二次根式的加减法

1、第11课 二次根式的加减法（1）一、目的要求：1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类 二次根式。2、使学生通过辨别同类二次根式，培养从特殊中找出一般、从 个性中找出共性的对立统一观点。二、内容分析：1、从科学思想方法上来说，分类和归类正好是对立统一的，相辅相成的种互逆的研究过程，在学习教学时、既要重视分类，也要重 视归类，两者缺一不可。例如，对于“项”这一研究对象，在我们分 析了它的特点后，把“整式”这一概念按照项的多少进行了分类（即 分为单项式和多项式）；反过来，又把“单项式”这一概念按照项中 除系数外其余部分完全相同这一性质进行了归类（即归为同类项）。对于“方程”这一研究

2、对象，在我们分析了它垢特点后，把它分为有 理方程、无理方程、超越方程等；反过来，又把形式上完全不同的方 程2x=2， x 1 0等归为同解方程。分类越细，我们对整体的结构就 越清晰；归类越明确，我们对整体中部分的认识就越深入。例如，经 过归类，我们知道同类项可以相加减；“同解”是一种等价关系，因 而具有自反性、对称性和传递性等等。2、在二次根式的四则运算中，加法与减法要在同类二次根式的 概念引入后进行，而同类二次根式的概念是以最简二次根式的概念为 基础的，这就是说，学习最简二次根式与同类二次根式，是学习二次 根式的加减运算的必要准备。由此可见，先学二次根式的乘除，后学 二次根式的加减，这是有原

3、因的。3、同类二次根式的概念中，最关键的是“被开方数相同”这六 个字，根据这六个字，35与 3 5-*5与 25等等，都不是同类二次根式，这是因为在-.3 .5中，有两具被开方数, 而在3.5中，只有一个被开方数；同理，在与2、5中的个数也不同。另外，“化成最简二次根式以后”这十字也是很重要的，由上所 述，由上所述，我们可以体会到上一课中我们强调把二次根式化成最 简二次根式时，应该注意分母有理化的道理，如果不强调这一点，那 么在1 ； a 2 a 丄仝 2 a 2、一 a333这两个运算式子中，就不知道该以哪一个式子为标准解答了。 在本章 中，我们认定 3a与-a的被开方数不同，它们不能合并，

4、所以不要法 语学生类似第一个式子那样来进行运算。三、教学过程复习提问：1、什么叫做最简二次根式？它必须满足哪几个条件？（把学生回答的条件写在黑板上，其中应该包括分母中不含根号这一条。）2、把下列各式化成最简二次根式：.(8)24( 4)a2 b1,2(a b)（让四名学生上黑板做，其余学生分四组在下面选做，待上黑板 的学生做完后，教师即可讲评。）3、已知a=2，b=-8, c=5，求代数式一4ac的值。2a新课讲解：1、请同学们看下面两个例子。（1）计算2、3 3 2，有哪些方法？一种是根据21.414，进行近似计算，求出原式的近似值；另一种是先设a 2，根据分配律进行计算，即原式=2a 3a

5、 (2 3)a 5a 5.2(2)计算-.8 ,18，有哪些方法?一种是查表求出-8.18的近似值，再算出原式的近似值；另一种是同前几节课一样，先把.8, ,18进行化简(当然化成最简 二次根式为好)，得原式=.23 .32 2 2、2 3 2 5 2其中最后一步变开是根据例子(1)的结果。2、上面两个例子表明，遇到两个二次根式加时，我们希望利用 分配律，这里利用分配律的实质是要法语这两个二次根式的被开方数 相同。这种类似的情况我们过去也遇到过；将两个单项式相加，如果 想利用分配律的话，那就应当要法语这两个单项式除了系数以外， 其 余部分完全相同，这就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”

6、 那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢？ 答案是肯定的，因为前面学过的知识已为你们作好了准备。3、请同学们看教科书第32行：“几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根 式。”在这一定义中，最关键的词是“最简二次根式”和“被开方数 相同”。就是说，同类二次根式必面满足以下两个条件：(1) 它们都是最简二次根式；(2) 它们的被开方数必须完全相同根据这一定义，3 -.5与3 5, -，a与2 a都不是冋类一次根式，这是因为前者、后者的被开方数不同，而且1 2的分母中还含有根V3号，不符合我们对最简二次根式的要求，而 8, 18,4

