高等数学(同济大学第七版)第二章导数与微分课后答案

1、高等数学(同济大学数学系)第七版第二章导数与微分课后答案导数概念次 L设物体绕定轴旋转,在时间间隔0 J上转过角度8,从而转的9是，的函数；。=如聚旋转是勺速的.那么称e:包为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定的物体在时刻儿的角速度?斛物体在时间间厢/人+ X) I二的平均角速度 小。/加+ Ar) -。(如)在时刻的角速度AO w = Ilin(X)= lilfi = ©'("). “一口«o A，6.当物体的温度高手周围介质的温度时,物体就不断冷却.岩物体的温度7'与时间F的函数美系为丁二八口，应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度

2、？解 物体在时间间隔在/+举上平均冷却速度AT r(t + Ai) -T(r) I-在时刻/的冷却速度r ST T(i + A/) - 7(f)v = I nn - = h ni - ；- = 1 (/) *事td串4At&3.设某工厂生产件产商的成本为C(.v) = 2 000 + 100x - (k lx:( 7L),函数。称为成本函数,成本函数CG)的导数本(x)在经济学中称为边际成本.试求(1)当生产100件产品时的边际成本;(2)生产第101件产品的成本，并叮(I)中求得的边际成本作比较，说明边际成 本的实际意义.(1 ) C*(x) - 100 -02,(：'( 1

3、00)二 IU0 -20 =80(元/件).(2) C( 3 01 ) =2000 + 100 x 101 -0. 1 x ()01 )2 = II 079. 9(元).(：(100) =2 000 4 100 x 100 -0. I X ()()2 = 11000(元)，(：(101 ) - C( 100)= 11 079. 9 - 11 000 = 79. 9(无).第二章导数与微分51/(x)=23 A.2则/(#)在处的().(A)(C)左,右导数都存在左导数不存在，右导数存在(B)(D)A(1) = Iiin/LiLzAL) -I* X - I .2”3-1=lim -T- ,3 x

4、 - 1左导数存在，右.导数不存在左、右导数都不存在2 3 2_33x - 12.lim 7r(%，+ x + 1 ) = 2 ； i3).(A)(C)充分必要条件必要条件但非充分条件=lim 1-0-22/、. /-/(I). ' ' *3几(1) = hm<彳 = hrn- = x , -I*X - II。 X - 1故该函数左导数存在，右导数不存在，因此应选(B).图8.设/(4)可导，F(乃二/(.*) (I +1 sinxl),则/(0)=0是(%)在”;。处可导的(B)充分条件但非必要:条件(I)既非充分条件又非必要条件+ sinx) -/(0) xF： (0

5、) =liO?(°) e X - 0”(0) = 1-£(。)= iim/(x)(l -,s.nx) V(0) YTX - 0! - -<>X：=设 s/(°)el X-/(%)乎卜/(0) -/().(3) y = xL6；(6) y = x2 3 /x；当/(O) =0时，.()=.(),反之当户.(0)=匕(0)时,/(0) =0.因此应 选(A).&9 ,求下列函数的导数:(1) y = x4；(2)八万;(4) y 二；(5 ) y = -y;#一、高等数学（第七版）上册习题全解(3)y' = 1.6x06(4)(5)212x

6、3(6)16y = x516 a(7)y =x2*y-f 二#/，y，- x 6值10.已知物体的运动规律为s = / m,求这物体在/=2s时的速度.& =$=3产，vl/s2 =12( m/s).a”.如果/（*）为偶函数.nr（o）存在.证明，（o）=o. 证/（*）为偶函数,故行/（ -X）=/（）.因为/（#） -/（o）=加4 二。-/（°）x-0li.n -0)-«*0所以 _f（0） =0.&12.求曲线=sin/在JL/卜列横坐标的各点处切线的斜率:2x = -ir. x = TT.解由导数的几何意义知y* k2= w =ct)s XL =

