倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制（齐国元,陈增强,袁著祉 ）（1.天津科技大学自动化系,天津300222;2.南开大学自动化系,天津300071）摘要 :利用提取的系统高阶微分信息,提出了自适应高阶微分反馈控制器.某种程度上该控制器不依赖于单输入单输出（SISO）非线性仿射系统的模型.并且分析了闭环系统的稳定性和鲁棒性.通过将摆角方程的位移加速度看作是控制输入,将倒立摆系统转化成相互影响的两个 SISO 仿射系统 ,从而用两个串级高阶微分反馈控制器成功地实现了倒立摆系统的镇定与调节.数字仿真表明 ,控制器对摆的基准模型实现了较为满意

2、的控制,而且该控制方法对非线性摩擦项,对摆长、摆质量、小车质量等参数变化以及外扰动具有强鲁棒性.关键词:倒立摆系统;高阶微分器 ; 自适应高阶微分反馈控制器;不依赖模型控制器;鲁棒性1.引言作为一个典型的不稳定非线性装置， 倒立摆系统的镇定和调节的问题在不同的控制设计技术中的演示和推动成为了一个基准的例子。 例如， 基于郑和约翰提出摆动能量的非线性控制器的模型是使用 L 小增益逼近和林提供了线性状态反馈控制器是摆平衡。 咔哇他你线性化了并列的两个倒立摆系统的非线性数字模型， 然后通过使用状态反馈增益载体和全状态观测器设计了一个稳定性控制器。 姚首先通过模糊法来识别动态线性化模型， 然后根据这个

3、模型设计出极点分配控制器使系统稳定。 这些文献中涉及到的控制器取决于非线性基准模型或倒立摆的线性化模型。 一些设计的方法考虑到了鲁棒控制器的摩擦项。 但是不确定性低于基准模型。实际上，基于标准控制器取决于控制装置的模型是现代控制理论的重要特征。我们发现可测量的信息和它们的 n 阶微分方程在放射系统中具有重要的意义。 微分不仅是可变输出速率， 而且也是系统的内部状态， 翰利用高阶微分提出了自抗扰控制器。 但是对控制器的闭环系统设有一个稳定性和收敛性的解决方法。在文献 6 中， 我们设计了高阶微分器独立于控制装置， 取决于信号本身。 高阶微分器可以接近实际信号和提取 n 阶微分。高阶微分器的稳定性

4、和收敛性是已经证明了的。利用提取的微分信息， 我们设计了自适应高阶微分反馈控制器， 它不取决于系统的模型， 但是取决于 n 阶微分。 理论分析方法表明自适应高阶微分反馈控制器使闭环系统获得稳定性和收敛性。如果我们把加速度看作是摆角动态方程的控制输入， 把小车加速度看作是小车的位移动态方程的控制对象，然后倒立摆系统转换成双非线性SISO 放射系统。因此，用两个高阶微分反馈控制器，我们能使倒立摆镇定和调节。当摆角变成零度，小车的位移可以通过控制器达到目标位移。因为某种程度上该控制器取决于倒立摆的模型， 高阶微分反馈控制器的扰动及参数变化具有强鲁棒性。 仿真和展示了所提出理论的有效性。 而且， 高阶

5、微分反馈控制器不取决于位移和速度和角的速度。 但是取决于摆位和摆角。因此控制器是可适应的。本论文有以下几部分组成； 第二部分是， 根据高阶微分呈现了自适应高阶微分反馈控制器的 SISO 放射系统。第三部分，把倒立摆系统转换成放射系统和用自适应高阶微分反馈控制器使倒立摆镇定和调节。第四部分，通过数字演算证明倒立摆控制的有效性。2.自适应高阶微分反馈控制器考虑扰动的 SISO 放射系统，自适应高阶微分反馈控制器的微分方程表示为：(n)y f(X,t) d u(1)其中u是控制输入，y是可测量的输出，y(i)表示y的i阶， X= X1,X2,.,Xn T= y, y,.,y(n 1) T R表示输出

