机械振动与机械波

1、机 械 振 动 与 机 械 波3-1判断下列运动是否为简谐振动(1) 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动；(2) 活塞的往复运动；(3) 质点的运动方程为xasin(t/3) bcos( t /6)(4) 质点的运动方程为xacos(t/3) bcos(2t)(5) 质点摆动角度的微分方程为2虬105 0dt2答：(1)是简谐振动，类似于单摆运动；(2) 不是简谐振动；(3) 是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；(4) 不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成；(5) 不是简谐振动。3-2物体沿X轴作简谐振动，振幅A=m，周期T=2s。当t 0时，物

2、体的 位移X=m，且向X轴正方向运动。求：(1)此简谐振动的表达式；(2) t T时物体的位置、速度和加速度；4(3) 物体从x0.06 m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间。解：(1)设此简谐振动的表达式为：x Acos( t 0)，则振动速度 dx Asin( t 0),dt振动加速度a雪 2Acos( t 0)dt20由题意可知：A 0.12m T 2s，则2 (rad 又因为t 0时x 0.06m且0，把初始运动状态代入有:0.06 0.12cos 0，贝卩 o 3又因为t 0时 Asin 00 ,所以0时3故此简谐振动的表达式为：x 0.12cos（ t3)m把t I代入简

3、谐振动表达式:x 0.12cos(-)0.06、3 0.104 (m把t 代入简谐振动速度表达式：410.12si n（）0.060.18（m/s）把t 代入简谐振动加速度表达式：421.03(m/s )a 2 0.12cos（- -）0.06、3 2 由旋转矢量法可知，物体在 x 0.06 m向x轴负方向运动时，相位为1 ,而物体从x3为2斗，2旋转的角度0.06 m向x轴负方向运动第一次回到平衡位置时，相位32则所需的时间为:2 53 6，5 /、-=(s)6At.jr.Z Z Z 丿L z y ZV 4习题3-3图3-3如图示，质量为10g的子弹以速度 v 103m/s水平射入木块，并陷

4、入木块中，使 弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数k 8 103 N m 1 ,木块的质量为4.99kg ,桌面摩 擦不计，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程。解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动，子弹与木块的作用时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位 置为坐标原点，水平向右的方向为正方向，子弹进入木块后与木块的共同速 度为0，则m (M m) o， o ，代入数据得：° 2(m，M m子弹与木块相互作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置xo 0,弹簧简谐振动的圆频率代入数据得:40 (rad/s)，所以A代入数据得:率为kik2g(

5、K k2)pA 0.05R。(2)由t 0时，X。0且向X轴的正方向运动，所以°所以振动方程为：x 0.05cos(40t -) m3- 4一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率。解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数k 卫J,弹簧振子的固有频mgb图中两弹簧是并联的，总劲度系数K 2k，弹簧振子的固有频率为招浮°3-5 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而 与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周 期。解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为丫轴，由转动

6、轴定理可知，该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在丫轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为:把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动,则圆环对转轴的重力矩为M mgRsin，方向为 增大的反方向，由转动轴定理：M即 JmgRsin0 ,由于环做小幅度摆动所以sin ee,可得微分方程寻摆动的圆频率为:mgRmgR 2周期为：T 2轴的负方向，由牛顿第二定律：F ma可知,3-6.横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示，液体的总长 度为L,求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。解：如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方 向，左边液面上

7、升y，则右边液面下降y, U型管的横截面面积为S，液体的 密度为，则左右液面的压力差为：F 2 gyS，方向为2 gyS SL咚，即与色y 0 , dt2 'dt2L ''故液面上下微小起伏的运动为简谐振动，其振动的圆频率2g3-7如图一细杆AB端在水平槽中自由滑动，另一端与连接圆盘上，圆 盘转轴通过o点且垂直圆盘和0X轴，当圆盘以角速度 做匀速圆周运动时, 写出槽中棒端点B的振动方程，自行设计参数，利用 mathematica软件或matlab软件画出振动图线 解：在AOB中, AB长度不变，设为I，圆半径0A不变设为R, 0A与0B的夹 角设为 t，则B点的坐标x满

