导数压轴题题型学生版

1、与数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分)2x 1已知 f (x) a x In x-2 , a R.x(I)讨论f(x)的单调性；(II)当a 1时，证明f(x)>f x 3对于任意的x 1,2成立. 21.图考命题回顾例 1.已知函数 f(x)ae2x+(a- 2) ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.例2. (21)(本小题满分12分)已知函数f x x 2 ex a x 1 2有两个 令点.(I)求a的取值范围；2.(II)设x1,x2是f x的两个零点，证明：x1 x2例3.(本小题满分12分)1已知函数 f (

2、x) =x ax ,g(x) In x 4(I)当a为何值时，x轴为曲线y f(x)的切线；(H)用min m, n 表示m,n中的最小值，设函数h(x) min f (x), g(x) (x 0),讨论 h (x)零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数a 0 ,函数f (x) ln(1 ax)二x-. x 2(I )讨论f (x)在区间(0,)上的单调性；(H )若f (x)存在两个极值点xrx2，且f(xj f(x2) 0,求a的取值范围.例 5 已知函数 f(x) =exln(x + m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当 mC2 时，证明

3、f(x)>0.1 O例 6 已知函数 f(x)酒足 f (x) f'(1)ef(0)x -x2(1)求f(x)的解析式及单调区间;一 1c(2)右 f(x) -x ax b,求(a 1)b 的最大值。例7已知函数f(x) al* b,曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 1 xx 2y 3 0。(I )求a、b的值；(R)如果当x 0,且x 1时，f(x)皿K,求k的取值范围。 x 1 x例 8 已知函数 f(x) = (x 3+3x2+ax+b)e x.(1)若a=b= 3，求f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在(一8, a ),(2, B)单调增加，在(a

4、 ,2),( B,+ oo)单调减少，证明0 - a > 6.2.在解题中常用的有关结论(1)曲线y f(x)在x xo处的切线的斜率等于f(xo),且切线方程为y f (xo)(x %)f(x。)。(2)若可导函数y f (x)在x x0处取得极值，则f (xo) 0。反之，不成(3)对于可导函数f (x),不等式f (x) 0( 0的解集决定函数f (x)的递增 (减)区间。 函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：x I f (x) 0( 0)恒成立(f (x)不包为0).(5)函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f (

5、x) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若f(x)为二次函数且I=R,则有 0)。(6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x) 0或f(x) 0在I上包成立若x I , f(x) 0恒成立，则f (x)min 0；若x I , f(x) 0包成立,则 f(x)max 0(8)若 x0 I ,使得 f (%) 0 ,则 f (x)max 0 ；若 I ,使得 f (x0) 0 ,0.则设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若 x D f(x) g(x)恒成立，则 有f(x) g(x)min 0.(10)若对xiI1、x2 I2, f (xi)g(x2)

6、恒成立，则 f (x)ming(x)max .若对xiIi,x2"使得f(M) g(x?)，则 f (x)ming(x)min .若对xiIi,x2I2 ,使得f (xi) g(xz),则 f(x)maxg(x)max .(11)已知f(x)在区间Ii上的值域为A, g(x)在区间I2上值域为B,若对xiIi,x2I2 ,使得 f(xi)=g(x2)成立，则 A B 0(i2)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f (x) 0有两个不等实根x1、x2, 且极大值大于0,极小值小于0.(i3)证题中常用的不等式：x?1 In x x 1 (x 0)< ln (x+t x (x 1

7、) ex1 xln x(x1)1212x2(x0)3.题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用(构造函数，最值定位)(分类讨论，区间划分)(极值比较)(零点存在 性定理应用)(二阶导转换)2_例1 (切线)设函数f(x) x a.(1)当a 1时，求函数g(x) xf(x)在区间0，1上的最小值；(2)当a 0时，曲线y f(x)在点P(X1，f(X1)(X1口)处的切线为l , l与x 轴交于点A(x2，0)求证：x1 x2布.1 a例2 (最值问题，两边分求) 已知函数f(x) lnx ax 1 (a R).x,1当aw时，讨论f(x)的单调性；21设g(x) x 2bx 4

8、.当a -时，右对任息X (0,2),存在x2 1,2 , 4使f (xi) > g(x2),求实数b取值范围.交点与根的分布例3(切线交点)已知函数f x ax3 bx2 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程为y 2 0.求函数f x的解析式；若对于区间 2,2上任意两个自变量的值x1,x2都有f % f x2 | c , 求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数m的取 值范围.,3 2f (x) ln(2 3x) -x2.例4 (综合应用)已知函数2求f(x)在0,1上的极值；1 1 x 一,一,不等式|2 lnx| ln f (x) 3

9、x 0若对任意6 3成立，求实数a的取值范围;若关于x的方程f(x) 2x b在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.不等式证明(x)例5(变形构造法)已知函数9若f(x) 1nx (x),且a 2,求函数f(x)的单调增区问；在中当a 0时，函数y f(x)的图象上任意不同的两点Axi，yi ,B x2, y2，线段AB的中点为C(x0，y0),记直线AB的斜率为k ,试证明： k f (xo)若g(x) Ilnxl(x),且对任意的Xi, x2 0,2 , Xi X2,都有g(x2) g(M)1x2 xi ，求a的取值范围.2 ,例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数