6、微分向量,也是系统的状态向量。f(?)是未知稳定非线性有界时变函数，d(t)是未知有界稳定扰动，起始条件X(to)Xo给定的对象的轨线 y,出现阶n微分，y7是连续的。如果 y,不满足这些条件，我们使改变y直到满足条件。设置已知的微分输入向量y.,y(1),., y(n 1)Rn ,设置已知的广义微分输入向量，ryr, y(1),., yr(n) T ,r Rn 1 ,广义微分输出向量Z y, y,.，yTRn1, 广 义 微 分 误 差 向 量T(n) T n 1e r ze1，e2,.,en1e,e ,.,e R ，其中 e y y。一般输出量y和给定的输入量y.是已知的，但是广义微分输出

7、向量z和给定的广义微分输入向量r是未知的。在文献6中提出一种高阶微分，这高阶微分为任一个具有n阶微分的可测量信号提取了n阶微分。设置 ？ ?, y(1), ., ?(n) T用来表达，广义微分向量Z y, y(1),., y(n)的估计量。(注y表示y(i)的估计量，而不表示f的i阶)。现在的高阶微分用组合表达式来表示。将n阶动态系统(2)和n+1阶代数方程表示(3)连起来4 XJi ai(y ?J1 i n0 1(2)?招，?(i)?1 ai( y 先)，i 2,., n(3)其中no是系统 的阶数，通常，设no n 1,心？2 ,，篇是系统 的状态，ai(i 1,.,n0)是参数。问题是根

8、据可测量的信号怎样能获得滤波信号，此外，怎样才能获得估计信号?,？(n)。显然，高阶微分的稳定性相等于系统，对方程(2)拉氏变换，我们易获得从y到弱的转变函数。如果没有准确给出参数 a/1,.,nO)的话，通过高阶微分来提取的差距是不可能是理想的，甚至系统是不稳定的。在文献【6】中，我们根据轨迹分析系统的参数设计思想。参数通过下列方程给出：ai KCnjiai;K n0°a/(n 1)n0 1,(4)a 2,30 ,i 1,2,., n0注意高阶微分精简成了两个可调的参数no和a。通过参数公式(4)我们对高阶微分有下列讨论。(看文献6):1)高阶微分不取决于估算系统的模型，它是基于信

9、号 y(t)的附加系统；2)高阶微分是一个渐进性稳定性系统；3)高阶微分支持较高的收敛性满足lim?,i 0,.,n(5)a其中？(0)表示?, a在数学上精确地。在实际中只取 a 2,30 ,高阶微分有较高的精确度。下面我们将学习基于 n阶微分的控制问题。假设1输入量z的广义微分向量和相对输入量r的广义微分向量都已知，y是连续。定理1未知模型的时变非线性系统(1)和未知扰动的时变非线性系统，高阶微分反馈 控制器可表示为u ke U?(6)其中kkn,kn1,.,k1,1R1(n 1) ,多项式snksn1 .kn是一个赫维茨多项式，I?是控制量u的滤波值，它满足I? u(7)其中 是一个较大

10、的正数，凤 0,Uo 0。高阶微分反馈控制器使闭环系统渐近稳定，对参数系统的扰动的变化具有强鲁棒性，应付收敛性lim lim x xr(8)t1证明从方程 (1 )和e的定义中，我们有4n y(n) y(n)y(n) (f(x,t)d(t)u)yrn)y(n) y(n) (f(x,t) d(t) u)此外，以下方式满足ei号e2 e3/、T '(9)Ie y(n)y y(n)'(f(X,t) d(t) u)T设 x Xe1,e2,.,enRn从方程(9)中，我们有| A b(y(n) y y(f(x,t)d(t)u)Amb(Kyrn) y(n) (f(x,t) d(t)u)(1