8、足关系式：上式表明，x是时间t的周期函数，但不是谐振动函数。取I 2,R 1,10,画图如下。3-8质量为10 10 3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x 0.1 cos（8 t 的3规律作振动，式中t以秒（s）计，x以米（m）计。求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明t 1、2、10s等各时刻的矢量位置。解：（1）由振动的运动学方程可知：振幅 A 0.1m,圆频率 8 rad/s，周期T8L °.25（s）（2）振动的速度：，初相位dxdt0.8sin(8牛）

9、，振动速度的最大值为:max 2.51 (m/s)，振动的加速度:d2x dt26.42 cos(8 t），振动加速度的最大值为:amax 63.1(m/s2)(3)最大回复力：Fmax mamax 0.63 (N)，振动能量：E 1kA2 im 2A2 316102(J)平均动能和平均势能：百Ek |e 1.58 10 2（J）3-9质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，劲度系数k 25N m 1，如果开始振动时具有势能0.6J和动能0.2J，求：(1) 振幅多大经过平衡位置的速度。(2) 位移为多大时，动能恰等于势能解：(1)简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之

10、和，1 一即 E Ek Ep 0.8 -kA2，所以振幅 A 0.253(m)，在平衡位置时，弹簧为原长(假设弹簧座水平方向谐振动)，此时只有动能,1即 E Ek -m 2 0.8(J)，所以速度2.53(m/s).1 1(2)要使 Ek Ep qE 0.4(J)，即 Ep kx2 0.4(J)，贝卩位移 x 0.179(m)。3-10两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅简谐振动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的位相差，并作旋转矢量图表示之。>1/解：设它们的振动方程为x Acos( t0),当x A时，可得位相为由于它们在相遇时反相，可取*

11、i/o： / x13 '23它们的相差为2 1 3同理当x A时，可得位相为2矢量图如图所示.七，它们的相差为3-11已知两个同方向简谐振动如下：为 0.05cos(10 t3),X20.06cos(10 t(1) 求它们合成振动的振幅和初位相;为何值时,(2)另有一同方向简谐振动X3 0.07cos(10 t )，问振幅为最大 为何值时，x2 x3的振幅为最小 为何值时，X1 X2 X3的振幅最小解：（1）由同频率、同方向的简谐振动合成可知：A A A 2A,A2cos , tan °A1 Sin 10巴 20，其中 A 0.05 m 民 0.06 m*A cos 10 A

12、 cos 2010 2055它们合振动的初相位:,所以它们的合振动振幅为:A 8.92 10 2m068013'。（2）由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动，其合成振幅最小。所以要使 X! X3的振幅为最大，cos 1 则 ；要使X2 X3的振幅为最小，cos 1则 时；要使X1 X2 X3的55振幅最小，cos1 则111047'。3-12 三个同方向，同频率的简谐振动为X1 0.08cos（314t -）,6X20.08cos(314t),X30.08cos(314t 5)求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；（2）合振动由

13、初始位置运动到x -22A所需最短时间（a为合振动振幅）解：(1)合振动的圆频率为314 100 (rad，A A2 A3 0.08 (m)，根据公式得Ay A sin 1 A2sin 2 A3sin 3 0.16 (m)合振幅为：A 、. A A2 = (m)，初位相为：arctan Ay / 代/2。合振动的方程为：x 0.16cos(100 t -)(2)当 x .2A/2 时，可得 cos(100 t /2).2/2，解得 100 t /2/4或 7 /4由于t 0,所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = (s)3-13将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得

14、拍频为3.0Hz，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉 的固有频率。381 (Hz),V V V V解：标准音叉的频率为：o 384 (Hz)，拍频为：3(Hz)，待测音叉的固有频率可能是：10也可能是：2 o 384 (Hz)。在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于 可知其频率将减小.如果待测音叉的固有频率 i，加一小块物体后，其频率1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉 的固有频率2，即387Hz。3-14 火车提速是社会发展的必然趋势。假如你是火车提速的决策者之一， 试问：从物理学角度，你会考虑哪些问题 答：铁轨的抗震能

