信号与系统郑君里版302周期信号的频谱分析——傅里叶级数ppt课件

1、北京邮电大学电子工程学院2019.33.2 周期信号的频谱分析傅里叶级数;主要内容三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系 频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差X;cosn1t sinm1t = 0 , , cosn cosn1t 1t cosmcosm1t = 1t = 2 2 0, 0, , ,T sinnT sinn1t 1t sinmsinm1t = 1t = 2 2 0, 0,t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.m = nm nm = nm nT TT TT2T22T222由积分可知由积分可知一三角函数形式的傅

2、里叶级数1.三角函数集cosn1t,sinn1t是一个完备的正交函数集;f (t) = a0 +(an cosn1t +bn sinn1t)t0 f (t)dtt0 f (t)dtt0 f (t)cosnt0 f (t)cosn1tdt1tdt2T1(1)(1)直流分量直流分量1 t0+TTa0 =余弦分量的幅度余弦分量的幅度 an = an =2 t0+TT正弦分量的幅度正弦分量的幅度 bn = bn =t0+Tt02Tf (t)sinn1tdt2级数形式周期信号 f(t),周期为T1 ,基波角频率为 1 =在满足狄氏条件时，可展成n=1称为三角形式的傅里叶级数，其系数;其他形式余弦形式n=

3、12 2 1n nan = cn cos?n bn = cn sin?n正弦形式n=11 an an = dn sinn bn = dn cosnX;关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出频谱图周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性Xcn ?n 幅度频率特性和相位频率特性周期信号可分解为直流，基波1 ）和各次谐波（n1 :基波角频率的整数倍的线性组合;1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 ejn t n = 0, ejn t n = 0,1,1,2L2L二指数函数形式的傅里叶级数12 2级数形式级数形式) =T10T10f (t) ej

4、n1t dtejn1tejn1t dtF(n1(4)(4)F(n1)ejn1tn=f (t) =(5)(5)= =T101Tf (t)ejn1t dt3 3系数系数利用复变函数的正交特性利用复变函数的正交特性也可写为也可写为FnFn;( (, ,) )区间上的指数信号区间上的指数信号 ejn ejn t t说明(4 5 (的线性组合。的线性组合。 如给出如给出F(n1)F(n1)，则，则f(t)f(t)唯一确定，唯一确定， ) )、 ) )式是一对式是一对变换对。变换对。X X1周期信号可分解为周期信号可分解为(4)(4)F(n1)ejn1tn=f (t) =(5)(5)T101Tf (t)

5、ejn1t dtF(n1)=;0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt 1tdt jT jT 0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt + jT 1tdt + jT 0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt三两种系数之间的关系及频谱图T01Tf (t)ejn1t dtF(n1) = =1 T 1 TT(an (an jbn) jbn)= =121 T 1 TTF(n1) =12(an + jbn)(an + jbn)= =利用欧拉公式利用欧拉公式F(n1)= F(n1)ej?nF(nF(n1

6、),F(1),F(n n1)1)是复数是复数;an + bn =?n = tg n = tg cn12122 2F(n1) =幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性1 bn an 关于的偶函数实际n 取正值）关于的奇函数实际n 取正值）关于的偶函数关于的奇函数相频特性相频特性ananbnbnF(n1)F(n1)?(n1)(n1);31cnc0c1c3O 131?n nO 1频谱图离散谱，谱线离散谱，谱线Fn 曲线曲线幅度频谱幅度频谱cn cn 或或相位频谱相位频谱?n n 曲线曲线;四总结（1 1周期信号周期信号f(t)f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（2 2两种频谱图的关系两

7、种频谱图的关系（3 3周期信号的频谱是离散谱，三个性质周期信号的频谱是离散谱，三个性质（4 4引入负频率引入负频率X X;f (t) = a0 + (an cosn1t + bn sinn1t)=c0 + cn cos(n1t +?n)n=1n=1F(n1) ejn1tn=f (t) =三角形式三角形式指数形式指数形式;12F0 = c0 = a0cn(n 0)F(n1) =相位频谱为奇函数相位频谱为奇函数?(n1) = (n1) = ?( (n1)n1)单边频谱单边频谱双边频谱双边频谱关系关系(2)两种频谱图的关系 三角函数形式：cn ，?n 指数函数形式： Fn ，?n 指数形式的幅度谱为

8、偶函数F(n1) = F(n1);唯一性：唯一性：f (t)的谱线唯一的谱线唯一(3)三个性质收敛性： n, F(n1) 谐波性： （离散性），频率只出现在n1处注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性(4)引入负频率对于双边频谱，负频率(n1)，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejn1和ejn1，才能保证f (t)的实函数的性质不变。X;五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数注：指交流分量X;(an (an jbn)= an jbn)= an傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。傅里叶级数中不含正弦项，只含直流

9、项和余弦项。F(n1)F(n1)为实函数。为实函数。X X1偶函数信号波形相对于纵轴是对称的f (t)LLtTEOT T2T0bn = 04an =Tf (t) = f (t)f (t)cosn1tdt 01212F n= F(n1) =?n = 0n = 0;T 2 f (t)dt = 0T 2 f (t)dt = 02f (t)cosn1tdt = 0T0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt = T 1tdt = T 0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt 1tdt 0 04 T 2(an (an jbn)= jbn)= jbn jbn2奇函数波形相对于纵坐标是

10、反对称的：f (t) = f (t)LTLTf (t)1O1傅里叶级数中无余弦分量，傅里叶级数中无余弦分量，F(n1)F(n1)为虚函数。为虚函数。1 T 2TT2T2a0 =an =Tbn =2T1212Fn = F(n1) =;期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转， L Lf (t) = f t 0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt1tdt0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt4 T 2T4 T 2Tbn =n=1,3,5,时时, an =f (t)LT TO T 2 T3奇谐函数若波形沿时间轴平移半个周此时波形并不发生变化：此时波形并不发生

11、变化： T T 2 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即a0 = 0n=2,4,6,时时, an = bn = 0;波形移动波形移动T1f(t)= f t 1 0 f (t)cosn0 f (t)cosn1tdt1tdt0 f (t)sinn0 f (t)sinn1tdt1tdt T T 2 2 2T11 =1 =4偶谐函数4 T1 2T1bn =4 T1 2T1n=2,4,6,时时, an =f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量n=1,3,5,时时, an = bn = 0f (t)LLtT1T1 2T1 T1 T1 2OT1 2O与原波形重合，2称为偶谐函数。;f (t)dt = c0+ +(a(a)= )= F F六周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;说明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的.2随频率分布的情况，称为功率谱系数。Xn=nn+ bn+ bn2n=1222P =T021T;f(t)= a0 +an cosn1t + bn sinn1tSN = a0 +an cosn1t + bn si