九年级数学上册21.2降次—解一元二次方程一元二次方程及其解法聚焦素材(新版)新人教版

1、一元二次方程及其解法一元二次方程及解法是中学数学的重要内容，与解法有关的问题更是中考的必考内容，为了帮助大家了解这部分知识在中考中的考查形式及求解方法，在“知己”的基础上“知彼”，现结合 06 年的中考试题将这部分知识考查情况归纳如下：一、基础篇（一）概念例 1 （盐城市）已知 x=1 是一元二次方程 x2-2mx+1=0 的一个解，则 m 的值是（）A. 1 B . 0 C . 0 或 1 D . 0 或-1析解：本题考查了一元二次方程根的定义，按照根的定义首先将x=1 代入该方程解得 m=1,故选 A。点评：此类题求解一般将所给的解直接代入所给方程，从而转化为解待定系数的方程。注意二次项的

2、系数不为 0。（二）一元二次方程的解法1、配方法例 2 （淮安市）方程 x2+4x=2 的正根为（）A. 2-6B . 2+.6C . -2-6D . -2+、6析解：由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解，用公式法也较繁琐， 适合用配方法来解，原方程配方得：（x+2）2=2+4=6,解这个方程得：x+2= . 6 ,x1=-2+ - 6 ,x2=-2- 6 ,由此可得这个方程的正根是-2+ .6，故选 Do 2、公式法2例 3 （福州市）解方程： x +8x+仁 0析解：由题目的特点可知本题适宜用公式法来解，这里 a=1 ,b=8 , c=1 ,则b2-4ac=82-4X1x仁 60,

3、所以 x=-8 - . 60=-82昆=-415,则22X1=-4+. 15,x2=-4-15.3、因式分解法例 4 （天门市）方程 x （x+3） = （x+3）的根为（)A、X1=1,x2=3 B、X1=1,x2= 3 C、x=1 D、x= 32析解：本题为一道关于三角形的三边关系和一元二次方程的解法的综合题，首先利用因式分解法求出这个方程的解 X1=2, X2=4,再将其给出的三角形的两边组合，看其是否符合三角形 的三边关系，如符合，则保留，反之，则舍去，据此可知4 是这个三角形的第三边，则这个三角形的周长是 13,故选 Co点评：此类题注意在求出方程的解后一定要利用三角形的三边关系去检

4、验，再确定三角形的周长。三、创新篇新运算规则题例 5 （兰州市）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为方程（x+2）探 5=0 的解为_ 。析解：本题等号的两边都有x+3，故知适合用因式分解法来解，原方程移项得:（x+3） =0,提取公因式 x+3 得：（x-1） （ x+3）=0，解得 xi=1，X2= 3。x (x+3)点评：1，一次项系数为偶数时则适合用配方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0 的形式时就可利用因式分解法来解。在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。注意用公式法求解时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0,再确定 a、b、c 的

5、值，同时还应明确其使用的前提是b2- 4ac 0.（三）“b2-4ac”的应用x2 3x+叶 0 有实数根，则m的取值范围2析解：由一元二次方程根的判别式可知该方程有实数根时应有b -4ac=9 4 详 0,由此求得 m的取值范围是点评： 此类题求解应明确一元二次方程根的判别式的根种情况是关键。 不等式或方程即可。二、综合篇：学科内综合题例 4 （嘉兴市）三角形的两边长分别为3 和 6，第三边的长是方程则这个三角形的周长是（）（A） 9（B） 11（ C） 13再由方程根的情况解x2 6x+ 8= 0 的一个根,(D) 11 或 13ab=a2 b2，根据这个规则,3析解：本题为一道一元二次方

6、程创新题，弄清题目规则是求解的关键，由规则（x+2） 探 5=0 变为(x+2)2- 52=0,将其因式分解得(x+2+5) (x+2-5 ) =0.解得 xi=-7,x2=3.即这个方程的解为 xi=-7,x2=3。开放性试题例 6 (北京市海淀区)已知下列 n (n 为正整数)个关于 x 的一元二次方程：2x-仁 0 x +x- 2=0 x +2x-3=0 x +(n 1)x n=0 - (1) 请解上述一元二次方程，,;(2) 请你指出这 n 个方程的根具有什么不同特点，写出一条即可。析解：(1) 上面几个方程利用因式分解法可得其解分别为： ( x+1) (x-1 ) =0,所以 X1=

7、-1 , X2= 1笑(x+2) (x-1 ) =0,所以 X1=-2 , X2=1;3(x+3) (x-1)=0,所以 X1=-3 , X2=1;(n) (x+n) (x-1 ) =0,所以 X1=-n , X2=1(2 )本题答案不唯一，观察这些解不难得出其共同特点是：都有一个根为1;都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。点评：此类题应对求出的解从多方面去观察、分析和归纳，进而总结出其特点。探究性试题例 7 (广东省)将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？4(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。析解：（1）不妨设剪成两段后其中一段长为xcm,则另一段长（20-x ） cm,则由题意得：（-）42+（2X）2=仃，解得 xi=16,x2=4.（ 2