反比例函数与几何综合.试题库学生版

1、反比例函数与几何的综合题一、反比例函数的定义k函数y k（k为常数，k 0）叫做反比例函数，其k中叫做比例系数，x是自变量，y是函数， x自变量X的取值范围是不等于 0的一切实数.二、反比例函数的图象k反比例函数y （ k为常数，k 0）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或x减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线.kk反比例函数y k与y k （k 0）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称. xx三、反比例函数的性质反比例函数y k （k为常数，k 0）的图象是双曲线； x当k 0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增

2、大而减小；当k 0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大.注意：k反比例函数y - （k 0）的取值范围是x 0 .因此， x图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来.叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，. ,. k如当k 0时，双曲线y 的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.这是由于x 0,即x 0或x 0的缘故.如果笼统地叙述为 k 0时，y随x的增大而增大就是错误的.由于反比例函数中自变量 x和函数y的值都不能为零， 所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标

3、轴无限贴近的趋势.在画出的图象上要注明函数的解析式.四、反比例函数解析式的求法k反比例函数的解析式 y k（k 0）中，只有一个系数 k,确定了 k的值，也就确定了反比例函数x的解析式.因此，只需给出一组X、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式.五、比例系数k的几何意义 k过反比例函数y k 0 ,图象上一点P x,y ,做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、 P点组 x成一个矩形，矩形的面积 S |x y xy |k|.目M眸 例题精讲一、反比例函数与几何综合【例1】k 一. .已知点(1,3)在函数y (x 0)的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角

4、线BD xk的中点，函数y (x 0)的图像经过 A、E两点，若 ABD 45 ,求E点的坐标.xk【例2】 如图，点A(m , m 1), B(m 3 , m 1)都在反比例函数y k的图象上. x(1 )求m , k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点 A , B , M , N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN的函数表达式.【例3】如图， ROAi、 2AA2都是等腰直角三角形，点 P、P2在函数y -(X 0)的图像上，斜X【例 4 如图所不，P1 x1, y1 , P2 x2, y2 ,9,Pn Xn , yn在函数y - X 0的图象上，ORA,XP2A1A

5、2 ,RA2A3,RA lAn ,都是等腰直角三角形，斜边 OAi, AA2,，A lAn都在x轴上，则y1 y2yn边OA、AA2、都在x轴上，求点A2的坐标.1例5 如图，P是函数y 一 (x 0)图象上一点，直线 y x 1交x轴于点A ,交y轴于点B,2xPM Ox轴于M,交AB于E, PN Oy轴于N ,交AB于F .求AF BE的值.例6 已知：等腰三角形 OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为 3/3,3，点B的坐标为 6,0(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形 OAB，请直接写出 A、B的对称点A、B的坐标；(2)若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点

6、A恰好落在反比例函数 y 6©的 x图像上，求a的值；(3)若三角形OAB绕点。按逆时针方向旋转 度(090).当 =30o时点B恰好落在k反比例函数y匕的图像上，求k的值.【例7】过原点作直线交双曲线 y -(k 0)于点A、C,过A、C分别作两坐标轴的平行线，围 x成矩形ABCD,如图所示.知矩形ABCD的面积等于8,求双曲线的解析式；若已知矩形 ABCD的周长为8,能否由此确定双曲线的解析式 ？如果能够确定，请予求出;如果不能确定，试说明原因.【例8】 如图，已知正方形 OABC的面积为9,点。为坐标原点，点 A在x轴上，点C在y轴上，k点B在函数y (k 0 , x 0)的图

7、像上，点P(m, n)为其双曲线上的任一点， 过点P分 x别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 E、F ,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S .求B点的坐标和k的值；9当S 9时，求P点坐标；2写出S关于m的函数关系式.【例9】 已知图中的曲线是反比例函数 y m5 （m为常数）图象的一支. x这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？若该函数的图象与正比例函数y 2x的图象在第一象内限的交点为A,过A点作x轴的垂线，垂足为B,当 OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式.k 1 k【例10】两个反比例函数 y 和y -在第一象限内的图象如图所示，点

8、P在y 一的图象上，一，11 ,PC x轴于点C,父y 的图象于点 A, PD y轴于点D,父y 的图象于点B,当点P在y k的图象上运动时，以下结论： x ODB与 OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点 B一定是PD的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）【例11】两个反比例函数y殳和y k2 ki k2 0在第一象限内的图象如图所示，动点Px x在y k1的图象上，PC x轴于点C,交y 此的图象于点A , PD y轴于点D,交y -k2的图象于点B .求证：四边形 PAOB的面积是定值；当PA

