《电动力学》公式推导荟萃

1、电动力学公式推导荟萃0.序为了培养学生严谨的逻辑思维能力， 训练严密的数学演算技能，掌握电动 力学课程的基本理论、基本方法和基本知识，系统把握课程的理论体系以及重 点和难点。在此我们结合课程特点以及教学实践，着重编撰了电动力学课程 中对典型公式或理论的推导内容，并在适当的地方加了注释，供同学们学习中参 考。本电动力学公式推导荟萃分列十余条专题，具体内容如下表：公式推导列表序号内容所属早节1电磁场能量守恒定律的推导。第1章：电磁现象的普遍规律2静电势®满足泊松方程的推导。第2章：静电场3静电场能量公式的推导。第2章：静电场4静磁场矢势A满足微分方程的推导。第3章：静磁场5静磁场能量公式

2、的推导。第3章：静磁场6磁标势 m满足的微分方程的推导。第3章：静磁场7波动方程的推导。第4章：电磁波的传播8亥姆霍兹方程的推导。第4章：电磁波的传播9平面电磁波性质的推导。第4章：电磁波的传播10导体中自由电荷随时间变化规律的推导。第4章：电磁波的传播11导体中电磁场关系的推导。第4章：电磁波的传播12达朗贝尔方程的推导。第5章：电磁波的辐射13振荡电偶极子辐射场的推导。第5章：电磁波的辐射14电磁场动量守恒定律的推导。第5章：电磁波的辐射15多普勒公式和光行差公式的推导。第6章：狭义相对论16相对论力学方程的推导。第6章：狭义相对论1.电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组 dD可汉H

3、 = J +和洛仑兹力公式f二'E v B及J二V，结合公式P （E 汉 H）=（灯汉 E） H （ 汉 H） E可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为f v =（沱 Z B） v = -v E；D二 J E = C H ） E _ cti:D二 c H） E E-L ' (E H) C E) H L-D E ct；D E:tB-'(E H) HS = E H.:w :D BEH:t ：t-:t则给出电磁场能量守恒定律的微分形式为对应的积分形式为l<S 持 B f vdV + IwdV-Vdt V注释:对于各向同性线性介质，D二；E, B八1'H，由:：t

4、 能量密度为,:w ： D一 ：:tH给出w 二 2（E D H B）- 2而S = E H为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。*练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。2. 静电势满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将D八E，E代入v 0 = - 得i ( ；E) - i ； E ：炸 E - - i -讥= rf即2 1 2 f ；z对于均匀介质，有' ；=0,上式给出v钿Tf /名此即为静电势'满足的泊松(poisson )方程，其中：f为自由电荷体密度 注释：当&#

5、39; ；=0，或- E时，均有 =0，仍满足泊松方程。3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为1 _ _W E DdV对于静电场，利用E » :给出E D 二*呼 D = -p ( D)尹 D二( D) 所以E DdV = - J ( D)dV dV 二-D ds dV“又；：D ds=°，故1w m-HdV注释：(1) 电场能量分布于空间电场中。在静电情形下，电场决定于电荷分布,场内没有独立的运动，因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。1 r:(2) 2不能视为静电场能量密度，上式只对 静电场的总能量才有意义 (因为静电能不是分布在电荷上)。W =edV申(

6、3) 静电相互作用能为ie ，其中e为外电场的电势。4. 静磁场矢势A满足微分方程的推导因为' -B = 0，有B八A。对于各向同性线性介质，将H = B "及BA代入静磁场方程' H二J，得1 _ 1-1 _ 1 -'、(B)BBC A)C A)1a7八 4 ( A) 4 C A)八2A = J运用库仑条件'A"，经整理给出2 1'、，A(I A)= - J4 =0对于均匀介质，有",上式给出*巴 A = 0)此即为静磁场矢势A满足的微分方程，其中J为传导电流体密度。注释：1 1 0 I 1 _ B' C A) -

7、0当，或时，均有，此时A仍满足上述方程。5. 静磁场能量公式的推导在线性介质中，磁场总能量为1 - W B HdV2：对于静磁场，结合公式v (A H)二C A) H -0 H) A,应用磁场方程 B八A, ' H = J可给出B H = x A) H(A汉 H) + A= N (A汉 H) + A J所以1 一 一1 一 一W(A H)dV A JdV2 二 2ds A JdV2：1 1 (AH)"CO(A H) ds 二 0又二，故2注释：（1）磁场能量分布于空间磁场中。在静磁场情形下，磁场决定于稳恒电流 的分布，因而静磁场的总能量可由电流分布决定。1 A J（2） 2不

