高等数学1(上册)试题答案及复习要点汇总(完整版)

1、:名签生学 号学 级班 业专 。果后切一的起引此由担承愿，位学士学予授不将分处上以及过记到受弊作因 和籍学除开被将者考人他代或考代人他请道知还，性重严的弊作、纪违试考道知，律纪场考守遵格严将我：诺承高等数学上册试题答案及复习要点汇总(完整版)闭卷(V)题号一二三四五总分123456712分值10157777777998阅卷人(仝名)考生注意事项：1、本试卷共_6_页，总分 100 分,考试时间120 分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、 一、填空题(每题2分，共10分)x1、设f(x) e 2, x 0在x 0处连续，则aa x, x 0、-f (1) f (1 2x)2、设f(1) 3,则

2、 lim x-答题纸和草稿纸带出考场。得分评阅人年3、函数f(x) x3 9x 2在0, 3上满足罗尔定理的3124、设(*)在1.1上为偶函数、则 x x f(x)dx 315、微分方程ycosx的通解为ycosx C1x C2、选择题(每题3分，共15分)21、hm (xsinxxA. 4 B. 3sin2x) ( C ) xC. 2 D. 1得分评阅人3、不定积分.2 ,xsin x dx ( DA2A. cosx2C B. cos x1212C C. cosx C D. cosx C224、由曲线xjy、直线y 1及y轴围成图形绕y轴旋转一周所得立体体 积为（B ）-12A. B. C

3、. D.5、极限A. 1limx 0B. 00 t2 e dtxxC. 1D.、解答题（每题7分,2共49分)1、设m （x2x2xTaxb)6,求a、b.得分评阅人解 lim (x_22x2 xx 1axb)limx_2(2 a)x (1a b)x b1a 2, b2、求极限limx 0ln( x 1).解原式limx 0ln( x 1) xxln( x 1)得分评阅人11x 1 x ln(x 1)x 11lixml(x 1)211x 1 (x 1)2得分评阅人得分评阅人3、设y (cosx)sinx,求 dy.解 两边取对数得ln y sinxlncosx1 sin xy cosx In

4、cosx sin xycosxsin x ，y (cosx) (cosx In cosx sin xtan x)dy y dx.sin x .(cosx) (cos x In cosx sin x tan x)dx2 44、求不je积分 dx.x解令x 2sect,则dx 2secttan tdt原式 2tan t2sect tan tdt2sect2.2 tan tdt_22 (sec211)dt 2(tan t t) Cvx2 4 2 arccos - C x5、求定积分2 x ln xdx.解原式1 e 3In xdx3 11 / 3 _(x 31 3e31 3e32e39ln x)1

5、e3 11 3x91x 2dx6、求曲线2ln3 .x dln xx在区间1,2上的长度.得分评阅人x 12 2x2 -2,1 y dx得分评阅人21 (x1 2、)dx x1(1 x2 22In x)1ln7、求微分方程y_yln满足y x 1 e2的特解.x x得分评阅人u(ln u 1)dudx x1 u(ln udu 1)ln(ln u 1) In x1dx xIn C通解y xeCx 1由y x 1 e得C 1特解yx 1 xe四、综合题(每题9分，共18分)得分评阅人1、求函数f (x) xe 2x的极值及该函数图形的 拐点.解 f (x) e 2x 2xe 2x1令f (x)。得

6、 x ,1 一，,1 一， ,、一当x 1 时，f (x) 0,当x 1 时，f (x) 0当x 2时f (x)取极小值，极小值为f (2) 2 e 1f (x) 4e 2x 4xe 2x令f (x) 0得 x 1当x 1 时，f (x) 0,当x 1 时，f (x) 0.，-2拐点为(1,e )2、求微分方程y 6y 8y (x 1)e4x的通解.得分评阅人解特征方程为r2 6r 8 0ri 2,24y 6y 8y 0的通解 Y C1e2x C2e4x4为r2 6r 8 0的单根可设 y* x(ax b)e4x把y*代入原方程得4ax 2a 2bxi4a 12a 2b1i h3a一, b-4

7、4134xy*x(4x4)e通解 y x(-x 3)e4xC1e2x C2e4x44得分评阅人五、证明题(8分)li1、设f (x)在0,1上连续，证明：j_; 2、证明当x0时，H x 1与4等价.2一、，2,、，：20 f (sin x)dx0 f (cos x)dx1、一一.I、一V1 1 x 1证令x5t,则dx出证i|m2b2一，.、.022 f (sin x)dxf (cost)( dt)m /02!”U0 M1x 1k02 f (cosx)dx|1；故，x1与X等价2I大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分,1 设 f ( x)(A)f (0)cos x(

