + D(k£Z).把），二f（X）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到y = 2six - § +小-1的图象， 再把得到的图象向左平移衿单位长度, 得到y = 2sin x + y/3 - 1的图象， 即 g（x） = 2sin x + y）3 - 1.所以g圉=2sin奈+小-I=小.A4-C 例2 （12分）（2019全

5、国ni）ZA5c的内角A, B,。的对边分别为a, b, c已知asin”一=bsinA.求以（2）若AABC为镜角三角形，且c=l,求而积的取值范围.规范解答解（1）由题设及正弦定理，A + C彳导 sin Asin- = sin Bsin A ,2 分A + C因为 sin A H0,所以 sin = sin B.A + C b 由 A + 5 + C = 180° ,可得 sin = cos , 3 分故 cos y = 2sin 5cos -.5 分Rn 1因为 cos 5KO ；故 sin 5 = 5，因此 B = 60°.6 分 (2)由题设及(1)知aABC的

6、面积S.MBC =；wsin B -坐8 分 由兀市础 ,曰 csinA sin(120c - C) 小 1由正弦XE理，有“二不泡=sin C= 舟十刊°分1 由于A8C为锐角三角形，故0。490。，0°C90°.所以 0°<120° - C<90° ,所以 30。<。<90。,41 勺 | H小c 也 故5，2 ,从而立5/丽亍.因此，AABC面积的取值范围是口2分第一步：利用正弦定理将边角关系转化为角之间的关系；第二步：通过角之间的关系sin W=sin 8转化为cos |=sin B,进而求出8；第三步

7、：将三角形的面积转化为只含一个变量的函数s=¥；第四步：利用正弦定理把"转化为然后通过题中条件求出。的范围，进而得 Zldll C L出，的范围，最后得出面积S的范围.跟踪训练2 (2020南充诊断)ZkABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c己知8=45。，b=-/To» cos C=.(1)求 a：设。为AB边的中点，求CO的长.解 由题意得cos C -,sin2c + cos2C = 1,0<C<n ,V5 = 45° tA + B + C=n r/. sin A = sin(B + C) = sin 8cos C + c

8、os Bsin C一汨 10，工由返定理卷二焉，得二3"(2)方法一 .在AABC中,由余弦定理得c2二月十"2 一 2abeos C = 4 rJ. AB = c = 2，:BD = AD 二 1 ,;在O8C中，CD2 = BD2 + BC? - 2BDXBCXcos 8=13,，CD=g.方法二 延长CD到E点，使CD二DE,连接AE, BE,则四边形ACBE为平行四边形.V (2CD)2 = BE2 + BC2 - 2BEXBCcos(n - ZACB) = 52 ,三角函数和解三角形的综合应用例3 (2020琴城名校联盟联考)已知函数/(x)=2cos2x+(si

9、n x+cos x)22.求/(X)的最大值及取得最大值时X的集合：(2)在AABC中，内角A, B,。的对边分别为“，b, c,且/(A)=l,若AC边上的高等于%, 求cos C的值.解 由题意知.f (x)= 2cos2x + 1 + 2sin xcos x - 2=2sin xcos a + 2cos% - 1=sin 2x + cos 2x =娘 sin(2x + *(X)max = >/2 z 此时 2K 十:= 2lai + 5 r kZ ,，.f(x)取得最大值时X的集合为X 丁(A)=啦sin,十力1 , .sin(24 十二乎， 又A£(0,兀)，.乂+扣仔

10、，等, ，24 + ；=苧，解得A二今 设AC边上的高为BD ,则BD = %.I3；A =1.： BD = AD = q , CD =,. CD 310c°sC=反二 io -思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角 函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响.跟踪训练3已知函数/。)=451.(:(4+5)+4入60, R求函数/(x)的值域：(2)已知锐角的两边长"，分别为函数的最小值与最大值，且ABC的外接圆半径为乎，求ABC的面积.解(1 )f(X)= 4sin a|cos x - sin x)十小=2sin xcos x

