比例黄金分割平行线分线段成比例定理及例题

1、要点一、比例线段1 成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段2比例的性质：（ 1）基本性质：如果，那么.（ 2）合比性质：如果如果要点诠释：（ 1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（ 2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（ 3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数要点二、黄金分割1. 定义：点 C把线段 AB分割成AC和 CB两段 , 如果, 那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与 AB的比叫做黄金比.要点诠释：

2、 0.618AB（ 叫做黄金分割值）.2. 作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（ 1）经过点B 作 BD AB，使BD= AB.2）连接AD，在DA上截取DE=DB.3）在AB上截取AC=AE. 则点C为线段AB的黄金分割点要点三、平行线截线段成比例要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个基本事实：两条直线被一组平行线（ 不少于 3 条 ） 所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l 1、 l 2、 l 3是一组等距离的平行线，l 4、l 5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A， B， C， D， E， F，则比例式成立 .要点诠释：A 型和 X 型；A型X型

3、则常用的比例式：依然成立.要点四、把已知线段AB五等分.AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.作法1以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.2连结A5B，并过点A1， A2， A3， A4分别作A5B 的平行线，依次交AB于点B1， B2， B3，B4. 则点B1， B2，B3， B4就是所求作的把线段AB五等分的点.依据：实际上，过点A作 lA5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,B1， B2，B3， B4把线段AB五等分.

4、要点诠释：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规, 不能使用直尺进行量取, 尺规作图, 它的用途是画线或者连线1. （ 2016?兰州模拟）若a： b=2： 3，则下列各式中正确的式子是（A 2a=3bB 3a=2bCD根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案A、 2a=3b? a： b=3： 2，故选项错误；B、 3a=2b? a： b=2： 3，故选项正确；C、 = ? b： a=2： 3，故选项错误；D、 = ? a： b=3： 2，故选项错误故选B【总结升华】考查了比例的性质在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积2. 设，求的值【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求

5、出x， y， z 的值，因此用设参数法代入化简【答案与解析】设k则 x 2k， y 3k， z 4k原式原式【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去3. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即 0.618 ），如果在其内作正方形 CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？1）矩形的宽与长之比值为2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明即可【答案与解析】矩形 ABFE 是黄金矩形理由如下：因为所以矩形ABFE 也是黄金矩形【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法5. （ 2014秋 ?

6、平川区校级期中）已知：如图，在ABC中，AB=AC，且， EG CD证明：AE=AF=， 且， 可得 =， 结合 AB=AC ， 由比例的性质可得=，可得 AE=AF 【解析】证明：EG CD ，= ，且，=，= ，即 =，AB=AC ，AE=AF 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段6 如图，在矩形ABCD 中， AB=2 ， BC=3，点E、 F、 G、 H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF AC HG， EH BD FG，则四边形EFGH 的周长是（） .【思路点拨】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例的基本事实列式表示出

7、EF 、 EH 的长度之和，再根据四边形EFGH 是平行四边形，即可得解【答案与解析】在矩形 ABCD 中， AB=2 ， BC=3，根据勾股定理，AC=BD=，=， EF AC HG ， EH BD FG，=1 ， EF+EH=AC= ， EF HG， EH FG，四边形EFGH 是平行四边形，四边形EFGH 的周长=2（ EF+EH ）=故选 D 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例的基本事实求出是解题的关键，也是本题的难 点7 把已知线段a（如图）三等分【答案与解析】作法1把已知线段a 的两端点分别标注字母A， B，再以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA 1=A 1A2=A2A35.2