7、 S =一1F 13.求曲线厂上点（；，）处的切线方程和法线方程.二(一§in X)IIBX = -y.故曲线在点（三,）处的切线方程为y一呆刍V）曲线在点（-j-, 5j处的法线方程为TT55一 ,高等数学（第七版）上册习题全解514.求曲线y = 在点(0,1)处的切线方程.解 * ,0 = e'I* =o = I ,故曲线在(0.1)处的切线方程为y-l =1 (-0).即 x-> + l =0.2-15.在抛物线)=/上取横坐标为.口=1及町=3的两点，作过这两点的割线.问该 抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解割线的斜率,32 -I28.=4.假设抛物线上点

8、(,4)处的切线平行于该割线，则行(/)”° =4,即 2x0=4.故沏=2,由此得所求点为为,4).匕16.讨论下列函数在、二0处的连续性与可导性：(I ) y= Isin x；r 2 1八x sin ,x 六0,(2) y= *0,X =0.解(1 )= limlsin x =0 =/(0)，故 y=lsin%l 在 *=0 处连续.又i-i-*0A(0) = lim-(0) = lim = -1,0 X - 0a -0* X几(0) = lim= iim 12 = 1 t- -o* X - 0 f X匚(。)*匚(0)，故y = Isin n I在4 = 0处不可导.(2) l

9、im/(x) = lim/sin =0 =/( 0 ),故函数在与=0处连续.又 a -<0a-»0X2 . J_亦/(”)-/(O)" sm 4. 1J (0) = hm= hm= Inn amii =0,一。 4 - U «-o x x故函数在4=0处可*&17.设函数n 、 I,，* WI./(、)= ,I ax + b, x > 1.为使函数/(%)在;1处连续且可导,明在取什么值?解要函数/(文)在” =1处连续，应有= lim/(x) =/( I ),-«i即 1 - a + b.要函数/(4)在“二】处可导，应有匚(1)

10、二人(1).而小./(x) -/(I)x2 -1 .r ( 1 ) = hm= lim- = 2 ,.1 -x - 1 x - 1A (1) = lim /二件.=lim I X - 1X - 1.a(x-l) + a+ 6- l fl( x - 1 ) Inn = Inn - = a.故。=2,6=-1.陷18已知/(动=7X ，i x - 1- x - 1x < 0.co求匚（。）及匚，又/是否存在?r 1 f(x) -/(O)A (0) = Inn 7；= hm，-oX - U-o-X=0.亦1. /(x) V(O) r (0)-730= .h?由于A (0)汽几(0) .故r(0

11、)不存在.sin x. x <0.2 19.已知/(«)=求r(x).x9 x09解A(O) = lim= lim = 1 . TV X - U一0 XA(O) =Iim一0 f(K)-。)X -0x lim = 1. |r(T X由于二(0) =/;(0) = 1,故，(0) =1.因此x <0 tx20.rcos x.f(x) =I .£20.证明：双曲线孙二。2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三用形的面积都等 于 2a2.证设（飞,为）为双曲线上任一点,曲线在该点处的切线斜率切线方程为由此可得所构成的:角形的面积为第二强导数与微分574 = -y- 12x

12、0 I 12为 I -2a'.习题2-2 N函数的求导法则日1.指导余切函数及余割函数的导数公式：(cot X)1 = - CSC?X,( CSC #) ' = - CSC xcot X.z ,、,/ cos x '- sin xsin x - cos xcos x 11缶 (cot i ) = - =z=- = - csd. sm x)si”sinl/- COS XI CM- A )=- =： = -(,>(' Acot A.sin X) sinx&2.求F列函数的导数:(9) y = x2 In xcos x；解(I ) >，= 3.J

13、- y X X(2)-2xln 2 +3e(2) y = 5x3 -2” +3/；(4 ) y = sin xcos x ；(6 ) y = 3e"cos x；(8 ) j = - + In 3 ；(10) s J ”巴I + cos t(3 ) yf = 2sec2x + sec xlan x = sec x( 2 sec x + tan x).(4 ) y'=1玛山 2x =： - 2cos 2at = cos 2x.(5)y' = 2xln % + x2 ' = x( 2ln x + 1 )x(6) y' = 3eMcos x - 3e，sin