11、0)Amb(Ke y(f(X,t) d(t) u)其中kkn,kn i,.,kiR1制定Am是一个赫维茨矩阵，它意味着存在矩阵p pT > 0 ,对任意一个正定矩阵 Q满足同样地，k使sn kisn 1 . kn成为了一个赫维茨多项式，在方程(10)中，使ke y(n) (f(X,t) d(t) u) 0(11)我们有控制规律u ke y (f (X,t) d(t)(12)因为求和项 f (X,t) d(t)是未知的，控制规律不能够实现，从系统(1)中，我们有y(f(X,t) d(t) u(13)但是u是控制规律，它要求增值，因为它也不能够实现。我们考虑到u的滤波值I?能够实现，因为从公

12、式(7)中知滤波有延迟性，用 u?代替u,它意味着u? y(f(X,t) d(t)(14)把(14)代入(12),我们获得控制器(6),再把(6)代入(10),我们对闭环系统有一个 重要表达式| Amb(u u)(15)下面我们证明闭环系统(15)的稳定性，收敛性和鲁棒性。方程(7)是一个滤波表达式。滤波|?通过积分电路来实现，所以无论是否连续，滤波?是必定连续的。它意味着只要是uI是可积的滤波I?是连续性不取决于 u。此外，假设1中y(n)和yr是连续的，由于i< n,因此y和y(i)(i 0,.,n 1)必定是连续的。因此，我们获得的e是连续的。因此从(6)中我们得到的控制规律 u是

13、一定连续的，再(7),我们得到I? u/s(16)从(16)和u的连续性，我们获得lim ? u(17)5)和(17)中,我们获得(18)因为Am是一个赫维茨矩阵，闭环控制系统是渐近稳定，再从(lim lim 0t5文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持因为我们用收敛性评论( 8 ) 。因为控制器(6 )不取决与系统的模型，只取决于给定的输入和输出的信号和它们的差值和高阶微分，控制器对函数f(?)和扰动的的d(t)具有鲁棒性。说明 ：1)其中只是对数学上的意义较精确。因为控制规律 u是连续的，取 5,100 ,滤波？可以非常精确的

14、接近uo除了方程(7)滤波I?通过其它滤波方程可以完全地增值2) 高阶微分反馈系统不仅实现了闭环系统的输出 y 跟踪给定输入 yr ，还可以输出 y(i) 的n-1 阶，它不同于闭环系统的输出跟踪给定输入的一般对象。3)高阶微分反馈控制有准确的物理意义。控制规律有两个条件，其中一个条件是？可以克服或阻碍求和项f(X,t) d(t),另一个条件从方程(11)到(18)可以看出ke使闭环系统渐近稳定。我们交求和项f (X ,t) d (t) 看作是一般扰动。4)从假设1,高阶微分反馈控制器不适应于z和r,从(1)知，输出量y具有n阶微分，它满足高阶微分的可测量输入信号的条件，因此基于输出量y 和给

15、定输出量yr 我们通过高阶微分估算z和r来获得？和？。此外从(2)中n0 n 1 ,因此？是连续的，控制器( 6 )转变成下列方程u Ke? u?( 19)其中? ? 2,因此我们使听从自适应高阶微分反馈控制器。3 倒立摆系统的分析，镇定性和调节性考虑到倒立摆系统的线性光滑摩擦项的基准模型(JmL2) (2) (mL cos ) y(2)mLg sin ,(20.1 )(Mm)y(2)by(1) (mLcos ) (2) mL sin ( (1)2 u(20.2)其中 表示关于垂直线的摆角， y 表示小车的位移， J 表示摆的惯性， L 表示摆质量的中心 和小车的顶端之间的距离， M 和 m

16、分别表示小车的质量和摆的质量， g 表示由于重量而产 生的加速度， b 表示小车的摩擦力的线性系数， u 表示应用在小车的外力。3.1 摆的真定性问题设计了闭环系统反馈控制获得了下列两个对象：21.1)21.2)ltim (t) r 0ltim y(t)yr0这是摆角和小车的位移的渐近镇定性。此外，如我们取yr 0 ，镇定性问题也就调节性问题。因此，我们主要学习镇定性。从方程( 20.1)和 (20.2) 中，摆系统是一个单输入双输出系统。因此，我们不可以直接应用自适应高阶微分反馈控制来控制摆系统。 但是我们可以吧系统转变成两个SISO 放射系统，用两个控制器去控制摆系统。为了控制一个系统，我