10、f(x) x 1n(ax)(a 0)2(i)若f (x) x对任意的x 0包成立，求实数a的取值范围;/、 f(x)Jdg(x) xi, x2 (- ,i), xi x2 i(2)当a1时，设函数x ,若e，求证 例7 (绝对值处理)已知函数f(x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且xix2 (xix2)4在x 1处取得极大值.(I )求实数a的取值范围；(2a 3)2(II )右万程f(x) 恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；9(III )对于(II )中的函数f(x),对任意、 R,求证：| f (2sin ) f(2sin ) | 81 .例8 (等价变形)已知函数f

11、(x) ax 1 ln x (a R).(I )讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(H)若函数f(x)在x 1处取得极值，对 x (0,) , f(x) bx 2包成立，求实数b的取值范围；(田)当0 x y e2且x e时，试比较)与的大小.x 1 ln x(I)求直线l的方程及m的值；(H )若h(x) f(x 1) g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值。f (a b) f (2a) b-a(III )当0 b a时，求证：2a例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数f(x) ln 1. x(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设

12、m 0 ,求f(x)在m,2m上的最大值；(3)试证明：对任意n N*,不等式ln(5)e L都成立(其中e是自然对数 n n的底数).111n2(m)证明：一 一.a1 a2ann 1例11 (数学归纳法)已知函数f(x) ln(x 1) mx,当x 0时，函数f(x)取得极大值.(1 )求实数m的值;(2)已知结论：若函数f(x) ln(x 1) mx在区间(a,b)内导数都存在， 且a 1 ,则存在xo (a,b),使得f (xo)f(b) f(a).试用这个b a结论证明：若 1 xi x2 ,函数 g(x) fx"(x xi) f(x1)， xi x2则对任意x (x1,x

13、2),都有f (x) g(x);(3 )已知正数1, 2,"I，n,满足12 111n 1 ,求证：当n 2 , A N 时，对任意大于1,且互不相等的实数x1,x2,|,xn ,都有 f(国2x2 Wnxn)# (不)2f(*2) nfjn).包成立、存在性问题求参数范围2.例12 (分离变量)已知函数f(x)xalnx(a为实常数).(1)若a 2 ,求证：函数f (x)在(1,+°°)上是增函数;(2)求函数f (x)在1, e上的最小值及相应的x值；若存在X 1，叫 使得f(x) (a 2)x成立，求实数a的取值范围.例13 (先猜后证技巧)已知函数f(x

14、) 1 1n(x 1) x(I )求函数f ( x)的定义域(n)确定函数f ( x)在定义域上的单调性，并证明你的结论,.k.(田)若x>0时f(x) 上恒成立，求正整数k的最大值.x 1例 14 (创新题型)设函数 f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；(H)当 a=1 时，设 P(xi,f(x 1), Q(x2, g(x 2)(x i>0,x2>0),且 PQ/x 轴， 求P、Q两点间的最短距离；(田)若x>0时，函数y=F(x)的图象包在y=F(x)的图象上方，求实数a 的取值范围.

15、2例15(图像分析，综合应用)已知函数g(x) ax 2ax 1 b(a 0，b 1),在 f(x)幽区间2, 3上有最大值4,最小值1,设 x .(I )求a，b的值；(H)不等式f (2x) k 2x 0在x 1，1上恒成立，求实数k的范围；, x2f(|21|) k( 3) 0(田)方程|21 |有三个不同的实数解，求实数k的范围.导数与数列例16 (创新型问题)设函数f (x) (x a)2(x b)exa、b Rx a是 f (x)的一个极大值点.若a 0,求b的取值范围；当a是给定的实常数，设 出X2, X3是f (x)的3个极值点，问是否存在实数b,可找到X4 R,使得x1，X2

16、, X3, X4的某种排列 %，£,% (其中ii, i2, i3, i4 = 1,2,3,4 )依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的X4；若不存在，说明理由.导数与曲线新题型例17 (形数转换)已知函数f (x) ln x , g(X) -aX2 bX (a 0).2(1)若a 2,函数h(x) f (x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围；在的结论下，设函数(x)=e 2x+bex,x C 0,ln2, 求函数 (x)的 最小值；(3)设函数f(x)的图象C与函数g(x)的图象G交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交Ci、G于点M、N,问是否存在点R,

17、使C 在M处的切线与G在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不 存在，请说明理由.例18 (全综合应用)已知函数f(x) 1 ln(0 x 2).2 x(1)是否存在点M (a,b),使得函数y f (x)的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数yf(x)的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；、 2nli I 29n I(2)定乂 & f(-) f(-) f (-)f()，其中 n N ,求S2013；i 1 n n nn(3)在(2)的条件下，令Sn 1 2an,若不等式2an (an)m 1对n N*且n 2包成立，求实数m的取值范围.导数与三角函数综合2例19(换元替代，消除三角)设函数f(x) x(x a) (X R),其中a R.(I)当a 1时，求曲线y f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；(U)当a 。时，求函数f(x)的极大值和极小值；(田)当a 3, k 10时，若不