14、x = 3ex ( cos x - sin x)./, x1 - in %，=-XX/ q 、 , ex - x2 - 2xex c”( x - 2 )= -3)'-2xln xcob 4 -cub x +；i? I” x (Xbin4)=2xln % cos x + acos x - x2 hi xsin x.#一、高等数学（第七版）上册习题全解（10），)一(1 + sin 2 ) ( - sin I )】+ sin / + cos /(1 + cos /)?(1 + co» / ) 2值3.求下列函数在给定点处的存数:(1 ) y = sin * - cos ,求)和

15、y'Ix 5s于；(2) p = "sin 0 + ；cos 0,求但 *：2d。9 t3 x2/二二。,求八°）和“2）(1) /=cos x + siny* I ( x = cos : + sin j - J2.(pI1(2) = sin 0 + 6cos 0 + ( - sin 0 > = sin 0 + (/cos . d022dp1. IT7TTT I tTT =hSin - + -COR = I I + - I.AOeT 24444 2 /3931417/=77?1+冬'，八°)=4, /(2)=y+T=-. (5-1)32?J&

16、#163; 4.以初速竖直上抛的物体，其上升高度S与时间/的关系是S =，0，-2 .求:(I)该物体的速度”/);(2)该物体达到最高点的时刻.解( ) (，)=半=0 - g1 d/(2 )物体达到最高点的时刻r = 0,即o - «/ = 0,故，= g除5.求曲线y = 2sin x + d上横坐标为x = 0的点处的切线方程和法线)程.解y' =2cos x + 2.v,y*lx=0 =2,)L=o =0«因此曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0 =2(x-0),即2#-y=0,法线方程为y -0 = -(x -0),即 x+2y =0.&6.求

17、下列函数的存放：(| ) j * 5 )4 ;(2) j - cos(4 - 3.x)；(3) y = e* ；(4)= In (I /)；61一 ,高等数学（第七版）上册习题全解(5 ) y = sin，；(6) y =/n2 -x2 ；(7 ) y = tan x* *( 8 ) y = arctan ( e1 )；(9 ) / = ( arcsin x) 2 ;( 10) / = In cos x.解 (1) y'=4(2x+5)3 2=8(24+5尸(2) y' = - sin (4 -3x)( -3) = 3sin (4 - 3x).(3) >' =3/

18、 .( -6x) = -6xe-3/.(4) >'=；-二 2x = 72-1 +丁 1 +x*(5 ) y' = 2sin xcos x = sin lx.1 Y(6) ./=三=(-2，)=Z/j-y，/ r2(7) yf = sec2.v2 2x =2xsec3x2.1 ex(8) y，=;z /二r.1 + ( e”)1 + e-x,12(9 ) yf = 2arcsin x 一二二. 一.resin x./口 /F(10) y' =( - sir】x)cos x27.求卜.列函数的导数:(1)丁 = arcsin ( 1 - 2x )；1，I -y =

19、arccos (5)(6)(7)(9)y = arcsiny = In ( sec x + Ian x)；y = ln( x a2 + x2 )；(10) y = lii ( esc x - <%>l x).(I) - (I -2x)2(-2x)(-2) = -y9 =U - E )2 /(I 2)3(3), -LBy' = -e cos 3x - 3e ' sin 3x 2(4) / =-Ixl/ "二 1(1 + 加 x)* 2x( 1 + In x)2(1 +lnx) - (1 -Inx) -xx/八 ， 2xcos 2x - sin 2x(6) y