11、- 2>/3sin2x + y3=sin 2x + 小cos 2a = 2sin| 2x + 鼻).;(XW看,.,争W2 +1这竽,，函数/（X）的值域为4，2.依题意a = ,b = 2, AABC的勺隈圆半径二手,4 4 小 乖sm月二方二逢二¥，2, 口 22娘sin 8 二丁二7=' = Y-2r 3 啦 32/. sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B13 +，Sa48c二；absin C = Xyj3X2X幸=y/2. 4JJ1 .在ABC 中，A=60°, c=y/.求sin C的值;（2）若a

12、=7,求ABC的面积.3解（1）在ABC 中，因为 A = 60。，c = ya ,所以由正弦定理得sin C二至乎二'X号二普（2）因为a = 7 ,所以c二亍X 7=3.由余弦定理a2 = b1 + c2 - 2bccos A r得72二房十 32-2X3xJ,解得。=8或=-5（舍去）.所以AABC 的面积 S = ；/、sin A =8 X 3 X坐= 6/5.2 .（2020,广西钦州综合能力测试）如图，在ABC中，月8=4,点。在边8c的延长线上，已7知 cosNCAO=g, AC=AO=#求sin 8的值；(2)求ABC的面积.解在AC。中，CDAfy+AD2 - 2AC

13、ADcosZCAD7 8=（棉）2+（道）2 - 2又乖又乖乂6二W，所以CD =邛 ,AD2 + CD2 - AC2 i/ICT） 中 t cos D - 2jD'CD= W j因为。£(0 ,瓦),所以sin。=今? AB AD 在AA5D 中 .-7；= , e r sin D sin B '所以SMB=T邛因为AC二A。, 所以NACO = ZD , cos ZACD = cos。， 在ACB 中，cosNACB = cos（兀-ZACD） =-cosNACQ 二-1 , 在ABC 中，AB2=AC2 + BC2 - 2AC BCcosZACB ,BC2 +

14、=BC- 10 = 0 ,解彳导 8C 二# , 所以 S/abc = AB BCsin B二26.=1x4X3.已知函数g(x)=4sin(L卷)cosx,将函数y=g(x)的图象向左平移看个单位长度得到y=/(x) 的图象.(1)求函数g(x)的最小正周期；(2)在ABC中，内角A, B,。的对边分别为a, b, c,若b=3,且/(3)= - 3,求AABC面 积的最大值.解 g(x)= 4sin(x -cos x , “(.()= 2-3sin xcos x - 2cos入， “(%)=小sin 2x - cos 2r - 1 = 2sin(2x -专)-1 , *- g(.x)的最小

15、正周期T= = n.(2)/(x) = 2sin 2G十目花 /(B) = 2sin(2B + g)- 1= -3,即 sin(2B +- 1 ,;在/XABC中，BG(O , 7T), 2啥黑，等)由余弦定理得 32 = </2 + c2 - 2</ccosy , 即十c2十ac二9 ,9 二(尸十 c2 + ac2ac + ac = 3ac , 即acW3 ,当且仅当“二c二黄时取等号. c 1, 2n .35 Slabc =于 csiiry、-J-, . &ABC面积的最大值为手.4 .已知点P(小，1), Q(cosx, sinx), 4为坐标原点,函数/(工)=&

16、quot;济.求函数/(X)的最小正周期；(2)若A为ZVIBC的内角，.f(A)=4, BC=3,求AABC周长的最大值.解 由已知，得0P =(小,1) r QP = (y3 - cosx,l - sin a),所以/(%)二分»=3 -小cos x+1 - sin x二 4 - 2sin(x + J所以函数/(X)的最小正周期为2兀因为/(A)= 4 ,所以 sin(A +) = 0,又0<A<ti ,所以曰<4 + j<y ,所以A = y.因为3 ,所以导广2小， 111 Z1所以由正弦定理，得AC=2娟sin B , A8 = 2/sin C ,所以ABC的周长为3十2小sin B + 2小sin C=3 + 25sin B + 2V5sin( - 8)=3 + 2 短 sin(8 + 鼻)因为0<B<f ,所以十j<y ,所以当8十号二，即8二看时，ABC的局长取得最大值，最大值为3 + 2于.注：本题也可用基本不等式法求解.5 .在A3C 中，角 A, B, 5 所对的边分别为 a, b, c, sin2A+sin2B+sin Asin B=2csin G ABC 的面积 S=abc.求角C；(2)求ABC周长的取值范围