高一上公式整理

1、99 tl铜高中( 一上)2第1章：数典式重黑占公式糠雪卷(1-2数上的黑何)公式1：正整数N'整 数整数Z I 中一I零有理教（上叱Q有限小数i循璟小数R北理教（不循璟的瓢限小数） ffiW®a,常a “畤二 a 、-a,常a <0畤公式2:乘法公式222222a b = a 2ab b ; a -b = a -2ab b靶例 1：解(1) |2x=3 (2) |3x + 5 = 4答：(1)2,-1 (2) 一-3靶例2:言十算（3-2., 3）2答：21-12 3221. aba -b =a -b2222_2. abc =ab c2ab2bc2ac3. (a +b

2、 3 =a3 +3a2b +3ab a b = /ab, a _0,b _0 +b34. (a -b 3 =a3 -3a2b +3ab2 -b35. (a b) a2 -ab b2 = a3 b36. (a -b) a2 ab b2 )；=a3 -b3公式3:根式逋算法JW:(1) VO2' = |a| ； (Ta)=a靶例 3: (1)化曾 4V12 + 2V 8 -V32 (2)化曾 9 9 - 24。答：(1)4 2 (2) < - 2a -0,b 0(4)m , a 二n、a = (m n) a(5) a2b =a b曼重卞g虢x >y >0(1) (x y)

3、 2 . xy =、x . y(2) (x y) -2 , xy公式4:算黑不等式算初1平均数之黑何平均数a1 a2a3 ,an nn aa2a3a。n其中a1，a2, a3,，an悬正数常a 二a2 =a3 =. =an畤，等虢成立常用（1）a1 2a2 一 a （2） a1a3 -3 a1a2a3 靛:例4: a,b>0,若3a+b=12,就:求ab的最大值, 3t求此畤的a、b之值。答：12, a=2, b=6公式1 :段黑占A典黑占B的坐襟分别悬a典bIM1)距离隹公式：AB = |a-b(2)分黑占公式：若m, n悬正数.若P黑占在而上, 且AP： BP =m： n ,1(J

4、P黑占坐襟悬mb+na m nab靶例1: IS R(2)、P2(8), P悬PP2上一黑占，且PP =2PP2 , JW P黑占坐襟悬？答：6概念2:一元一次不等式：IS a,b,c均数(1)三一律：a > b a = b a<b 恰有一成立遮移律：若a>b且b>c,刖a>c(3)加法律：若a>b,即a+c>b+ca 口 ca0= acbc(4)乘法律:右a>b,即c < 0 3 ac <bcb(5) a>0,右 ax +b >0 刖解舄 x> a若ax +b <0刖解履x < -ba靶例 2: (1)

5、-2x 7 ： 3x 2 (2)2(x-3) . 4 3x答：(1)x>1 (2)x<-10公式3:封信不等式1.x -a/if x 之a x-a = x 冲x +a, i?x <a靶例3:解下列条自封不等式：(1) | 2x- 3 | <5(2) | 5x+7 | >29答：(1)-1<x<4 (2) x - -1,x < -5(表示x至ij a的距离隹)2. IS a是正数， (1)若 I x b | = a u x b= a , x b= a。(2)若 | x b|a uaxba。m_.b -a b b i a(3)若 | x- b | 之

6、 a u x b 之 a 或 x b W a 。b-a b b+a三角不等式 I =|x +y|,常 xy 之 0 x|+ y 1 (a |x +y|,常xy < 099 tl铜高中( 一上)3第2章：多式函数重黑占公式糠雪卷(2-1曾覃多式函数及其圄形)m = y2 一 y1 x? _ xy的燮化量 x的燮化量概念1:函数的定羲给了雨他I非空集合A典B,如果“ A内每一低I元素 a,在B内恰有一他I元素b典a WB",此槿封J8 法U f,A到B的函数，言已f: A B,其中b叫做a的函数值,以b=f ( a)表示。集合A耦悬f的定羲域，集合B耦悬f的封鹰域， 而 f ( A

