圆与直线方程相关习题

1、圆与直线方程相关习题兀、.兀C6或61 .直线y=kx+3被圆(x2)2 + (y3)2=4截得的弦长为2力，则直线的倾斜角为(A )D.解析圆(x2)2+(y3)2=4的圆心为(2,3),半径r=2,圆心(2,3)到直线y= kx+ 3的 距离d= 我曾，因为直线丫=h+3被圆仅一2)2+83)2=4截得的弦长为2® 所以由勾 股定理得r2=d2+(乎)2,即4 = 含+3,解得k=3,故直线的倾斜角为 龄565.2 .设直线xya=0与圆x2+y2=4相交于A, B两点，。为坐标原点，若 AOB为 等边三角形，则实数 a的值为(B )A.班B.岖C. ± 3D.

2、77;9解析由题意知：圆心坐标为(0,0),半径为2,则4AOB的边长为2,所以 AOB的高为木,即圆心到直线 x ya=0的距离为J3,所以j J一司=$3,解得a=却6.52+ -123.已知点 A(-2,0), B(0,2),若点 C 是圆 x2-2ax+y2+a2- 1 = 0 上的动点， ABC 面 积的最小值为3-®则a的值为(C )A. 1B. - 5C. 1 或5D. 5解析解法一：圆的标准方程为(x- a)2 + y2 = 1,圆心M(a,0)到直线AB： x-y+ 2=0的距离为d =0+2J血，可知圆上 的点到直线 AB的最短 距离为 d - 1 =号机一1，(

3、SaABC)min = " X 2寸2解得a= 1或5.解法二：圆的标准方程为(x-a)2+y2=1,设 C的坐标为(a + cos。，sin。)，C点到直线 AB ： xy+2=0的距离为 d = |a+ cos 0 sin 0+ 2|2|艰sin 0-4 + a+ 2|,21hJ2sin 0- 4 +a+2| ABC 的面积为 Saabc =1x2j2X22= |gin( 0-4)+a+ 2|,当 a>0 时，a + 22=3#,解得 a= 1;当一2Wa<0时，|a+2成|=3 ,，无解；当 a< 2 时，|a+ 2 + 2|= 3 一寸2,解得 a= - 5

4、.解法三：设与 AB平行且与圆相切的直线1'的方程为x- y+m=0(mw2),圆心M(a,0)到直线l'的距离d=1,即同曾|=1,解得m =2两平行线l, l'之间的距离就是圆上的点到直线AB的最短距离,2.2(SAABC)min =2x2.x1 也冒一2|=| 把-a-2|.当a>0时，|把一a 2|=3爽，解得a= 1.当 a<0 时，| 42a2|=3 也，解得 a=5.故a= 1或5.4.已知直线x+yk=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点 A, B,。是原点，且有|OA + OB芦乎|AB|,则k的取值范围是(c )B.的，+8

5、)D. V3,唔A.(木,+8 )C. .2, 2 2)解析本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算.设AB的中点为D,则OD ±AB,因为 |5A+oB|R 乎|晶|,所以 |2而方卓|痴，|aB|W2V3|OD|,又因为 |0D |2 + ；4|>AB|2 =4,所以|0D|A 1.因为直线x+ y- k= 0(k>0)与圆x2+y2 = 4交于不同的两点，所以 |0D|<2,所以k / <2，解得血wk<2，2,故选C.5.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点, 则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公

6、共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知直线 li： 2x y+a=0, 12： 2xy+a2+1 = 0 和圆：x2+y2+2x4= 0 相切，贝U a 的取值范围是(C )A. a>7 或 a<3B. a>V6或 a< 乖C. 3w a w 6或 J6& a w 7D. a > 7 或 a w 3解析本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力.两条平行线与圆都相交时，|2 -1 +a| f-5< 5由|2 -1 +a2+1|得*76<a<

7、; 述,< 5两条直线都和圆相离时,|2 -1 +a| Q山5> 5|2 1 +a2+1|得a<-3,或a>7,所以两条直线和圆“相切”时a的取值>5范围3Waw 乖或乖&a&7,故选 C.6.过点 P(1,1)作圆 C: (x t)2+(y 1+2)2= 1(te R)的切线，切点分别为 A,B,则 PAPB21的最小值为21.解析圆C： (xt)2+(y1+2)2=1的圆心坐标为(t, t 2),半径为1,所以 PC = H t+ 1 2+ t3 2=、2 t1 2+8PA=PB=4PC21 , cos/ APC = AC,AP -2所以 co

8、s/APB = 2 PC 2-1 = 1-PC2,所以 PA PB= (PC2 1)(1 秦)=3+ pc2+聂3+ 8+1= PCPC421所以PA PB的最小值为21.7.过点C(3,4)作圆x2+y2=5的两条切线，切点分别为A, B,则点C到直线AB的距离为4.35 一解析以OC为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=(-)2, AB为圆C与圆O： x2+y2325 .=5的公共弦，所以 AB的万程为*2+丫2汽一5)2+32)2=5 彳，化为3x+4y5=0,C至ij AB的距离为d =|3X3 + 4X4 5|.32+ 424.1 c 8.在 ABC中，角 A、B、C的对边分

9、别为 a、b、c,若sin2A+sin2B=2sin2C,则直线 ax by+c= 0被圆x2 + y2 = 9所截得弦长为2代.1 c斛析由正弦th理得a2+ b2= 2c2,圆心到直线距离 d =. .弦长 l=2>Jr2-d2 =29-2 =2"9. (2018全国卷n, 19)设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A, B两点，|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解析由题意得F(1,0), l的方程为y= k(x-1)(k>0).y= k x 1 ,设 A(Xi, y1)，B(

10、x2, y2),由,得 k2x2(2k2+4)x+k2= 0.'y2 = 4x,»2k2+4A= 16k2+16>0,故 xi+x2= k2 .4k2+ 4所以 |AB|=|AF|+|BF|=(Xi+ 1)+(x2+ 1) = -. k4 k2+4. 一.由题设知k2 = 8,解得k= 1(舍去)，k= 1.因此l的方程为y=x1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2 = (x3),即y=x+5.设所求圆的圆心坐标为(xo, y°),y0= 一 xo+ 5,则xo+ 12 y0 X0 + 1 2 ” 2=-y+ 16.2

11、解得xo= 3, y0= 2X0= 11, 或y0= - 6.因此所求圆的方程为 (x- 3)2+ (y- 2)2 = 16 或(x- 11)2+ (y+ 6)2= 144.10. (2017全国卷ID , 20)在直角坐标系 xOy中，曲线y=x2+mx2与x轴交于 A, B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题:(1)能否出现ACXBC的情况？说明理由.(2)证明过A, B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现AC，BC的情况.理由如下:设 A(x1,0), B(X2,0),则 X1, x2满足 x2+mx 2=0,所以 X1X2= 2.又点C的坐标为(0,1),一一r 、.I, 1 11故AC的斜率与BC的斜率N积为三五一2,所以不能出现 ACLBC的情况.(2)证明：BC的中点坐标为(X2, 2),可得BC的中垂线方程为y 2=