20、 =;(7) / =(8) y92£ 2/?77x -h/rt2 +x2/</2 +x2sec x + tan xsec xlan x + sec* x) = sec x.(10)八- CSC XCOl X + <!SC2.t ) = CSC A.心8.求下列函数的导数：（I ） y 二（arcsin ;x(2) y = Intan(3)+ln2x；(4) y = edfrun77(5)y = sinxcos nx;(6) y = arctan(7)arcsin xarccos x(8) y = lnlnln .r；(9)Jl + X - y/ - X-/l + X +

21、Jl -工/| -A (1°)=ar，sm VR,2urcsin -j9(1 ) y' = 2arcsin ) /1 -(2). 1y =XIan 2 sec2sin 彳cos I =CSC A sin a(3)In x65一、高等数学（第七版）上册习题全解(4 ) y9 = e«rcUny7 . ! . -1 =：ftarrfany71 + (Jx)2+2/1 -x22 /x 2 Jx( 1 + X )(5) y9 = nsinn " cos xcos nx + sinnx( - sin nx) n=sin" * *x( cos xcos nx

22、 - sin xsin nx)=几sin" - 1 xcos ( n + 1 )x.(7)arccos x - arcsin xarccos x)2arccos x + arcsin xtt/ - arccos x):2/1 - x2 ( arccos x)2Inin x In x x xln xlnln x(9)r =(y/l +X + / - X ) - ( J + 父 - yf -X)12+2I -x2JL (l+x)/l - X ( 1 + X ) /2x( 1 -x)(y/l + X + /1 - X ) 2-/ +/ + / 7 ). + 一：r ( J +#-J -力)

23、"i ./rryr匕9.设函数/(")和(x)叫导Jl/2(x) +/小)KO .试求函数)=(1)+g2(%)的 导致.解 y/=2/(x)/(x) +2g(x)XXx)22(外+()J2)+g*)g'(4)一() +中。设/可导,求下列函数的导数张(1) y =/(/);(2) y =/( sin?x) + /( cos?x).解(I) r =r(x2)2.r=2xf(x2),(2 ) y' =/( sin.)2sin xcos x + f ( cos2x)2cos x( - sin x)=sin 2x f ( sirCx)cos2x).&1L求

24、下列函数的导数：(I)y = L(/ .2x+3)；arctan I ；2 )(2 ) y = sin2x sin( x2 )/八 I" ”(4) y ;(5)(6) y = Ineos -；x(7)-sinY = xarcsin解(2)(10 ) y = arcsin 1 + C(1) /= -e-x(x2 -2x+3) +e-x(2x-2) =e-x( - ,r2 +4.r-5).y' = 2sin xcos x sin ( a2 ) + siir .vcos ( x2 ) 2x=sin 2.rsin(x2 ) + 2xsin2xcos(x2).(3)y9 = 2arcl

25、an "214x-r = - -rar< Lin - x224 +x22(5)y'=xn - nxn " 1 In xx1 - nln x,(一+。-)(<?-( / -e-)( / -c')'=(e，+ e )2或八（山）得第二章导数与微分69I + 匕.2( I _2( 1 -/(I-?)2> (1+<2)2=8|1-?|(1+|2)(2) y = sh x - ech 1 ； (4 ) y = sh3x + ch2x；(6) y = arsh( x2 + I );(8 ) y = ardan( th x)；(10) y

26、= ch3 f -J-k 12.求卜列函数的导数：(I ) y = ch( sh x);(3) y - th( In x)；(5) y = th(l -x2)；(7 ) y = arch( )；(9) y = Inch x + ； 2clrxft? ( 1)= sh( sh x) ch x = ch xsh( sh x).(2 ) y9 = ch xe* h 1 + sh xe h ” sh x = c*h 1 ( ch x + sh2x) .(3), 1 y 二一一 一 一= , ,ch2(In x) % xch2(ln x)(4 ) y' = 3sh2rch x + 2ch xsh

