导函数构造函数

1、已知函数f (x)是定义在(0, )上的非负可导函数，且满足 xf '(x) + f (x) <0,对任意正数a,bo若a < b,则必有(A )A ,af (b) <bf (a), B bf(a) <af (b) C af (a) < f (b) D bf (b) < f (a)已知f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数，偶函数，若 x<0时，f'(x)g(x) + f (x)g'(x) >0,且g(4)=0,则不等式f (x)g(x) <0的解集是 (*,3)= (0,3)已知函数f(x)在R上的奇函数，

2、且 f(2) =0,当x>0时，有xf (x)； f(x) <0,则x2f (x)>0的 x解集是(-二，-2)(0,2)设函数y =f(x),xWR的导函数为f'(x),且f(-x) = f(x), f x)< f(x),则下列不等式成立的是(D)(A)f(0) ：eAf(1) ：e2f(2)(B)e2f(2):二 f(0) : ef (1)C)e2 f(2)二 ef(1" f(0)(D)e,f (1) ： f (0) ： e2f (2)已知函数f(x) =x2+2x+alnx,当t之1时，不等式f (2t 1)之2 f (t) 3恒成立，1.二 a

3、.(2)若不等式2x Ax ,对任意xW (0,1)则实数a的取值范围为 <=2、一、1，八 ，、设 f(x) =,(x>0,x01) (1)求 f(x)的单调区间;xln x恒成立，求实数 a的取值范围；1 ,1,(1)(0,) ,( ,1). ,(1,二)1ee 1(2)2；xaln2x ln xa已知函数 f(x) =lnx, g(x)=ln2 aln x x1 2x2aa eln 2xln x ln 2(1)设F(x) =ag(x) -f(x),(a >0),若F(x)没有零点，求实数 a的取值范围;(2)若x1 >x2 >0总有m 6(为)g(x2)】&

4、gt;x1f (x1) x2 f (x2)成立，求实数 m的取值范围;a 2ax -11F(x) = -x -lnx,F (x) =. a -2xemg(xj-X f (%) mgX)-x2f %) h(x)=mg(x) - xf (x) L.h (x) _ 0. m _13.已知函数 f(x)=mx3 3(m+1)x2 +(3m + 6)x+1，其中 mM0。(1)若f(x)的单调增区间是(0, 1)求m的值。(2)当x w 1,1时，函数y = f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围。答案：(1) f (x) =3mx2 6(m+1)x+3m + 6: f(x)的单

5、调增区间是(0,1),2二 f(x) =3mx 6(m+1)x + 3m+6 >0 的解集为(0, 1),则0,1是关于x的方程3mx2 6(m +1)x +3m + 6=0的两根,m = -2(2)由已知，当 x1,1时，f,(x) >3m,mx2 2(m+1)x + 2>0又 m<Q 要使 g(x) =mx2 -2(m+1)x+2 >0在xw_1,1上恒成立只需满足刈° >°解得-< m < 0 S(1)>03已知函数f (x) = x3+ax2+bx+c (1)若函数f (x)在x =1,x =-2处取得极值，试求

6、 a,b的值;113a=2,br(2)c (3 - ,13313二)(2)右x匚一3,2时，f (x) a-一一恒成立，求c的取值氾围；3217.已知函数f (x) =4x -3x cos8 +,其中x匚R, 6为参数，且0w 6 w 一. 322(1)当cos日=0时，判断函数f(x)是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数 日的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数日，函数f(x)在区间(2a-1,a)内都是增函数，求实 数a的取值范围。答案：(1)当cos。=0时，4x3+在R上为增函数,无极值；(2)f/(x)=12x (x- cos° )2f

7、/ (x) =0, xi=。，x2=cos£列表可知:(列表正确)COSFf (x)极小=f (2132cos3 4>0ji3jiV 一2(3) a< 0 且 2a-1 va a<0或 2a-1 v a 且 2a-1 >cos1恒成乂,2,一.112已知函数f (x) = ln( ax) x2 25<a<1 8，a的取值范围是：a< 0或< a< 1 。8-ax (a为常数，a > 0)323一、，1(2)当y= f (x)在x =一处取得极值2(3)若对任意的a w (1,2)，总存在xO一2二2使不等式f(x0)>

8、m(a + 2a - 3)成立，求实数m(1)当a =1时，求函数f (x)在x = 1处的切线方程;I若关于x的方程f(x)-b = 0在0,2 上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围;的取值范围。“1解：(1) a =1 时，f(x) = ln(12x) x21一x二 f (x) =+2x1,于1 x,3是 f (1)=,又23,、f(1)=0,即切点为(1,0)，切线方程为y =-(x-1).'a(2) f (x) =+2x a ,1 axf'(1) =21 -a2+ 1 a = 0，即 a _ a _ 2 0 , , a> 0,二 a = 2此时，f'

