一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

1、一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程P(x)y 二 Q(x) dxi叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果Q(x) = 0，则方程称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程学 P(x)y 7dx2的通解问题。- - P(x)dx分离变量得y两边积分得In y P(x)dx In c或-IP(x)dxy = c e其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程i的通解将1的通解中的常数c换成的未知函数u(x)，即作变换两边乘以得-JP(x)dxy = u e v 7P(x) y = uP(x)e= P(x)dx两

2、边求导得业二 u eP(x)dx-uP(x)e P(x)dx dx代入方程i得e-JP(x)dx = Q(x), = Q(x)P(x)dx u = c Q(x)e P(x)dxdx于是得到非齐次线性方程i的通解y V P(x)dxc Q(x)e P(x)dxdxl将它写成两项之和y = C eP(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx非齐次通解=齐次通解+非齐次特解【例1】求方程dy 2ydx x 1二(x 1)2的通解32 2- - dxdx解：y = ex 1 c(x 1)2e x 1dx3= eln(x1)2 c (x 1)2 e'n(x1)2dx=(x1)2

3、(x1) 2dx二(x1)2c 2(x1)2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式以下几类为一阶微分方程的简捷求法1预备知识形如dy P(x)y =Q(x)(1)dx的方程称为一阶线性方程这里P(x)、Q(x)在所考虑的区间上是连续的当Q(x)三0时，方程(1)变为鱼 P(x)y =0dx方程(1)(Q(x) = 0)称为一阶非齐次线性方程，而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程 方程(1)可用常数变易法求解，方程(2)可用分离变量法求解形如矽 P(x)y=Q(x)yn (n -0,1)dx的方程称为伯努利方程它可通过变量代换、常数变易、变量回代

4、等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解现提出几类一阶微分方程，并用简洁方法进行求解2主要结果定理1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式Fn(x)孚 +Fn(x)'y=Q(x)dx -则它的通解为八齐.Q(x)dx C证明将方程(4)化为Fn(x)dy d Fn(x)dx dxy = Q(x)则它的通解为厂乙一 Q(x)dx C则它的通解为厂乙一 Q(x)dx CFn (x)dy d | F n(x) y =Q(x)dxd |Fn(x)-y = Q(x)dx两边积分得F n(x)_y = Q(x)dx C则它的通解为厂乙一 Q(x)dx C则它的通解为厂乙一 Q(x)dx C| Q(x)

5、dx C推论1若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式证毕吮 F"Q(x)则它的通解为厂乙一 Q(x)dx C定理2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式Fl 孚 +F(x) 10dx -则它的通解为A证明 在定理1的结果y = f n()Q(x)dx C中，取Q(x)=O便可得证.推论2若一阶齐次线性微分方程具有如下形式dy 'F(x) J F (x)y =0dx则它的通解为CF(x)定理3若一阶微分方程具有如下形式d P(x)y ln F ( y)二 Q(x)y Inn F(y) dx当 n =1 时，其通解为d ln y Q(x) - P(x) dx CI nF(y)'

6、当n = 1时，其通解为其中In F( y)在所考虑区间上是连续的证明 若n =1,方程(12)变为史+p(x)y I F y(=Q x y )F I屮()dx此方程为可分离变量的微分方程.分离变量得(8)(9)(10)(11)(12)(13)(15)dyyIn F(y)-Q(x) -P(x)dx两边积分得d In y 二 Q(x) - P(x) dx C'InF (y)、此即为方程(15)的通解表达式.若n -1,方程(12)两端同除以ylnnF(y)得詁&屮冷)=Q(x)令 z =1 n1* F(y)，则定理3若一阶微分方程具有如下形式F(x)史 F'(x)y =Q

7、(x)yn(n -0,1)dx(12)则它的通解为1y = Fn(x) Q(x)dx C(5)证明将方程(12)化为F (x) y()y -Q(x)ydx dx方程两端除以yn，得到 dy dF (x) 1 y F(x)ydx dxFn(x) dy1d Fn(x)1 - n dxdx二 Q(x)y1=Q(x)令 z =y1Jn,则(1 - n)y矽=W，代入上式，得到关于变量z的一阶线性方程 dx dxFn(x) dz d |l/n(x) J1 一 n dx dxz 二 Q(x)Fn(x)dz (1 - n)d Fn(x) z = (1 - n)Q(x)dxd |_Fn(x)-y 二 Q(x)dx两边积分得F n(x)-y = Q(x)dx CdF(x) _y I - ynQ(x)dx| Q(x)dx C定理3若一阶线性微分方程具有如下形式则它的通解为证明将方程(12)化为方程两端除以yn，得到dyFn(x)子+Fn(x)y=Q(x)yn(nH 0,1)dxy =| Q(x)dx cy 二 Q(x)yndx dxyfQ(x)(12)1 _ny=Q(x)令Z ny1,则(1 -n)y3 =笑，代入上式，得到关于变量dx dxZ的一阶线性方程Fn(x) dy1d | Fn(x)1n dxdxz =Q(x)Fn(x) dz