8、能看作为静磁场的能量密度，上式只对 静磁场的总能量才有 意义（因为磁能不是分布在电流上）。（3） J在外磁场A中的相互作用能为w = J AedV6. 磁标势"m满足的微分方程的推导在J =0的区域内（且H dl 0），静磁场方程为厂H = 0N B=0对介质方程B = %（H M）的两边取散度，得帝H =帝M令磁荷密度为-卩“一管M代入静磁场方程给出（以H为基本量-磁荷观点）：严 H = 0（1）巴 H = Pm/%.（2）由（1）式引入磁标势'm代入（2）式，则得磁标势；m满足的微分方程为7.波动方程的推导以真空情况为例加以推导。由无源（'f =0,J =

9、6;）麦克斯韦方程组出发p B = 0运用公式-cB- E =- 醴、E = 0.-FE' B=%；0 上2 2 可汉（可汇E）=（V E） _E2E, 汉（可汇B）=可（可 B）_可2B对 式取旋度，并应用第 、 式得e -.护E:t CB）- 0 o ：t2'、C E）二同理，对式取旋度,-朋隹-；。甘-0ct并用第（1）、（2）式得0 0讥2吋E 2ct1c = i令 %，则得波动方程如下1 Joc2 :t2 _1 ：2bB- 2 一厂0c ； t2注释：在介质中，对于一定频率，的电磁波，上述波动方程成为賢E 1岁0IHV2 矿其中波速V（，）= 1 .；（，）"

10、;（，）二 C . ；r（，） "r （，）二 C n（，）8. 亥姆霍兹方程的推导对于一定频率的时谐电磁波，有 D = ；E, B = "H。设电磁场量的形式为E(x,t)二 E(x)exp(-i t)B(x,t)二 B(x) exp( -i，t)i 则有代换关系：t，此时无源区域的麦克斯韦方程组成为P -E= 0(1)V x E =iB(2)-P B = 0（3）y x b = 一卩 E（4） 对(2)式两边取旋度，并利用(1)、(4)式得'、(、E) =i 人 B、C E) - 2E = 2Ei 2e . ,2£ =0即电场E满足的亥姆霍兹方程为塑

11、2E + k2E|。k(0)其中波数v由此式解出E后，进一步便可由(2)式得到B = _丄 x E磁场： 。 同理，对（4）式两边取旋度，并利用（2）、（3）式，可得磁场B满足的 亥姆霍兹方程为2 J 2 JBkBSO（bo）亠 - 亠E =一可汇B进一步由（4）式可给出：宀；。注释：（1）上述推导过程给出两种研究电磁波的途径；（2）i H £ =0为横波条件。方法二对于一定频率的时谐电磁波，设电磁场量的时空变量分离形式为E(x,t)二 E(x)exp(-i t)B(x,t)二 B(x)exp(-i，t)利用代换关系：t-i ，由波动方程丄些=0!V2 ct22L 21：'B

12、、B_-2 b =0L v ct可以直接给出陂 2E + k2E 舄 0 - -m2k2o 此即为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。9. 平面电磁波性质的推导对于平面波E（x,t）二 Eoexpi（k x - t）-i 国有灯T ik，并且员。结合D吧B "H，此时不含源的麦克斯韦方程组P E = 0*-cB7 x E _ctB = 0x B =氏 cE成为> -E= 0(1)k x E =(oB(2)斗 N 亠k B = 0(3)k x B = coHE(4)其中（1）式、（3）式表明E-k, B k ；而由（2）式或（4）式给出1 -E B = E （n 汉 E）=0或

13、E二vB n ,所以v。由此给出平面波的性质为： E丄k、B丄k，即电磁波为横电磁（TEM波； E B，并且（E，B, k）三者组成右手系； E、B同相位； E、B大小成比例，E = vB。注释：（门因为E（x,t）=N E°exp（k x国 t） = Eo 习exp（k x国 t）=E （ik 'X）= ik E（x,t）；同样可得帝江Em E，即相当于t ik1 1E = vB = i BsE2 = b 2（2）对于平面波，因为'门，所以'，即电场能量密度等于磁场能量密度-Wm-_；并且S八w n ,其中W = WeWm 。10. 导体中自由电荷随时间变化