9、;(x) =2x(2x -1) 1 2xx W |0,1 I 上减,IL 21丛1,2上增, _2又 f(0)1 . 1小丁(2)一3 ,5丁二”.3<4(3) f22_ 2ax (2 - a ) xx2ax -(a2 - 2)1 ax1 ax1 ：二 a ：二 2 .a2 - 21 (a -2)(a 1)2a _2 =2a<0，即2a2 -2 1< 2a 2二 f(x)在 l|l,1 上增,211、f (x)max = f (1) =ln(2 2 a) 1 - a112二只须 ln( + a)+1-a> m(a + 2a 3),几112(法)仅 h(a) = ln(

10、a) 1 -a -m(a 2a -3)h (a)1, c c - 2ma2 - (4m 1)a - 2m -1 -2ma -2m =1又 h(1) =0，h(a)在 1 的右侧需先增，, h (1) >0,. m < -821设 g(a) = -2ma (4m + 1)a 2m,对称轴 a = 1< 14m又2m>0, g(1) = -8m1±0二在(1,2)上，g(a) > 0 ,即 h (a) > 0, ,11、,2八 7二 h(a)在(1,2)上单调递增，, h(a) > h(1) = 0 即 ln(- + - a) +1 - a &g

11、t; m(a + 2a 3),1/ 、/ 2.1于是 f (x0)m(a 2a -3) m 三一8已知函数 f(x) =in x, g(x) =1 x2 bx (b 为常数).2(I)函数f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线与函数 g(x)的图象相切，求实数 b的值；(n)设h(x) = f (x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；(出)若b>1,对于区间1,2内的任意两个不相等的实数x1, x2,都有| f (x1)f (x2)闭g(x1)g(x2)|成立,求b的取值范围.1解：(I)因为 f(x)=lnx,所以 f'(x)=-,因此

12、 fy)=1, x所以函数f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程为 y = x1 ,y =x -1,由1 2得 x2 2(b+1)x+2=0,y x -bx,由=4(b+1)2_8=0,得 b =±j2 4 分1 2(n)因为 h(x) = f (x)+g(x) =ln x +2 x -bx(x>0),1x - bx ' 1所以 h'(x) = +x -b =,xx由题意知h'(x) <0在(0,收)上有解，因为 x >0 ,设 u(x) =x等价于b <x + -在区间1,2上恒成立， x所以b <2 ,又b之2 ,所以

13、b=2。 12分(ii)当1 <b<2时，函数g(x)在区间1, b上是减函数，在b,2上为增函数。当 1 <x2 <x1 <b 时，I f (一)一 f &) |文由)g(x2)| 等价于 f (为)十g(x1)>f(x2) + g(x2),1 2等价于h(x) = f (x)+g(x) =ln x+x -bx在区间1,b上是增函数, -bx +1 ,因为 u(0) =1 >0 ,->0,则只要12,解得b>2 ,(4)24 0所以b的取值范围是(2,收)8分(出)不妨设x1 >x2 ,因为函数f(x)=lnx在区间1,2上

14、是增函数，所以f(x1)f(x2),函数g(x)图象的对称轴为x = b ,且b >1。 当b1时，函数g(x)在区间1,2上是减函数，所以g(x1)<g(x2),所以 | f (x。f (x2) EgJ。g(x2"等价于 f (x) -f (x2) >g(x2) -g(x1),即 f 优)+g(xj) Af d)+g(x2),等价于h(x) = f (x) +g(x) =in x +-x2 -bx在区间1,2上是增函数，2一1. .等价于h'(x) =一 +x -b至0在区间1,2上恒成立， x-1等价于h'(x) =+xb之0在区间1,b上恒成立

15、， x1等价于bWx + 1在区间1,b上恒成立，所以b<2 ,又1<b<2,所以1<b<2 x当b wx2 <x1q2时，I f (xi) f (x2)|>|g(xi) g(x2)| 等价于 f (x1)- g(x)> f(x2) - g(x2),一1 2等价于H (x) = f (x)g(x) = In x-x +bx在区间b,2上是增函数，21等价于H '(x) =-x+b >0在区间b,2上恒成立， x1 33等价于b之x - -在区间b,2上恒成立，所以b之一，故一 Mb<2,x22 当1<x2 cb <为£2时，由g(x)图像的对称性知，只要| f(x