17、们应当掌握它的给定对象，输出量控制量和控制的装置。从摆角的 方 程 中 ， 输 出 量 是 角 ， 给定 的 对象 是表 达式 (21.1) ， 驱 动 力 是 y(2) ， 方 程(2)2(mLcos ) (2) mLsin ( (1)2 是两项，它可以转变成一般扰动，给定对象的表达式(21.2)。根据以上的分析，方程(20.1)和方程(20.2)可以看作是两个SISO放射系统。对方程(20.1),为了获得对象方程(21.1) ，我们可以利用一个外环自适应高阶微分反馈控制来获得控制规律y1(2r) 。对于方程(20.2)，我们把y1r ( y1(2r) 的第二积分)看作是给定的对象(它的广义

18、微分向量是r1y1r , y1(r1) , y1(2r) T ) ，设计一个内环自适应高阶微分反馈控制器来获得控制规律 u ，然后，控制规律 u 可以获得控制对象( 21.1) 。整个系统利用了一个并列的控制。注意的是控制规律 u 可能不会涉及到控制对象(21.2)。 为了获得控制对象(21.2) ， 我们在内环控制高阶微分反馈控制器设了另一个约束对象，它的广义给定的输入是 r2 y2r,y2(1r),y2(2r) T 0,0,0 T (框图 2 里的虚线) 。为了结合(21.1)和(21.2) ，我们对内环控制高阶微分反馈控制器定义了一个称重量的给定的广义输出向量rw1r1w2r2( 22)

19、其中w1 和 w2 是称重量。下面，我们定义重量方案:如 果 控 制 只 是 镇 定 问 题y2r0 ， 由 于 r20,0,0 T ， 取 rr1 或 同 时 取w11,1,1 w20,0,0 ，重量没有任何重要意义。如果控制是调节性问题， yr 0 ，r2 y2r,y2(1r), y2(2r) T 0,0,0 T ，取w21,1,1 。从以上地分析，我们在向量r1 中了解到最重要的控制对象的部分值是y1(r2) 因为在外环高阶微分反馈控制中y1(2r) 也是个控制规律， 所以取w10,0, u ， w20,7,2 。摆系统扰动的较严重，参数变化较大， w 取较大。为了统一镇定性和调节性问题

20、，我们把镇定性问题看作是调节性问题，使公式简单化。它意味着我们在真定性和调节性问题上取w10,0, w ， w 0,7,2 w21,1,1 。从( 6 )和(7 )中，对于外环高阶微分反馈控制器，控制规律y1(2r) 表示为y1(r2)k e?y1(2r) ， y?1(r2)1 y?1(2r)1 y1r2( 23)微分误差向量表示为8 文档收集于互联网，如有不妥请联系删除文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.?2r ?， T（24）T 其中 2r 0,0,0对于内环高阶微分反馈控制器，控制规律u表示为Uky?y ?, ?2l?2U（25）其中？y? -?y,?wjiW2

21、2,riyir,yi（r）,yfT ,?0,0,0 T ,2y?, ?，.，？（n）T ,我们考虑到在方程（20.1）中控制项y的系数是负的，因此在方程（25） Ky （不是kyl）是反转作用。3.2.摆位移的调节性问题在t0,td的范围之间，为了满足 3.1部分镇定性问题的要求设计了反馈控制器，(t)0t td,T ,其中T>td 0是额外给定的时间，系统满足(26.2)(26.1)y(t)yr0其中yr是一个通过正定yd的给定对象的一个可变变量（看文献7）除了 yr0 ,调节性问题与镇定性问题一致，因此除了r2丫2."2?, y22） T 0,0,0 T ,控制方案与3.1