14、规律的推导设导体内有自由电荷'分布，在均匀介质中激发的电场 E满足方程 而欧姆定律为J "E,所以 此外，运用电荷守恒定律 给出dt解此微分方程，得电荷分布随时间的变化规律为pBpoexpfft）Z其中0为t =0时的电荷分布。11. 导体中电磁场关系的推导考虑平面电磁波沿Z轴正向垂直入射至导体，则导体中复波矢可写为k'= （B + i。）ez且i x = ie hj'z，可把电场表示为E（z,t） = Eoexp（_： z）expi（: z-t）由麦克斯韦方程组（）PD =0(1)-cBV<E-(2)ct7，B = 0(3)dDVxH J +(4)ct

15、i ,-；ik其中的第（2）式，结合D - -巳B - H及代换?t关系，得k E mH有一 "1-"1|22i ct -H=+2)ezE = rJ52+G2exp(itg，£)ezE在垂直入射下，通常：-a，所以L1，有1 :- 二tg：4。而对于良导体，t tg 亠exp(i7)ez EJI有? ：" ： ：- <上 2，-4，所以-2-'- 二H=rexp(q)ez E 二注释：与真空或介质中电磁波的性质（见第9条推导）相比，导体中的平面电磁波 虽然仍是TEM波，但其性质发生明显变化:（1）电场与磁场不同相位； ： 1恥（而在介质中时

16、，此比值等于1）；（3）导体中电磁波的能量主要是磁能。12. 达朗贝尔方程的推导以真空情况为例加以推导。从麦克斯韦方程组出发(1)B'、 E =-Pi E =%(2)-cE可汇 B=4°J + % 客 0 .I- ct由其中（1）、 式引入势函数（A, J :(4).AB =汉 A, E -d t代入（4）式给出%J0丄()t; t0 0 f t2经整理得2I 21 ： A I I A-二 UA c :t其中 C = 1 （ ；0 %）。将式代入式给出.：t21 r :+2 “ c : t(6)宀卞A）运用洛仑兹条件(7)则式、（7）式化为A 1c2:t 1：:A22ct12

17、 c:t2- "oJ此即达朗贝尔（d'Alembert ）方程。13. 振荡电偶极子辐射场的推导因为振荡电偶极子p（t）的势为A（x）二走畀p4兀R求（B，E）时只需留至1 R项，且在一定频率下，故作代换、' ikn,i et得到电磁场为-一 -i%k ikR“ A俯e n pikRen p()= 4JoRikRe4c2 ；0R(P n) n平均能流密度为s严E 肿捷Re BnH*IBn辐射功率为p = H s d 龙注释：-（1）在球坐标系中，取电偶极矩 p的方向沿z轴，因为p、p始终平行 于p的方向，所以ikR e 一 一| p|sin，4 c 0ReikR 二

18、-B 二 | p|sin= e4兀 c %RN 2| p |n 23 2si nn32；°c3R2P = J S |R2d=J S |R2 sin 冷讪-2 _ 2甲 3 sin 3 计dJ-pJr32 二；°c4二。3c（2）振荡电偶极子处于球系坐标原点，在辐射区内的电磁场具有性质: 电磁场量* 1 R, E、B1 R，即与R成反比； 能流密度二1 R2Sn2'（方向性）；4总辐射功率P -,与R无关。14.电磁场动量守恒定律的推导以真空情况为例加以推导。从麦克斯韦方程组出发P B =0(1)B- E (2)2= J“。诗（4）将洛仑兹力公式中的源（P，J）用（3

19、）、（4）式中的场量表示fE J B = °C E）E （亠 I-1-dE八°C E）E C B） B - ；。-%ct为了对称，应用（1 ）、（2）式，在上式中插入两个零值项: ' E 汨门t =0，并进一步组合得_- -1_-.；e二；oC E)E C B) B- 0 B %ct1i汨TCB)B；oCE)=Eot1 、 ( B) % 1 toC E)E C B)B严o；E汨o( B E )；t：t- 一 1 - 2 1 八 ；o(EE -TE ):Eo 丁)BB °C E) Ey(E B)1 B2)'oT=¥°EE丨 BB+丄 l(8°E2I 2g =呂0E團B则给出电磁场动量守恒定律的微分形式为 T = f ：g El对应的积分形式为