27、 x = sh xch x( 3sh x + 2 ).(5)75T. ( -2x)=方广， ch*(1 - x2 )ch2(1 - x2)12x(6) 寸=. 2t =/i+(/+1)2"T2/+2E ，12, c2 一(7) y = - < 2 =,/( 4 )2 - i- 1(8)八1 + (th x)2ch2x . sh*x ch*x clrx + sh2x1 +-r-ch2x1" 1 +2sh2x，(9)< =-?sh x -ch x(2ch2x)2 4ch xsh x = ch xsh xsh %( ch2x - 1) sh 'x t 3,=_

28、 一 - = 111 x.chJx cnx(10) y1 = 2chx+4) ,("1)22(x + 1 )2613.设函数/(4)和g(x)均在点小的某一邻域内有定义./(X)在必处可导./(和)=0,g(%)在夕0处连续，试讨论/(、)g(%)在xo处的可导性.解 由/("在不处可导，且/(%) =0,则有/(x) -/(x0)/(x)lirn = Inn . x - .r0ill g(%)在 3 处连续,则有limg(%) =g(«o)，故岛&史上&闻也=1加吗”9,。)心°),即/(”)g(x)在件处可导，其导数为/'(&

29、quot;0)«(丸)B14.设函数/(*)满足下列条件：(】)/(*+，)=/(x) -/(>) .对一切 ”，>wR;(2)/(4)=1 Jg(”)，而 limg(4) =1.i-«o试证明/(%)在R上处处可导，且/'(、) =/(%).证由(2)知/(0) =1,故/，()= lim4" +A)T"o=I-= Iim/(x).心?二3"AxAr)=li»</(x)x( Ax) =/( x) 1 =/().Av *0高阶导数习题2-3 |豳1.求下列函数的二阶导数:(1 ) y = 2x2 + In x

30、；(3 ) y = xcos x；(4) y = e "in /;(5) y =/«' -x2;(6) y = ln( I - )；(7) v = tan x ；(8 ) y 二一一;+ I(10) y =;X(9) y = ( 1 + x2 ) arctan x;(11) y = xe1 ；( 12 ) y = ln( x 4V 1 + )解(1 ) y =4x + = 4 - xx(12) = e2x -1 - 2 =2/xT ,),二2©2»1 2 =4e2j,-1.(3 )，'= cos x + x( - sin x) = cos

31、 x - xsin x,=-sin x - sin x - xcos x 二一 2sin x - xcos x. J(4 )=e ，( - 1 )sin / + e :cos r = e f ( cos / - sin /),y9 = e 1 ( -1)( cos t - sin /) + e -f ( - sin / - cos t)=e -f ( - 2cos /) = - 2e ' fcos /.一)* %(5 ) yr = =zz=-二二一 2/7“ 2(x2 - 1 ) -2x (2x)2( i +x2)y . .一 J- 2 i 2- z 2 2'(7 ) y* =

32、 sec2x = 2bcc2xtan x.32x( J +i)2 - J 2(J + |) 3/： _6x(2Q -1)7 ( X 5 +O 4- (/ +1) 3 (9) y9 = 2xurclan x + ( I + x2) = 2xarctan x + 1 tI + x2” cc 1c2xy = 2arctan x + 2xr = Zarctan x +rI + x2I + /- <? (X - 1 )ew(1°) y = =j,XX“ (L (、-)<)/ -2% (4-1)七，el ( x2 - 2x + 2)第二亲导数与微分73(11) / = er + xe

33、r - 2x = (1 +2x2)er ./ = 4xe? +(1 +2?)ex2 - 2x = 2x( 3 + 2x2 ) e?.(12)/= j(i + n = -J一.x +yi + x2 2v 1 + 欠，J vz 1 + X22x0+6)2，( I + X')"2!62.设/(4) =(x + 10)r(2) =?解 f(x) =6(4 + 10)5 J"(x) =30(4 + 10)4 JO =120(4 + 10)3, 广(2) = 120 x 123 =207 360.图3.设/”(%)存在,求下列函数的二阶导致为：(I ) y =/(，)；(2)

