二次方程根的分布情况归纳(完整版)VIP

1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2+bx+c=。根的分布情况设方程ar+bx+c =0(d H 0)的不等两根为心兀且片 < 心，相应的二次函数为/'(x) = or? +bx+c=0,方程的根即为 二次函数图象与X轴的交点，它们的分布情况见下而各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与。的大小比较即根的正负情况)一布情况美 V 4 D T3 1氐于大加个大致图象得出的结论A D + D9)yoVK°加o(9)三 o oD大改药象2，得出的结论DD一 D无、 9) 7D IV o D 士 y 9)o V n综合结论(不讨论二)2M

2、 AM方加 一 (O ，A7 /O43 JJA o 1表二：（两根与£的大小比较）0F*, K- N.41lztAskD大改织象B得出的结论UDD一 、/J/4)4kDD一 y、y见 4) 4A二.a ；B1B得出的结论一 、4)4AK一加 u、/V m sD *DD 共yA ， m / 、Ao表三：（根在区间上的分布）5分布情况N > d9得出的结论T 77m D o'D 二心,.A泮b Q士。1或'7 F /A OA Oa <0得出的结论AA DY3)近 w1AX 二 二、或 7 X I一、二o o A A综合结论(不讨论二)A根在区间上的分布还有一种

3、情况：两根分别在区间（加/）外，即在区间两侧召（图形分别如下）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在（/,”）有以下特殊情况: 1。若/（/«）=。或/（“）=0,则此时/（/«/（/?）< 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为加或“，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间（加J ），从而可以求出参数的值。如方程区2（加+ 2）x+2 = 022在区间（1,3）上有一根，因为/（I） = 0> 所以 mx2 （m+2） x+2 = （xl）（mr2） > 另一根为一由 1 < 一 <32得一统

4、<2即为所求；32。方程有且只有一根，且这个根在区间（？，），即二0,此时由4 = 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程,求出相应的根，检验根是否在给左的区间，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2-4/八+2w+ 6 = 0有且一根在区间（-3,0）,求加的取值围。分析：由/（-3>/（0）<0即（14加+ 15）（加+ 3）<0得出53一 3v ？< 一言丁 ：由二（）即 16/一 4（2？ + 6） = 0 得出 ？ =-1 或加二；，当 ？二一1 时，根兀=-2e（- 3,0）,3315即 2 二 1满足题意：当/«二.时，根兀二3点（一

5、3,0）,故/二不满足题意：综上分析,得出一 3< 2-一或2v7214m- -1根的分布练习题例1、已知二次方程（2加+ 1）7E_2皿+（加_1）=。有一正根和一负根，数加的取值圉。解：由（2八+ 1）./（0）<0即（2加+ 1）伽一 1）<0,从而得一 1</»< 1即为所求的围。例2、已知方程2/（加+ 1）尤+ 7 = 0有两个不等正实根，数川的取值凰 >0>0 => <( 2 +- ir/ (0) >0(加+1)-8/77 > 0Hl >-1 ？ v 3 一 2 近或 u>3 + 2 >

6、/2=>0 v也v 3 - 2 >/亍或加3 + 2即为所求的用。例3、已知二次函数y - (m+2)八-(2m+4)x+(3m+3)与x轴有两个交点，一个大于1, 一个小于1,数加的取值围。解：由(?+2)./(1)<。即(加+ 2)(2加+ 1)<0 =>2侬<-即为所求的围。2例4、已知二次方程77U-2+(2/77-3) %+4 = 0只有一个正根且这个根小于1,数川的取值围。解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则/(0>/(1)<0 => 4.(3/? + 1)<0 => .即为所 求围。(注：本题对于可能

7、出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在(0,1),由4 = 0汁算检验，均不复合题意,计算量稍大)若一？ 心则 /(A)max = maXl1 /Wmin = r/OOf ；I 2a )2a)JJ、"J2a2、二次函数在闭区间加司上的最大、最小值问题探讨bm < n <m << / 即一 一e m.n2a2aLb< m < n 2ayJ'=a?+ 以+u = 0> 0):p、fT7r/yJ/= a? -%>+ u = 0 a >yJa >_qVz "VDX .t. u - u)m n j mnx3X最大、

8、最小值/Mmax = fM=/(«)/(Qmax = max/( )，/ ( ?)/(Qmin =f/U)max = / ( )/(A)nun = fM设/小)=/+bx + c =0九则二次函数在闭区间加J上的最大、最小值有如下的分布情况:对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论:(1) min 若f丘加/，则/(a)max = max/(/«),/(/:),/(x)min =nin/(m),/(n)2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开X轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口 向下时，自变量的取值离开X轴越远，则对

9、应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方而入手：开口方向.对称轴以及闭区间，以下三个例 题各代表一种情况。例1、函数f(x) = axL2cix+2+b(”0)在2,3上有最大值5和最小值2,求的值。解：对称轴xo = P 2,3,故函数/(x)在区间2,3 士单凋。 r3a + b + 2 =(1)当。>0时，函数/(X)在区间2,3上是增函数，故<=> 5=>/r -I0(心一(2)h + 2 = 5 a = -1(2)当avO时，函数/(A)八E区间2,3 h是减函数，故=>=>3a+b + 2

10、= 2 b = 3nun例2、求函数/(x) = %2ax+kx八1,3的最小值。解：对称轴/口(1)当“VI 时，y.n=f(!) = 2-2a :当 时 » )M=/(。)= 1 E ；(3)当“3 时尸7(3)= 10-66/改：1 .本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解:当 a <2 时，/(x)nux =/(3)= 10-66/；(2)当 a>2 时，/(X%八=/(1) = 2-2A/«2.本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：当“V1 时,/唤 * (3) = 10&, /Wnun =7(1) = 2-267 ；当 1K2

11、时，=10-&八 /(叽 n=/(") = 1_/：(3)当 2”<3 时,/(八)_=/(1) = 2-2«,心)一二 1"；(4)当”3 时,/Wnm=/(l) = 2-2八,/«_=/(3) = 10-6八例3、求函数y=F_4兀+ 3在区间/,/ + 1上的最小值。解：对称轴xo = 2(1)当2vf即/>2时，儿讪二于(/)二尸一 4/+ 3：(2)当 t<2<t +1 即 1 时，YnMn =/(2) = -1 ：(3)当 2>+ 1 即 fV 1 时，=/(r + 1)=於-2/例4、讨论函数/(x) = x2 +lx-«l+l的最小值。解：f(x) = -kx-a + =炉