15、力、铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等。3-15 说明以下几组概念的区别和联系：(1) 振动和波动；(2) 振动曲线和波动曲线；(3) 振动速度和波动速度；解：(1)振动是物体在平衡位置做往复运动；波动是振动在介质中的传播；x t曲线表(2)振动曲线表示的是物体运动的位移随时间函数关系，用示；波动曲线表示的某一时刻不同质元离开平衡位置的位移，用y x曲线表示。（3）振动速度是描述物体运动的快慢，用dx表示；波动速度表示振动传 dt播的的快慢，与介质和波的类型有关。3-16 已知一波的波函数为 y 5 10 2 si n（10 t 0.6x）（m）（1）求波长、频率、波速及传播方向；（2）说明x 0

16、时波函数的意义，并作图表示。解：（1）与波函数的标准方程y Acos（ t x o）进行对比可知：波长 0.6频率 一2波速u传播方向沿10.5(m)，少 5(Hz)，52.5(m)，X轴的正方向。50（2）当x 0时波动方程就成为该处质点的振动方程：y 5 102sin（100 t） 5 10 2cos（100 t -），振动曲线如图3-17已知波的波函数为y Acos （4t 2x）（SI）（1）写出t 4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的 波峰的位置，该波峰何时通过原点（2）画出t 4.2s时的波形曲线。解：（1 ）波峰位置时，cos （4t 2x） 1，则t 4.2

17、s时，波峰位置的坐标为:x 8.4 k(k 0,1,2 |）；当k 8时，x 0.4为离原点最近的波峰位置由波函数为y Acos (4t 2x)可知波速为u 2m/s,贝y该波从坐标原点传播到x 0.4所用时间为4s时通过坐标原点。tt数为：(2) t 4.2 s ,x)沿x负方向传播。3cos4 t o3-18 一平面波-1u 20 m -s罟0.2(S)，该波峰在(1) 如以A点为坐标原点，写出波函数；(2) 如以距A点5米处的B点为坐标原点，写出波函数;(3) 计算B、C两点振动的相差解：(1)以A点为坐标原点，波动方程为:y 3cos4 (t x) 3cos(4 t x)。u5(2)以

18、B点为坐标原点，波动方程为:x xy 3cos4 (tA) 3cos(4 t：)。u5(3)以A点为坐标原点，则xb5 m 冷13m,B、 C两点的振动方程分别为yB 3cos4 (t 匹)3cos(4 t)，yc 3cos4(t生13)3cos(4 t)，uu5则B、 C两点的振动的相差为：8o53-19 一列简谐波沿x轴正向传播，在 t1 0s， t20.25s时刻的波形如图所示。试求:(1) P点的振动表达式；(2) 波动表达式；(3) 画出0点的振动曲线 解：(1)设P点的振动方程为：yp Acos( t o)由题设可知：振幅 A 0.2 m 波长 o.6m由ti0s、t2 0.25s

19、时刻的波形图，可知该波在t 0.25S内，波向右传播了 /4，则可知该波的周期T is，波速u 0.6m/s,波的圆频率 2 rad/s当 t 0 时，yp 0，即 0 Acos 0，由于波沿X轴正向传播，所以P点在此时向上运动,速度大于零，所以0P点的振动表达式为：yp 0.2cos(2 t )(2)P点的位置是Xp 0.3 m所以波动方程为:x xy 0.2cos2 (t -)-100.2cos(2 t x -).32(3 )在X = 0处的振动方程为：y00.2cos(2 t曲线如图所示.3-20 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅、圆频率分别为A和3,波速为U,设t = 0时的波形 j

20、z厂 曲线如图所示。习西X酹(1)写出波函数 求距0点分别为入/8，和3入/8两处质点在t = 0时的振动速度 解：(1)设该波的波函数为：y Acos (t X) 0,u由t 0时刻的波形图可知，y。0且向下振动，故° -,2所以波函数为：y Acos (t -)-u 2(2)振动速度： Asin (t -),tu 2把t 0、x -和t 0、x 分别代入振动速度表达式，则有:8 8t 0,x/8Asin 4t 0,x 3 /8Asi A423-21 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅A=10cm波的圆频率3 =7n_1 、 rad s，当t=时，x=10cm处的a质点正通过其平衡