34、> = lnf/(x).解(1) 4=/'(/) -2x=2x/,(x2),y2f(x2) 2xfx2) - 2x= 2/*(x2) +4/”(/)(2) /一位、.Jf-尸一/(x),fi4.试从半导出: dy y/|T9上-._L= .一2_ 尸>'(r)r 广()')3-，"-3"')2E35.已知物体的运动规律为S = Asin 3“4 ,3是常数）.求物体运动的加速度,并验ilE ：(Is .(i'S Q ，=/Icos tot to = Amcos Mt v , 二 - /IOJ* sin tot .山dr-r

35、 + J * = - sin u>t + co* Ain 31 : 0.d/206.密度大的陨星进入大气乂时,当它离地心为skin时的速度与4成反比.试证陨星的加速度与$2成反比.证 由题意知V =半:与其中k为比例系数,则 山灰d2sd / ±(k1kkk2d/2ds(、/Jd/2j621即陨星的加速度与/成反比.讨Z假设质点沿x轴运动的速度为?=/(#),试求质点运动的加速度. (1/解质点运动的加速度为”鲁二¥(/(%)冷=/'(')/(力(IX(1/团8.险证函数)=C"x +C” (A，a，G是常数)满足关系式 <-A2y=O

36、.解/ = C,AeAx - C2Ae - ,/ = C( A2eA, + C2A2e - Am ,故?"-A2y = ClA2eA> +C2A2e-AM -A2(C1eAx +C2e-AM) =0. 图9.验证函数> = 6sin#满足关系式y"-2y +2y = 0.解 y9 = elsin x + excos x = ex ( sin x + cos x).y" = e1 ( sin x + cos r) + ex ( cos x - sin x) = 2ercos *. 故>"-2y' + 2y = 2excos x -

37、 2" ( sin x + cos x) +2exsin x =0.Eio .求卜.列函数所指定的阶的导数：(1 ) y = c'cos x,求 y'4 ' ；(2) y = x2sin 2明求 y"°).解 （1 ）利用莱布尼茨公式（iw）=£ C/O ，其中，C：=(n - 1 )( - 2( k 1)r»(a 'cos x) 4 > =(，")'" cos x + 4(e”)B( cos x)1 +2!(er)"(cosx)" +d a o二、，(e)/

38、(cosos x)(4)J c1 coh x - 4c1 sin x + 6e” ( 一 cos x) + 4exsin x + ecos x- 4r1 COS X.(2)由(sin 2x)2%in2x+*）及莱布尼茨公式得/sin 2%)(5O) =x2(»in 2x)(50) +50(/)'(sin 2x)(49) +50 49(x2)y sin 2x)(4K>= 25Ox2sin(2%+等)+100 - 249xsin(2一等卜50 494s. (、 J8r2 - 245sm I2x + I&*H.求下列函数的阶导数的一般友达式：(I ) y = XB +

39、 atxn -1 + a2xn 2 + an . |.v + an ( a( ,«2 . .«n 都是常数)：(2) y = sin2x；(3) y =xln x；(4) y = xe*.解(1 ) y' = nx" 1 +( n - 1 )xn 2 + a2( n - 2) xn ' + + a, > .y* = /i( n - 1 )xM -2 +«1(/!-1)(« - 2)x" - ' + -2，y(")=- 1) ( - 2)3 , 2 , I = n.(2 ) y = sin2x 二

40、;(I - cos 2.r ),(4) y' = c' + xe* = ( I + x)ex ,y" = e* + ( 1 + x)e' = (2 + r)e*.设产)=(&+)/，则 =e' +(A+x* =(1 +A+i)e” ,故=(+x)e: Q* 12.求函数/(x) =x2ln(l +x)ffix=0 处的阶导数/)0)("N3).解本题可用莱布尼茨公式求解.设 =In (1 + #) , v = / ,则 " ""= -( n = I , 2 N = 2x, r =(I +x)n2田二:0(