7、)= f ( a) | awA叫做 f 的值域,f ( A) uB。 派函数只能1封1或多封1,不可以1封多或1封瓢。X判断是否悬函缶BI形通常作垂直 x事由的直 L,若L典BI形至多交於一黑占(x ,f ( x), U 函数形。公式2:1 .斜率：叫糕占A(xi，y)，B%.)之斜率悬1例如：f ( x ) = J2x-1 之止 fi 域悬xx > ,x R,值域悬yy±0,yw R o靶例1： IS求函数f ( x)的定羲域？3x-2 f( x)=x 5 (2) f ( x)=-2- 0-x +4x 3答：(1) xx R (2) xx = 1,3,x R靶例2:直 x W

8、y = 2的斜率悬？ x截距悬？ y截 距:1答：,2,-12若悬4&直,即m不存在；若悬水平，却m = 02 .截距：段直 L交x、y率由於(a, 0)、(b, 0),刖直 L的x截距悬a直 L的y截距悬b (1)如下H, IS直 4x 3y=12, Ux截距悬 3, y 截距去l 4(2咸y =mx +b 性函数,即y截距。m =0,又稠常数函数四 #0,又耦一次函数靛:例3: y = -2x2+3x + 1之趣大伯 ?答：1783 .物理意羲：IS位置s,畤t,速度v, y截距 b, Iij s=mt+b中,m悬平均速度v=mt+b中，m悬平均加速度。2. IB黑占悬-b -(b

9、* 2 -4ac)12a , 4a /“，一b 基寸租珅由x 二2a4. (1)(2)4 .函数f (x)有趣值 -4ac > 0 ,4ac = 0,-4ac <0 ,-(b2 -4ac)4aBl形典x事由交於雨黑占。Bl形典x事由交於一黑占。Bl形典x事由没有交黑占。其中b ./ b 2-(b -4ac)y = f (x)= ax bx c ; a(x )2a 4a1.若a>0明口向上；若a<0lH 口向下 -4ac耦蔚幽式5.： y= ax2,右平移 h 罩位=y= a (x h)2 再上平移 k罩位 = y= a (xh)2+k。99 tl铜高中( 一上)4第2章

10、：多式函数重黑占公式糠雪卷(2-2多式的逋算典鹰用)概念1:多式 f(x); anxn - an Axn概念3:多式的除法定理IKf(x)、g(x)悬二多式，且g(x)不悬零多式, 刖恰存在雨多式q(x)及r(x)漏(足f(x) = g(x) q(x) + r(x)被除式二除式X商式+绘式其中 r(x)=0 或 deg r(x)<deg g(x)f 8 =短一建+改一以g 7 3就求FO1 -g的商式和稣式，是除法融合除法3+1+4+J-5 + 2- 9 |2 2)3 5 + 2 9 a a2X2 ax a。若an 10, Uan杭f(x)的加翼系帆 且f(x) 最高次方悬n,即degf

11、(x)=n(2) f(x) =a°耦悬常数多式IE例 1 ：若 f (x) = (4a 一 b 一 c)x3 6一 (b - c)x (c - 2) 悬零多式，且a,b,cim,即a+b+c=?答：5'a -土： 0 常数多式a0a0 = 0，零次多式，零多式ISf(x)悬多式，JW x不得在分母、余自封信及 根虢内出垣。公式2:多式nn 12f (x) =a0x +an/x +，+a2x +a1x +a0,JW ： (1)各叫系财恩和二f。(2)常s= f (0)。IE例 2: (2x3+4x2-x-1 产(x4-3x2+1)乘稹中，各彳系Jfc®和悬？答：-4(

12、3)偶次彳系数和:f (1) f(-1)2(4)奇次彳系数和:f(1)-f(-1)2g(H )=% /十九_*""+%，-白产十品，即r(*)=g(R)o %=3,%_产%_靶例3: 就用粽合除法求(4x3 +2x2 -x+5)£(x-2)的商及绘式。答：4x2 10x 9,43公式4:绘式定理b1. f (x) = (x -a)绘 f (a) ； f (x) = (ax -b)绘 f (一)。 a例 1. f (x) + (x 1) < f (1) o例 2. f (x) + (x +1) < f (-1) o2. f(a|3f(x)+(x-a)(t