21、位置向丫轴负方向运动， 而x=20cm处的B质点正通过Y=点向Y轴正方向运动。设该波的波长入 10cm,求该平面波的表达式 解：由题意和旋转矢量法可知在t 1.0s时，A质点的相位为相位为B 3，A、B两质点为相差为所以该波的波长： 一，即 24cm2设该平面波的的表达式为：y Acos( t0),因为t 1.0s时，A质点的相位为所以该平面波的的表达式为：yA 2，所以0.1cos(7 tx0.12173-22 一简谐波沿x正向传播，波长4m，周期T 4s，已知x 0处质点的振动曲线如图所示(1) 写出x 0处质点的振动方程；(2) 写出波的表达式；(3)画出t 1s时刻的波形曲线解：(1)

22、设x 0处的质点的振动方程为:y° Acos( t 0)，其中 A 1m ,由振动曲线图可知，当t 0时，y。0.5，因此cos且t 0时，X 0处质点向下振动即sin 0 0，所以0 E所以X 0处的质点的振动方程为：y0 cos(2t 3)°(2)波的表达式为：y Acos2 (* X) cos- (t x)-.1l目uOEX7x/(3) t 1s时刻的波形方程为：y cos(2 x 5_),波形曲线如图所示.3-23比较简谐振动能量与简谐波波动能量特征,若简谐波传播时某体积元的的动能为，则势能多少总能量多少 答：简谐振动的能量守恒，即振动的动能与势能的代数和不变； 而

23、简谐波传 播时某体积元的动能与势能总是相等，固当某质元的动能为0.2J时，其势 能也为0.2J，其总能为动能与势能的代数和，即0.4J。3-24 一平面简谐声波在空气中传播，波速u 340m/s，频率为500Hz。到达人耳时，振幅A 10 4 cm，试求人耳接收到声波的声强的大小此时声强 相当于多少分贝已知空气密度1.29 kg/m 3。解：质点的圆频率为：23.142 103(rad/s)，声波的平均能量密度为：w 12a2 6.37 106 (J/m3)，平均能流密度为：I Wu 2.16 103(W/m)， 标准声强为：I。1 10 12 (W/R1)，此声强的分贝数为：L 10lg丄9

24、3.4(dB)。 I 03-25 5与S2为两相干波源，光强均为I0,相距1波长，S1比S2的位相超前-42问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的光强如何又在 S2外侧各点的光强如何解：:x T 入丁 x ；#合成波的光S Sx强正比于振幅的平方，即| A2如图所示，设S在其左侧产生的波的波动方程为：yi Acos2 （ _）,那么S在S左侧产生的波的波动方程为：t x / 4t x七 Acos2（T ）2】Acos2 （），由于两波源在任意点x产生振动反相，所以合振幅为零，所以合成波的光强 为0。S在S2右侧产生的波的波动方程为：y1 Acos2 （ ）， 那么S在其右侧产生的波的波动方

25、程为：t x /4t xy2 Acos2 （ ）-Acos2 （），由于两波源在任意点x产生振动同相，所以合振幅为单一振动的两倍, 所以合成波的光强为4I0。3-26 简述驻波的形成条件和特点（提示：突出驻的含义）；查找资料，探索驻波在本专业的应用有哪些 答：在同一介质中两列振幅相同的相干波，沿同一直线相向传播时，产生特 殊的干涉现象，叠加形成的波叫驻波。驻波没有波形和能量的传播，其实质 为各质元做振幅不等的简谐振动，振幅最大的质元位置为波腹，振幅最小的 质元位置为波节，波腹只有动能，波节只有势能，能量只在相邻波节与波腹 间相互转化。3-27 一条琴弦上产生驻波，相邻节点间的距离为65cm弦的

26、振动频率为 2.3 102 Hz，求波的传播速度和波长。解：相邻波节之间的距离为/2，所以波长2 65 130 (cm),波速：u299 (m3-28两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为yi 5.0cos (0.04x 16t)，y? 5.0cos-(0.04x 16t)44用厘米、克、秒(cm g、s)制单位，求：(1)各波的频率、波长、波速；(2)节点的位置；(3) 在哪些位置上，振幅最大解：(1)对比波函数的标准形式：y Acos( t 2上0)可知，波的频率： 2.0(Hz);波长： 200(cm);波速：u400(cm/s)。(2) 驻波方程为：y y y2 10cos 0.01 xcos4 t波节位置为：cos0.01 x 0，则 x 50 (2k 1)(cm),其中 k 0,1,2|j|(3) 振幅最大的位置即