41、。#3).故由莱布尼茨公式，得上）（0）=3；心3）.第二章导数与微分77隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率2L求由下列方程所确定的隐函数的导数半： ax(1) y2 - 2xy +9=0；(2 ) x1 + y' - 3ax)= 0 ；(3) xy = eT *' ；( 4 ) > = 1 - xe-.解(】)在方程两端分别对x求导,得2yy' - 2y - 2xy' =0,从而< =-2_，其中y = >(x)是由方程户-2xy + 9 =0所附定的附函数. V - X(2)在方程两端分别对x求导，得3.x2 + 3, 2)，

42、- 3ay - 3axy = 0.从而一土，其中y = y(x)是由方程J +/ -3。%>=0所确定的隐函数. y* 一 ax(3)在方.程两端分别对“求导，得> + 4”=e(I +>'), 1 > y从而/ = -其中y7(x)是由方程&尸e一所确定的隐函数.(4)在方程两端分别对无求导，得 'v V r/ = - e7 - xe7y ,ey从而，>'= -1，其中>=>(%)是由方程y = l -xe>所确定的除函数.为2求曲线J:/在点处的切线方程和法线方程.解由导数的几何意义知，所求切线的斜率为在曲线方

43、程网端分别对第求存，得2217 -，+ y y' =0.I从而,y'= - J, vi(£q4)= Ty，于是所求的切线方程为即x+y=冬i.法线方程为-3求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数些dx(1) ->2 = 1;(3) y = tan (x +y)；(2 ) b2x2 + a2y2 = a2b2 ；(4 ) y = + xe解(1)应用隐函数的求导方法求。2x - 2yy9 = 0.r 是,二二y2 ，.y y x*1-=-二-0 A 1在上式两端再对第求导,得，y 一工y = = -2 y r(2)应用幽函数的求导方法，得2xb2 + 2于是。y”

44、b2 y-H b4? = - ，- 2 -= 一 (3)应用诲函数的求导方法，得=sec2 ( x + y ) ( 1 +)') = ! + tan' ( x + y) ' ( 1 + y*) = ( I +)(1 + )'). 于是，(1 +/)I.y =t- r - I t1-(1+)2)y2yM = %- = - " L；*-1= - 2csr2 ( x +y) cot' ( x + v)y y.(4)应用隐函数的求导方法，得y9 = e' + xe),于是J1y =;?，Ie' .)/(1 xe，) *'(_/_

45、 xe1)AC1尸eyr + e2y e2） （2 re，）" （1 -xe'）2 - （1 - ie'）3臼4.用对数求导法求卜.列函数的导数：解（1）在 =（六J两端取对数，得In y = x In x - ln（ 1 + x）. 在上式两端分别对工求导，并注意到y= （无），得工二nx-h（l +x） +x（ -1 =h】T-+y x 1 +x/1 +x 1 h于是|一+4二马八j人）.1 +x I +x/ 1 +/ I +# I +x）（2）在= 层三两端取对数，得II1IIn y = - ln( x - 5 ) - -ln( x2 + 2 ) = ln( x

46、 - 5 ) - -ln( x2 + 2 ). ，I，J4 J在上式两端分别对#求导，并注意到y = >(%),得/ 2xy5 .5 25 ，+2'于是,_ J12% _ s/ x - 5 r I2x7 ?15(x-5) 25(/+2)1 -5) -25(7+2),(3)在两端取对数得 (4 + 1 )In y = -ln(x + 2) + 4ln(3 - x) -5ln( 1 + x).在上式两竭分别对x求导，并注意到厂y(4)，得y' _ 1 一 ( - 1 ) u X-二 一 + 4 . ，- 5 .y 2 x + 23-4 I + x于是/ = v!L-1L2(x

47、+2) 3 -r 1 +xj/xV2(3 -x)4r _ 1 45(x + 1 )5 i2(x +2) 3 T 1 +x.(4)在y = v #sin W，一两端取对数，得In y = - In x + Insin x +1 - e* ).在上式两端分别对力求导，并注意到y = y(x),得y9 I r 1 cos x 1( - ex)二I + -+y 2 I x sin x 21 - e”于是(x = at2 t 。5.求下列参数方程所确定的函数的导数W：f x = 0( 1 - sin 0) t (2)y = cos 0.d)a力 /1 <lydr3br 3b叙 (1) - = t.

