工程流体力学禹华谦习题答案

1、第六章理想流体动力学6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1 ; Vy=-4y.(1)该流动满足连续性方程否？ (2)势函数流函数少存在否 ？(3)求少解：(1)由于_Vx _Vy4 4 0 ,故该流动满足连续性方程x y(2)由 3 z=(2VyVx1皿 )=-(4 4) =0,故流动有势，势函数()存在，由于该流xy2动满足连续性方程，流函数少存在,(3)因 Vx x=4x+1yVy= =-=-4yd()= dx+ dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dydx+ dy=Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy=2x2-2y2+xd ip =dx+ dy

2、=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dydx+dy=-Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2平面不可压缩流体速度分布：Vx=x 2-y2+x;Vy=-(2xy+y).(1)流动满足连续性方程否 ？ (2)势函数流函数少存在否 ？ (3)求力、少. 解：(1)由于-Vx + -Vy=2x+1 (2x+1) =0,故该流动满足连续性方程，流动存在 x x1 VyVx1 ,(2)由3 z= (L )=一( 2y ( 2y)=0,故流动有势，势函数()存在，由2 xy2于该流动满足连续性方程，流函数少也存在(3) 因 Vx= =x2-y2+x, Vy=-(2xy+

3、y).d j =dx+ dy=Vxdx+Vydy=(x 2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy x y()= d j =dx+ dy= Vxdx+Vydy =(x2-y2+x )dx+(- (2xy+y)dyx3 c c c=-xy2+(x2-y2)/2 3d 0 =dx+dy=-Vydx+Vxdyd q =dx+dy= -Vydx+Vxdy = (2xy+y)dx+ (x 2-y2+x)dyx y=x 2y+xy-y 3/36-3平面不可压缩流体速度势函数e=x2-y2-x,求流场上 A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值解：因 Vx= =2x-1,Vy= 2y ,

4、由于一+2 =0,该流动满x yy xx x足连续性方程，流函数少存在d 力=dx+dy=-Vydx+Vxdyd"dx+dy= -Vydx+Vxdy= 2ydx+(2x-1)dy=2xy-y在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; 4=3在点(2,2)处 Vx=3;Vy=-4;少=66-4已知平面流动速度势函数。=-9 lnr,写出速度分量 Vr,V e ,q为常数。解：Vr= =- , V0 =0r 2 r ' r6-5已知平面流动速度势函数。=-m 0 +C ,写出速度分量 Vr、V , m为常数解：Vr= =0, V 0 =-rr r6-6已知平面流动流函数少=x

5、+y,计算其速度、加速度、线变形率e xx, £ yy,求出速度势函数解： 因 Vx= 一 =1Vy=-1d 4 =dx+ dy=Vxdx+Vydy()= d()= dx+ dy= Vxdx+Vydy=Vxvyxx, yyxydx+(-1)dy=x-y6-7dVxVx 、， Vx 、， Vx -ax= Vx Vy 0 ;dt t x ydVyVyVyVyay= Vx Vy0dttxy已知平面流动流函数4 =x2-y2,计算其速度、加速度解： 因 Vx= =-2yVy= =-=-2x,求出速度势函数（）d 4 = dx+ dy=Vxdx+Vydy()= d()= dx+ dy= Vxd

6、x+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xydVxax=dt" Vxx Vyx 4x t x yay=眄-Vy Vx- Vy*4y;dt t x y6-8平面定常流动的流函数为(x,y),3x y试求速度分布，写出通过 A (1, 0),和B (2,串)两点的流线方程.解：vx 一 1 , Vy一，3yx平面上任一点处的速度矢量大小都为旧(V3)22 ,与x和正向夹角都是arctan(B/1) 60°。A点处流函数值为J3?10<3 ,通过A点的流线方程为J3x yJ3。同样可以求解出通过B点的流线方程也是J3x yJ5。6-9已知流函数少=V 8 (ycos

7、a -xsin a ),计算其速度，加速度，角变形率(xy= yx=L(上+*),并求速度势函数。. 2 x y解： 因 Vx= = V0° cos aVy=-= V °°sis ad()= dx+ dy=Vxdx+Vydydx+ dy=Vxdx+Vydy= V0° cos a dx+ sis a dy=V 8 ( cos a x+ sis a y)dVxax=dt性 Vx* Vy»t x ydVyay=dt业 Vx Vy?t x y0；xyyx=(2Vi +vx )=0y6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。 解：不可压缩三维流动

8、的连续性方程为0 将关系Vx,一 vy,一 vz代入上式得到x y zxyz一()()一()0x x y y z z222或 2220xyz可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。6-11什么样的平面流动有流函数？答：不可压缩平面流动在满足连续性方程vxvy0x yvx(- vy)或x y的情况下 平面流动 有流函数.6-12什么样的空间流动有势函数 ？答：在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量=xi+ yj + zk都是零矢量，即vzVyvxx y z 0 ,或关系,yzz数.6-13已知流函数少=-q ，计算流场速度解： Vr= q-r 2 rv _2y,x x上成立，这样的空间流动