9、 2时，求DB的值；PC 3 BP若点P的坐标为5,2 , OAB , ABP的面积分别记为SOAB、 S ABP , 设S OAB求k的值;当k2为何值时,S有最大值，最大值为多少?OCx【例12如图，点A、B在反比仞函数 y - (k 0)的图象上，且点 A、B的横坐标分别为 a和 x2a(a 0)AC x轴，垂足为C, AOC的面积为2.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点(a , yi), ( 2a , y?)也在反比例函数的图象上，试比较W与y2的大小；(3)求 AOB的面积.【例13】已知：在矩形 AOBC中，OB 4, OA 3.分别以OB, OA所在直线为x轴和y轴，建立如图

10、所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与 B, C重合)，过F点的反比例函. k -.一. ,.、.数y (k 0)的图象与AC边交于点E. x(1 )求证： AOE与 BOF的面积相等；(2)记S SAoEf SAecf ,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)请探索：是否存在这样的点 F ,使得将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？ 若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【例14】如图，反比例函数 y 8的图象过矩形 OABC的顶点B, OA、OC分别在x轴、y轴的正 x半轴上，OA:OC 2:1 .(1)设矩形OABC的对角线交于点 E ,求出E点的坐标

11、；(2)若直线y 2x m平分矩形OABC面积，求m的值.【例15】4 一 “，一一一八，一，一、，.，k 右一次函数y 2x-1和反比例函数y 4的图象都经过点(1, 1).2x(1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点 A的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2,0),且以点A,O,B,P为顶点的四边形是 平行四边形，请你直接写出点P的坐标.k【例16如图，点A m, m 1 , B m 3,m 1都在反比例函数 y 的图象上. x(1 )求m , k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A,B,M ,N为顶点的四边形是平

12、行四边形，试求直线 MN的函数表达式.【例17】已知A( 1, m)与B(2, m 3百)是反比例函数y K图象上的两个点. x(1)求k的值;(2)若点C( 1,0),则在反比例函数y为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点k图象上是否存在点 D ,使得以A, B, C, D四点 xD的坐标；若不存在，请说明理由.12求【例18如图，已知反比例函数 y 上的图象和一次函数y kx 7的图象都经过点P m,2 .x顶点这个一次函数的解析式； 如果等腰梯形 ABCD的顶点A,B在这个一次函数图象上,C , D在这个反比例函数图象上， 两底AD , BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为k【例19】反

13、比例函数y L和一次函数y 2x 1,其中一次函数图像经过 a ,b , a 1 ,b k两 2x点.(1 )求反比例函数的解析式；(2)求出两函数的交点 A的坐标.在x轴上是否存在点P,使 AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点 P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由.【例20】如图，如果函数yx与y4 , 一一一-的图像交于A, xB两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C ,求 BOC的面积.【例21】如图，一次函数y kx b的图像与反比例函数 ym的图像交于A( 21), B(1, n)两点. x(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;(2)求AOB的面积.【例22】正比例

14、函数y kx(k 0)与反比例函数y 1的图象相交于 A、 C两点，过A作AB x轴 x于B ,连结BC ,若ABC的面积为S ,求S.【例23】将直线y x向左平移1个单位长度后得到直线 a,如图，直线a与反比仞函数y - x 0 x的图象相交于 A,与x轴相交于B,则OA2 OB2 .【例24】已知：等腰三角形 OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为 3& ,3，点B的坐标为 6,0.(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形 OAB，请直接写出 A、B的对称点A、B的坐标；(2)若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数 y 还 的 x图像上，

15、求a的值；(3)若三角形OAB绕点。按逆时针方向旋转度(090) .当 =30o时点B恰好落在反比仞函数y人的图像上，求k的值.【例25】如图，直线y kx b与反比例函数y旦x 0的图象相交于点 A、点B,与x轴交于点C , x其中点A的坐标为 2, 4 ,点B的横坐标为 4 .(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求AOC的面积.【例26如图，在直角坐标系 xOy中，一次函数y kix b的图像与反比例函数 y及的图像交于A 1 ,4 ,B 3,m 两点.(1)求一次函数的解析式;(2)求AOB的面积.【例27如图，已知Rt ABC的顶点A是一次函数y x m与反比例函数y m的图像在第一象限 x内的交点，且 S AOB 3 .(1 )该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写