22、部分控制一致。注息：1）控制器高阶微分反馈控制器1和高阶微分反馈控制器2都是可自适应的，因为它们只根据系统的输出变量和y,而不是根据 和y（1）的状态。基于 和y利用高阶微分，我们获得了估计量，（2）, ?（1）, 7（2） o2）两个自适应高阶微分反馈控制器不取决于参数和模型（20.1）和（20.2）的函数关系。因此,控制器对参数和函数之间的变化具有强鲁棒性。4.摆系统的仿真和鲁棒性的证明4.1 镇定性问题我们取(20.1)和(20.2)的基准参数(看文献7), M=1.320kg , L=0.25m , m=0.109kg ,b=0.1 N/(m s1), JmL2/3,g 9.8m/s2

23、,取起始值(0)(1)(0)y(0)y(1)(0) 0,推动力40 (t)N。设计控制器的目的在于使闭环系统满足下列要求：(t) 0.02rad , t 0.5s(27.1)y0.01m,t 0(27.2)u(t) 10V(27.3)6 给定的值为I 2( )d。 0 首先，我们研究了系统的镇定性。控制器是两个自适应高阶微分反馈控制器，方程(23),(24), (25)。对高阶微分 1和高阶微分 2取相同的参数是n05, a 5和取高阶微分也 1,1,1控制器的参数，正如在方程(23) k 16,8,1T,1 10,高阶微分反馈控制器 2 的参数，正如(25) ky25,10,1 ,2 6 ,

24、 w10,0,0.75 , w21,1,1 ,才有采样时间0.005,图3(a) (b) (c)分别呈现摆角(t)，小车的位移y(t)和驱动力u(t)(t)包含推动力)。为了清楚地观察初始的瞬时作用，我们在 t 0,1之间划分了 u(t),显然，(t) , y(t)和u(t)分别满足(27.1)(27.2)和(27.3)的要求。实际上，角满足 (t)| 0.02rad , t 0.1s;位移满足| y(t)| 0.01m； t 0;因为起始推动力是 40 (t) 10 (t),初始的瞬时出现|u(t) 10v,但只是在t 0.01s时满足|u(t)|10v。计 6算值为 I 2( )d =0.

25、0149。 04.2 调控性问题控制器的摆系统的参数与 4.1部分一致。设计一个控制器满足以上要求和达到新的要求， 它就是给定的对象的位移yd0.2m , td 5s后满足y(t) 0.2,(t)0和(t)0.02rad,t 6s(28.1)y(t)yd 0.01m,t 7s(28.2)u(t)10V(28.3)io值为 I2( ) (y( ) yd)2 d。o控制器仍是两个自适应高阶微分反馈控制器，它的参数的取值与以上在镇定性问题里的控制器取值一致。控制器曲线部分表示为图 4 (a) (b)和(c)分别呈现了(t) , y(t)和 u(t)。角(t)满足(28.1) t 5.525s位移u(

26、t)y(t)(28.2)满 足t 6.95s，驱 动力 u(t) (28.3), 值 为10I2( )(y( )yd)2 d=46.2761。0.在上面的仿真中两个自适应高阶微分反馈控制器不取决于系统的参数和一些函数关 系。4.3 在仿真中证明鲁棒性我们考虑了非线性光滑摩擦力或扰动和参变量或是时变量等复杂模型。 考虑了倒立摆系统的非线性光滑摩擦力和摆点和参变量。模型表示为(JmL2) (2) (mLcos ) y(2) C (1) mLg sin(29.1)(M m)yb y(1) (mLcos ) mLsin ( (1)2 u(29.2)其中c 0.12是摆点的摩擦项系数，增加了光滑非线性摩擦力的系数b 0.95,基准模型中的m值放大了 4倍多。m 0.436,取L 0.625。注意，在文献8中三个参数的值超过了 要求。其他参数和起始条件与在基准模型(20.1),(20.2)一致。a)我们检查鲁棒的稳定性。除了重量Wi0,0,1.15控制器的参数完全与以上控制器一致。控制结果呈现在图5.显然，(t) , y(t)和U仍然分别满足(27.1)(27.2)和(27.3)6的 要 求 ， 值 为 I 2( )d =0.0151。013文档收集于互联网，如有不妥请联系删除.5 Angk ? posiuon y a