第二章第二节函数的定义域和值域讲解

1、第二章第二节函数的定义域和值域题组一A I疝课不伟业A1函数的定义域问题1.（文）（2009江西高考）函数y=x23x+4的定义域为A. 4,1B -4,0)C (0,1D. -4,0)U (0,1解析：求y=M-x2- 3x+ 4的定义域,2_. 一.一x 3x+4>0,? 4,0)U(0,1.答案：D1.（理）（2009江西高考）函数y=ln(x+ 1)$一 x2- 3x+ 4的定义域为A. (-4, 1)B. (-4,1)C. (-1,1)D. (-1,1x+1>0,解析：定义域f? 1vxv1.2 c-x 3x+4>0答案：Cmx 12.若函数y= mx2+4mx+3

2、的定义域为R,则实数m的取值范围是3A (0, 4)B. (8, 0)U (0, +OO )C. ( 83、,0U4, +8)d 0, J解析：依题意，函数的定义域为R,即mx2+ 4mx + 3w 0恒成立.当m = 0时，得3W0,故m = 0适合，可排除 A、B.当 mw0 时，16m212m<0,得0<m<：,综上可知0w m<3,排除C.44答案：D13.若函数f(x)的定义域是0,1,则f(x+a) f(xa)(0va<2)的定义域是解析：f(x)的定义域为0,1,，要使f(x+ a) f(xa)有意义,0< x+ a< 1|0< x

3、 a< 1a< x< 1 a, ?a< x< a+ 1.1.且 0<a<2, a<1 - a,答案：a,1 - a题组函数的值域问题4.若函数f(x)=(a2-2a- 3)x2+ (a 3)x+ 1的定义域和值域者B为R,则a的取值范围是A. a= - 1 或 3C. a>3 或 a< 1D. 1<a<3解析：若a22a 3w0,则函数为二次函数，不可能定义域和值域都为 R,当a2-2a 3=0时，得a= 1或3,但当a=3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域者B为R,故a = - 1.答案：B115.若函数y= f(

4、x)的值域是2, 3,则函数F(x) = f(x)+而的值域是1A2, 3B 2,与c 2, 1fl10D. 3, J11 1解析：令t= f(x),则£Wtw 3,由函数g(t) = t+ -在区间【2，1上是减函数，在1,3上是增函数，则510102, g(1)=2, g(3)=y,故值域为2,.答案：B6.(2010 福州模拟)GGa,bC R,记 mina,b=a(a<b),函数 f(x)= min b(a>b)1,2x, - |x-1| + 2.(xC R)的最大值为1斛析：y= f(x)> y= x与y= |x1|+2两者中的较小者，数形结合可知，函数的

5、取答案：1.x2+ 5 47.函数y= L2的取小值为.x +4x2+5n:i斛析：y= r =/x + 4+ t .x2+4x2+4令 t=x2+4>2,15y=t+ t在2, + 8)上是增函数，故 y>2.答案：28.分别求下列函数的值域:2x+ 1 (i)y=(2)y=-x2+2x(xC 0,3);_x1-2(3)y x.' =1 + 22x6+77解：(1)分离变量法将原函数变形为y=2+x- 3x-3，yw2,即函数值域为y|yC R且yw 2.(2)配方法. y=-(x-1)2+ 1,根据二次函数的性质，可得原函数的值域是3,1.1 2x -2x-1 + 22

6、分离常数法y=Q=F" =t+P'1 + 2x>1,.0< 2<2,-1<- 1+2<1,1 + 21 + 2所求原函数的值域为(1,1).题组三函数定义域和值域的综合问题9 .设 f(x)= 1X，冈1,若f(g(x)的值域是0,+8),则函数y= g(x)的值域是()|x|V1,A. (8, 1U 1, +8)C. 0, +8 )解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(-1, +8),若 f(g(x)的值域是0, + 8),只需B (-D. 1g(x)C (8, - 1U 0, +8).答案：B10 .函数 f(x)=Yx22x

7、 + 2yxz5x+ 4的最小值为r 2=x2 2x> 0解析：由fx< 0或x>2x2-5x+4>0，x< 1 或 x>4，函数的定义域为 xW0或X>4,而原函数在(8, 0上为减函数，在4,+8)上是增函数，当x=0时,f(x)=4,而当 x=4时,f(x)= 1 + 272,故f(x)的最小值为1+272.答案：1 + 2限11.已知函数f(log2x)的定义域是 M2, 4,求函数f(x23)的定义域. 解：.f(log2x)的定义域是 n/2, 4,即 42WxW4,令t=lOg2X,则此函数是增函数,log2'V2< log

8、2x< 1。卬4,解得 2w tw 2.1272_2< x2-3<2,即Wx2W5,一 5w xw 一 喏 < x< 5.故f(x23)的定义域是-8 手U 手，洞.一x2+2x+a .12.已知函数 f(x)=, xC1, +8).x(1)当a = 2时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意xC1, +8), f(x)>0恒成立，试求实数 a的取值范围.解：(1)当 a=1 时，f(x)=x + ：+2, x.:"*)在区间1, + 8)上为增函数，f(x)在区间1, + 8)上的最小值为f(1)=；.2x + 2x+ a2(2)法一：在区间1

9、, +8)上 f(x)=>0恒成立？ x+2x+a>0恒成立.x2设 y=x+2x+a, xC1, 十 °°),y= x2 + 2x+ a= (x+1)2+ a- 1 递增，当 x= 1 时，ymin = 3 + a,于是当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)恒成立，故 a> 3.a法一：f(x)=x + 2, xC 1, 十00) x当a>0时，函数f(x)的值恒为正，当 a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,于是当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故 a> 3.x2 + 2x+ a法三：在区间1, + 8)上 f