13、bS；。因式定理f(x)有因式(x-a),即f (a) =0O ；f (x)有因式(ax -b) , JW f (b) = 0o a例 1. ”*)有因式屋-1), |(J f(1)= 0o例2. f (x)有因式(x+1), U f (1) = 0o靶例4: x+1 除 f(x)=2x75-4x12+3x 1 的绘式悬何？ t£(x +2) f (x)=x1 +x>4-8 时式C+x+% 除式=-1.-2x2 +ax + 2 的因式，U a = ?答：(1)-10 (2)199 tl铜高中（ 一上）5第2章：多式函数重黑占公式糠雪卷（2-3-1多式方程式）a+ bi叫做褪数,

14、 b悬虚部,2.公式 1:褪数（tz a、b、c、d W R） 1.褪数（以C表之）：a、b w R, atfi 部，I若a=0, b丰0,即虚数。靶例 1：化曾(1)78 i + V32 i-/2 i 0(2) 73 . 75。(3) /Z3 o 1fz5答：(1)5, 2i (2) 15i(3)1553.褪数相等： a+ bi = c+di u a= c, b=d4.-.ab ,a :二 0,b :二 0a b =声 ，其他5._ ava ib .b 二 a.b,a Qb ： 0，其他概念2:共聊褪数1. abi悬a+ bi的共聊:褪数，言已悬a+ bi=abi(a、b R)2 .若 z=

15、a+bi, z. z=|z|2=a2+b23 . z R R u z= z ； z 焉械Im u z= z 04 .逋算性®: IS z、w悬任意褪数，JW(1) z±w二z±w; (2) z w=z. w（三）=皂w w靶例 2: igz=1 + 2i, w=23i, U-z 之共聊褪 w哪。一 4 一 7i答：413公式3:公式解一元二次方程式ax2 +bx +c =0的公式解-b 二 b2 -4acX =o2a（1） b2 -4ac >0 ,雨相火U根。（典x事由交於雨黑占）（2） b2 -4ac=0,雨相等根。（典x事由交於一黑占） b2 -4ac

16、<0 ,雨共聊虚根。（典x事由没有交黑占） 其中b2 -4ac殖啊别式。16例3若3x2 +2x + k = 0有雨相等U根，却J k = ?1答：3公式4:根典彳系数1. 一元二次方程式ax2 +bx+c=0的雨根悬 。、口，Mb（1） 口 + P = -一。a（2） "P = c。a2.已知有雨根悬*、PJW其方程式悬x2 -（-：）x : ： =0靶例 4: 0、P 悬 2x2 7x+4 =0 的二根，U（S -1律-1 ）的值悬？1答：-26第2章：多式函数重黑占公式糠雪卷(2-3-2多式方程式)99 tl铜高中( 一上)概念5:整彳系数一次因式横瞬法(牛48法)段 f

17、 (x) =anxn +an°xn。+a2x2 +a1x +a0是一(0整彳系数多式，a, b是互II且皆不悬0的整 如若axb是f (x)的因式，即qan且bja。代数基本定理每一(Wfi彳系数n次方程式f (x) =0,至少有一他I 褪数根(n e N)oIE例 5:因式分解 f (x) = 2x3 一 5x2 - 4x 3 答：(x 1)(2x -1)(x -3)概念6:成ft定理虚根成It定理IS f (x) =0是彳系数n方程式(n之2), 如果a+ bi是f (x) = 0之一dI虚根(a、b w R) ,即a- bi也是f (x) = 0之一(0虚根。瓢理根成it定理I

18、S f (x) =0是有理彳系数n方程式(n之2), a、b、c w Q (bw0)且 JC瓢理数，IE例 6: U保数多式 f (x) =x6+17x5+ax3+bx2-cx+ d,若 f ( 2 + 3i) = 163i, f (1-4i)= 21,求(1) f ( 2 3i)。(2) f (1+4i)0 答：(1) 16 + 3i (2)-21若a+b Jc融f(x) =0之一瓢理根，却J a b J"C悬另一瓢理根。概念7:勘根定理f (x)是UM系数n次函数(n w N),若a典b是雨 他M如 如果f (a), f (b) <0, U a典b之IW必 存在有一(Him

19、 c,使得f (c) =0。2靶例7:万程式f ( x) = 3x +ax+ a7 = 0有一根介於0典1之另一根介於3典2之刖 a的靶阐悬。答：5 < a < 799 tl铜高中( 一上)7第2章：多式函数重黑占公式糠雪卷(2-4多式函数的圄形典多式不等式)公式1: 一元二次不等式步骤1:解出一元二次方程式ax2 +bx + c =0的雨根a , P步骤2 :意:a> 0(1)ax2 +bx +c >0 刖解X x cot 或 x a P IM靶例 1: (1)x2 -x -6 . 0 (2) 2x2 - x - 6 ： 03-答：(1)x < -2,x 3 (