48、I)dxdx2at2ady (2)业二曳 V f dx (k而d7cos 0 - 0ii 0_ G。、8 Osin 81 - sin 0 + 0( - cos 0)1 - sin 0 - "cos 0Q6e已知求当，二半唬的傀dydy df e'cos t - sin t cos / - sin I = = “ = dx dx 山e'sin t + e1 cos t sin t + cos /于是5dxi A22 l=-=_J &-2手后22a7.写出卜列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1)x = sin /.y = cos 2t,第二章导数

49、与微分81dyd7_dx_dr千对应点（冬0）,曲线在点（孝,0）处的切线方程为即2 &X+）-2=0.法线方程为（=2对应点（冬冬）.曲线在点伐明,）处的切线方程为124 /6 y - y« = -yl x - yoj >即4x+3y-l2=0.法线方程为即 3x - 4y + 6a = 0.第8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数白: ax*:/（1）（4）、 、设/"（，）存在旦不为零.业也不山Wd （1）-1 d2y d/ dx/ r MB*山a9.求下列参数方程所确定的函数的三阶导数呼: dr除10.落在平静水面上的石头.产生同心波纹.若最外一圈波半

50、径的增大速率总是6 m/s,问在2 s末扰动水面而积增大的速率为多少？解 设最外-圈波的半仆为=(，)，例的面积S = 5(，).在S = irJ两端分别对I求导.得dS . dr一 f 肥山市,当，=2时，二6x2 = 12,芈=6,代人上式得41/1 s=2tt , 12 , 6 = 144-jt( m*/s).山，=2&1L注水入深8 m、上顶直径8 m的正圆锥形容器中，其速率为4 m3/min.当水深为5 m时,其表面上升的速率为多少?解 如图2-1所示.设在/时刻容器中的水深为/“，)，水的容枳为VU),因为即,所以4 oZ一1(9)，=芬，dV tt 1 2 M dh 4

51、dV山 4 d/ , 山宣M (h故dh 416=tt- , 4 = =s 0. 204 ( m/min ).<n h =s 25tt257r212.溶液自深18m、顶力彳仝12 cm的正园锥形漏斗中漏人立径为10 cm的圆柱形筒中.开始时獭斗中盛满广溶液.已知当溶液在湘斗中深为12cm时，其表血卜降的速率 为1 cm/min.向此时向柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?解 如图22,设在，时刻漏斗中的水深为=(，)，四柱形筒中水深如立人与之间的关系；it6" , IX-TTf2 / = tt52/1.第二堂导数与微分85 r H 乂'618'96?18-卜(亨)

52、即216为外二25宣人上式两端分别对，求导，得3 “2 d * dAit/2 =2517 27 dr 山当=12时岑一I,此时M 1 /3 ，(H77!=£ =。 64 ( cm/min ). J J函数的微分习题2-5川61.已知y = / 7 ,计算在* = 2处当Ax分别等于1 .0. 1。01时的Ay及dy.解 Ay = (x + Ax)x - (x + Ax) - x5 + x=3x( Ax)2 + 3x2 Ax + ( Ax)? - Ax, dy = (3x2 - 1) Ax.于是Ayl；*; = 6 , 1 + 3 , 4 + 15 - 1 = 18 ,d)=11,1 =11；Ayl =6 (0. 1 )2 + 12 - (0. 1) + (0. 1 )3 -0. 1 = 1. 161 .dy I &： =11 , (0. 1 ) = 1. 1 ；Ayl”：' =6 (0.01)2 + 12 - (0.01 ) + (0.01 尸-0.01 =0. 110601 .dy I j = 11 (0. 01 ) = 0. 11.国2.设函数)=/(")的图形如图2-3,试在图2-33)、(卜)、(。)