7、 2等，就是同类 二次根式。4、请同学们看教科书第190页上的例1,(可出示预先抄好例1 题目的小黑板。)从这个例题可以看出：判断两个二次根式是否同类二次根式， 必 须先把它们化成最简二次根式，再看它们的被开方数是否完全相同课堂练习：教产书第192页上练习的第1题。课堂小结：在这节课时里，我们学习了什么是同类二次根式，我们知道它们 必须符合两个条件，一是都化成最简二次根式的形式， 二是被开方数 完全相同。“同类二次根式”与“同类项”一样，将在加减运算中起 关键作用，从许多二次根式中找出同类二次根式， 这种思想方法就是 归类的思想方法，与分类的思想一样，它们都是我们学习各门科学（包 括数学这样的

8、工具学科）的重要思想方法。四、课外作业：教科书习题11.5A组的第1题。对于题目中的二次根式 1 （m p），可提示学生，这个式子 mn np的被开方数的分母可以分解因式； 应该先分解因式，然后再将整个二 次根式化成最简二次根式。第12课 二次根式的加减法（2）一、目的要求：1、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式舞蹈法与减 法运算。2、使学生通过二次根式的的加减， 进一步了解归类的思想方法。二、内容分析：1、在上节课里，学生学习了同类二次根式的概念，这一概念是 继续学习二次根式的加法与减法运算的基础， 不是同类二次根式的二 次根式，例如：2 与 13,343，虽然可以“通分”，但却不能

9、合并，从而也不能相加减，由此可见“同 类”的意义。2、学习了二次根式的加减后，要与二次根式的乘除相比较，可向学生指出:.9 .169 1699.161616' 16 . 9. 9但.91616 ,.16. 916 9由此又可看到乘除与加减的不同；只有通过找出同类二次根式的途 径，才能进行二次根式的加法与减法运算。从理论上来说：两个二次根式的积与商仍是一个二次根式（包括有理式）；但两个二次根式如果不是同类二次根式，那么它们的和与 差就无法合并成一个二次根式。这一点不必对学生讲。三、教学过程：复习提问：1、什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？（把下列必 要条件写在黑板上：）（1）它们

10、都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同。2、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（1） 33 ；（ 2）1 ；（ 3）、77 ； a（4）£ ；（5）5無；（6）。（请两名学生在上黑板做，其他学生在下面做，做完后讲评。）3、X取什么值时，最简二次根式3.2X 1与 3x 1是同类二次根 式？要求学生回答：这两个二次根式已经是最简二次根式了，要使它们是同类二次根式，还必须满足“被开方数完全相同”这一条件，由 此得到方程2x+ 仁 3x-1解这个方程，得x=2所以，当X=2时，最简二次根式32x 1与 3x 1是同类二次根式，这时 3.、2x 13、.5_3x 1'.

11、5。新课讲解：1、请同学们看教科书第190页的最后一段文字，它告诉我们：就像整式的加减可以通过合并同类项来进行那样，二是根式的加减则可以通过合并同类二次根式来进行。 这就是二次根式的加法与减法运 算的实质。2、再看教科书第191页上的例2。（除了使用“原式”一词外，在后面进行恒等变形时，可将运算步骤写得稍为详细一些； 也可以模 仿教科书上写的解的过程，利用黑板的右侧当草稿纸来进行演示。）结果得到 蟹2这个结果也可以写成140 .3，但不要写成155、3，以999免误解成15，5，3这三个数相乘。93、再看教科书第191页上的例3。这道题是被开方数中含有字 母的二次根式相加减的例子。把三个二次根

12、式化成最简二次根式后， 它们的被开方数都是x，所以是同类二次根式。.34、最后看教科书第191页上的例4,这道题先要去括号，去括 号法则与以前学过的一样，去括号后要确认 丄丁2与工2丄J2是同2244类二次根式，耳 $ 3与5.3是同类二次根式（前面的正号或负号3 3可以不予考虑）。所以可以利用分配律将它们分别合并，最后得到结 果 丄 空时，要指出由于、2 与: 3不是同类二次根式，所以43_与 空 也不是同类二次根式。二 空 就是例4的最后结果了（也4 343可以写成丄12 '3，但不能写成 丄41 V13。）43433课堂练习：教科书第192页上练习第2题的第（1）、（3）、（5）、（7）小题和 第3题的第（1）、（3）、（5）小题。课堂小结：这节课我们学习了二次根式的加法与减法运算，通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式，这正如整式相加减的实质就是合并同类项一样，为了确认哪些被开方数是否完全相同 去判断