20、2)-二 x < 22(2)ax2 +bx +c <0刖解悬 a < x < P口 P公式2: 一元二次不等式段 f (x) =ax2 +bx +c有雨根 口 < P 且 a>0 2判别式D=b -4acf (x) >0f (x) =0f (x) <0D > 0, a < Px <a , x > Px =豆，P口 < x < PD = 0, c( = Px w R,x手5x =0(x瓢解D < 0, a < Pxw R(瓢限多解)x瓢解x瓢解靶例2:求下列不等式之解。(1) -3x2 + x+1&l

21、t;0; (2) x2+6x+9>0; 2(3) 9x2-12x+ 4 < 01-131,13答：(1) x , x ： (2)x R, x；-366一公式3:高次不等式f ( x )=anxn + aix+a0之或 <0 (an>0)(1)先分解悬一次因式之稹f ( x ) = an(x xi)(xx2)(xxn)上或 <0靶例 3:解不等式(x+ 1) 95 (x3) 96(x 6) 99< 0答：-1 ：二 x : 6, x - 3(2)圄示之公式4:分式不等式f ( x)(1) -(- >0 =f( x ). g ( x ) 之0 且 g(x)

22、#0; g(x)f ( x) 一一<0 =f ( x ) . g ( x ) E0 且 g(x)¥0。 g(x)小、f ( x)h( x)f ( x )h( x)(2)八l = ql l >0通分g(x)k(x)g( x)k(x)化曾解之。靶例4:解分式不等式(x-2)3/ x-2 -(1) 7 < 0; (2) 之 2。(x-3)5(x+1)7' 'x+1答：(1) x < -1,2 < x ： 3 (2)-4 < x 一199 tl铜高中（ 一上）12第3章：指数典封数函数重黑占公式糠雪卷（3-1指教）公式1 :性K (a悬非0

23、 数) mm nm -nm n am_n(1)a a a(2) a - a n =a 一af ( x )f(x). f(y) = f ( x+y )；fCyy= f ( x-y )。(am)n =amn (4) (ab)m =am bm n(5) (-)n(6)=1(7) a =rb ba1 m(8) an =1i(a悬正IT数)(9) a7 =n/am (a悬正IT数)ffi例 1： (1)化雷f(a/b/ 3 bo- a2 f (2)若3814729 +沟=3x ,刖 x = ?a31183x_3xffi例 2:a2x =5 , U求 ax-ax 的值。a -a-315ffi例3:求方程式

24、 M =92x+9 (2)22x*+23x=5M2x* 的解。答：(1)x - -7 (2)x = 3公式2:乘法公式222.222(1) a b =a 2ab b ； a -b =a -2ab b2x-2x x-x 2aa= (aa)22 x_2x, x_x. 2aa=(a-a)22. 2(2) a b a-b =a -b2 x_2x / x_xx_x、a a = (a a )(a -a )(3) (a b) a2 -ab b2)= a3 b33x_3x, x_x2x2x、a a =(a a )(a-1a )(4) (a -b) a2 ab b2 = a3 - b33x-3xx-x2x2x

25、xa - a = (a -a )(a 1a )公式3:指数方程式(a >0,1)1 . af(x) =ag(x) f (x) =g(x)2 .化悬A(ax)2 +Bax +C =0 ,先以一元二次方程 式求出ax99 tl铜高中( 一上)14第3章：指数典封数函数重黑占公式糠雪卷(3-2指数函数)公式 1: a >0, 第11.底数a>1,由左往右逐渐上升(增函数)a < a 即等，a < B； a f(x)<ag(x)y f (x) < g(x)ffi例1:比较下列各的大小信鼾系(1)a=(V2b b=(V2。，c=(C d=(V2)04一一 . 3