9、有势函yV e =-=06-14平面不可压缩流体速度势函数()=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数，并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量解： 因 Vx= =a(3x2-3y2)Vy= =-=-6axyd 力= dx+ dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x 2-3y2)dyd。=dx+dy= -Vydx+Vxdy6axydx+ a (3x2-3y2)dy =3 ax2y-ay3在A(0,0)点少 a=0;B (1,1)点少 B=2a, q= ip a- ip B=-2a.试确定该流动的势函数小6-15平面不可压缩流体流函数少=l

10、n(x 2 +y2),解：因 Vx= - = 22 y 2x y x y2xVy= - =- = -2y x x yd j =dx+ dy=Vxdx+Vydy=2y2x2xdx- -2 dyy x yVxdx+Vydy=2y2 2x y解：因 Vx=dx- 22x 2 dy=-2 arctan(y)x yx6-16两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解？解：设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为1,2,流函数分别为1,2。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数可由下式求出：12

11、同样，合成流动的流函数等于126-17在平面直角系下，平面有势流动的势函数和流函数与速度分量Vx,vy有什么关 系？解：在平面直角系下，平面有势流动的势函数和流函数与速度分量vx,vy有如下关系一 一 Vx, 一一 Vyx yy x6-18什么是平面定常有势流动的等势线？它们与平面流线有什么关系 ？解：在平面定常有势流动中，势函数 只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。6-19试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=0)的速度势函数小，流函数少.=0Vy=V 8x()=V0°yd()=dx+

12、dy=Vxdx+Vydy=0dx+ V 00 dyd0 =dx+dy=-Vydx+Vxdy=- V 00dx- V 0°xx y6-20平面不可压缩流体速度分布为：(1)该流动满足连续性方程，解：(1)由于 _Vx Vy 1-1=0, x y1 Vy Vx(2)由于 3 z=( 2 x y3)因 Vx= - =x-4yx yVx=x-4y ; Vy=-y-4x 试证：(2)该流动是有势的，求。，(3)求小，故该流动满足连续性方程，流函数少存在)=0,故流动有势，势函数()存在.Vy= =-=-y-4x d()=dx+ dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy

13、()= d()= dx+ dy= Vxdx+V ydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy4xyd 0 =dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dyd 0 = dx+ dy= -Vydx+Vxdy= (y+4x)dx+(x-4y)dy=xy+2(x 2-y2)6-21已知平面流动流函数4=arctg y ,试确定该流动的势函数ex解：因 Vx=2 x 2 x y x yVy=yy22x yd()=dx+ dy=Vxdx+Vydy=xy22 dx+ -2 dyx y x y,_xy(p = d()= dx+ dy= Vxdx+Vydy=22 dx+ 22 dyx

14、yx y x y= In x2y26-22证明以下两流场是等同的，(I )()=x2+x-y 2, ( n )少=2xy+y.证明：对(I )()=x2+x-y 2Vx= 一 =2x+1Vy= =-2y对(n )少=2xy+yVx =2x+1Vy=-=-2y可见与代表同一流动.6-23已知两个点源布置在 x轴上相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于(a, 0)处，求流动的速度分布(q 0)。2x1/2. y),合成流动的势函解：两个流动的势函数分别为券ln(x2 y2)1/2及二qln(x a)2数为Vx2q 22.1/2 q22.1/22ln(xy ) + l

15、n(x a) y),_2q 221/2q221/2x-x( 2-ln(x y ) +/ln(x a) y )=q x q x a22 - 722x y 2 (x a) yVy2q , , 221/2 q221/2 (ln( x y ) + ln( x a) y ) )= y y 22q y q y22c, 、22x y 2 (x a) y6-24如图所示，平面上有一对等强度为（0）的点涡，其方向相反，分别位于（0, h）,（0, -h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流v，试求合成速度在原点的值。解：平面上无穷远平行于x轴的来流v ,上，下两点涡的势函数分别为v x ,-arct

16、an(y h)/x),-arctan(y h)/x),因而平面流动的势函数为v x arctan(y h)/ x) +2arctan(y h)/x), vx 2xy h_222 x (y h)_2yh 2»2 x2 (y h)2y y将原点坐标（0,0）解：均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v x及-q-lnjx2y2 ,因而平面流动的2势函数为vx+U1n+2 x2 (y h)2 2 x2 (y h)2代入后可得vx v ，vy 0. h6-25如图，将速度为v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。0.vy 2 y 2 , 令 Vx0,vy

17、0 ,得至 |J xy 2 x y6-26如图，将速度为v的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置，及经过驻点的流线方程.y，解：先计算流场中驻点位置均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v x及?-ln，x2y2 ,因而平面流动的势函数为令 vx 0,vy 0,得至ij x一,y 0 .此即流场中驻点位置 2 vq I-22q xv x + in . x y , Vx v22，Vy2x 2 x y均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为 v y , -q-arctan(y),因而平面流动的流函数2x、，q , y.为 v y + arctan(上),在驻点 0

18、 ,因而经过驻点的流线万程为 2xq , y、v y+ arctan()=0 2x6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于(1, 0)和(-1,0),并与速度为25的沿x轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。解：均匀流，点源与点汇的势函数分别为-25x, Wlnx 1)2 y2)05,21022 05ln(x 1)2 y2)0.5,因而平面流动的势函数为225x+£ln .(x 1)2 y2 -10 in -/(x 1)2 y22510 x 12 (x 1)2 y210 x 12 (x 1)2 y210 y 10 y_22_22y 2 (x 1) y 2 (x 1) y