26、a二(0.01) , b=(0.01),解下列各指数不等式x 11 2x(i) 0.1. 0.01 一-21c二(0.01) , d=(0.01f跳2.底数0 <a <1,由左往右逐渐下降(减函数)aJ a P畤，cc a P; af(x)<ag(x)u f (x) > g (x)11答：(1)a>b>d>c a>d>c>b (3) (i)x (ii)x ：_ 53公式2:冰y=f(x)典y=f(x)却再於y串由X y=f(x)典y= f(x)却再於x串由X y=f(x)典 y= f( x)封耦於原黑占 概念3: y=ax的特性(1)

27、都在x串由上方.也就ax的值，区大於0 .ffi例2: U作y = 2x的Bl形，y = 2x的Bl形加以 比较。ffi例3:方程式2x = x是否有数解？言青!筑明您的理由(2)都通谩黑占(0,1 ) .道是因悬a0 =1 .(3)x率由上方的每一修水平和y = ax的Bl形都恰 好交於一黑占.即方程式ax =b (b>0)恰有一U 根(4)由指数函数y =ax的I1形可以知道：它的定羲 域是所有数，而伯域是所有正.(5)具有凹上性，f(x1)f(x2) f(x1 x2)2299 tl铜高中（ 一上）15第3章：指数典封数函数重黑占公式糠雪卷（3-3封数）公式1:封我有意羲常a a0

28、, a =1 , b A0畤，方程式ax =b有唯一数解 x = log a b .X a悬底数，b叫做真教ffi例1:使得loga-i（ 52a ）有意羲的a的靶H悬何？5答：1 :二 a ：二，a = 22公式2 ：性it log a a =1 (2) loga1 =0 合饼相乘二分|<相加：10g a rs = log a r + loga s f ( x>y )=f(x)+f(y)(4)合饼相除二分卅目减:loga - = loga r - loga s sf ( xy ) = f (x)f (y)。(5) log as rt =-loga- (6) alogar =r s

29、公式3 :性常用封数：10g10 r =log r(8)摸底公式：logab=l°g四logca(9)还旗律：log a c x log c d x 10gde = log a e(10)倒数初系:log a b x log b a = 1 .ffi例 2: (1斌求 log10 3 log10 50log10 7 log10105之值。(2)化曾 10g83 + log89。10g 23 10g 4 91答：(1)1 (2)2ffi例 3:鼓:a = log 2 3, b = 1og35 ,被;以 a、b 表示10gl2 45 o答：2a aba 2公式4:卦数方程式(a >

30、0, #1 , b >0)1 .loga f(x) = loga g(x)= f(x),g(x) 0, f(x)=g(x)2 .化悬 A(log a x)2 + B(log a x) +C = 0 ,先以一元二 次方程式求出loga xffi例 4:解封数方程式 10g3（x + 3）=1og9（4x + 17）。答：299 tl铜高中( 一上)11第3章：指数典封数函数重黑占公式糠雪卷(3-4封数函数)(减函数)(ii)公式 1:令 f (x), g(x) >01.底数a>1,由左往右逐渐上升(增函数)log a a < log a P 畤，a < P ;f(x

31、) g(x)a :二 a :二 f(x)二 g(x) 靶例1: U比敕下列各数封大小信鼾系:1. ._(1) a=logj3, b=log .?2, c=log _2- , d= log_2 511(2) a=log0.5-, b=log0.5 2, c=log0.5- , d=log0.5 435(3)解下列各封敷不等式：(i) log2 3x _1 . log2 4 2x(ii) log1 4x _3 . log 12 10g 1 x 4 333答：(1)d>b>a>c (2)c>a>b>d (3)(1) :二 x :二 211:x :2log a a

32、< log a P 畤，a A P ;f(x) g(x)a 二 a 二 f (x) g (x)公式3： logaxH特性x靶例3:万程式Z = log 2 x有襄他数解？答：BI形都在y IS右方.也就是常x是正数畤，log a x才启思莪(2)账都通谩黑占(1,0 ) .道是因悬loga1 -0 .(3)平行x事由的每一修水平>和y - loga x的好都t恰好交於一占.也就是,方程式loga x - b恰有一 (0宣根。(4注寸数函数y =loga x的定羲域是所有正数，而 值域是所有If数.rrr 1“f (xJ + f (x2 )*1 + x2、(5)凹上性，(1)( 2) > f( 公式 2:IE例 2: IS作 y =log3 x 的Bl形，3t典 y = log2x 的Bly =log 2 x和y = 10gl x itffifflBI形封布於x