8、x2(B)sin x ),则在x 0处有(f (0) 1 (C)f (0) 0(D)共16分).f (x)不可导.设2.(A) 无穷小;(C)(x)x,(x) 3 3双,则当x 1时(x(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)xc F (x)(2t x)f(t)dt3.若 0，其中f (x)在区间上(则(A)(B)(C)(D)函数F(x)必在 函数F(x)必在0处取得极大值;0处取得极小值;函数F(x)在x 0处没有极值,函数F(x)在x 0处没有极值,4 设f(x)是连续函数，且 f (x) .5.(A) 2(B) 2、填空题(本大题有2lim (1

9、3x)3x 0 /2(C) x6.7.8.(B)与(x)是等价(x)是比(x)高阶的无穷小.1二阶可导且f (x) 0 ,但点(0,F(0)为曲线y 点(0，F(0)也不是曲线F(x)的拐点;y F(x)的拐点。12 0 f (t)dt ,则f (x)(D) x 24小题，每小题4分，共16分)已知cos工是f(x)的一个原函数 xlimn一(cos ncos2 2Lccosx,贝U f (x) d xx2 n 1 、cos )n2 _arcsin1 dx三、解答题9.设函数y求(本大题有y(x)由方程7dx.5小题,每小题8分，共40分)ex y sin(xy) 1 确定，求 y (x)以及

10、 y (0).10.x(1x7)、1求 3 f(x)dx .设f (x)11.9.解：方程两边求导g(x)12.设函数f(x)连续，1f(xt)dt liml(x) a0，且x 0 x , A为常数.求 g(x)19的解.并讨论g(x)在x 0处的连续性.- y y(1)13 .求微分方程xy 2y x 1nx满足四、解答题(本大题10分)14 .已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0),过点9D，且曲线上任一点M(x0,y0) 处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点 纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15 .过坐标原点作曲线y 1nx

11、的切线，该切线与曲线y 1nx及x轴围成平面图 形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16 .设函数f (x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1,q1f(x) d x q f(x)dx00.f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017 .设函数f (x)在0,上连续，且。，。.证明:在,内至少存在两个不同的点1 , 2 ,使f ( 1 f( 2) 0(提示：设 xF(x) f(x)dx0 )解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C

12、4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 /Cosx、26() c 一5. e . 6.2 x 7.7.2. 8.3三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)ex y(1y (x)y ) cos(xy)(xy y) 0 ex y ycos(xy) ex y x cos(xy)x 0,10.解:0, y(0)7x6dxdu原式(1u(1“duu)2 )du u 111.解:7(ln |u|71n |x7|13 f (x)dx021n |u2ln |1 70xe12.解:g(x)g (x)g(0)1|)3xd(xxe2e3 4 f(0)0,xtf (xt )dtxdx2x

13、 x21 (x 1)2dx02人cos d (令x2g(0)xf u0(u)du(xdx1 sin )0)xxf (x) f(u)du02xlimxf (u)du02xlim(x0)f(x)xf (x)xm0g(x)x 0 2xxf (u)du0-2 x0处连续。dy13.解：dx2一y x2dx xln x2dxe x ln xdxC)1xln x 1x Cx 2391 -y(i) 9C o四、解答题（本大题14.解：由已知且y1 . y x ln x 310分)x20 ydx y将此方程关于x求导得y 2y特征方程: 其通解为r2 r 2y Ce代入初始条件y（0）故所求曲线方程为:0 解

14、出特征根：r11，C2e2(0) 12 y -e 3五、解答题（本大题10分）覆 w1-e3C13, C22x2.15.解：（1）根据题意，先设切点为由于切线过原点，解出x0A则平面图形面积1(ey0（2）三角形绕直线（x0,1n x。）,切线方程:e,从而切线方程为:1ey）dy -e 1x= e一周所得圆锥体体积记为曲线y 1nx与x轴及直线1V2 （e0y ln x0-(x x) 01V1,则x = e所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V2ey)2dyD绕直线x= e旋转一周所得旋转体的体积2V V1 V2 (5e2 12e 3)6六、证明题16.证明:q(本大题有qf

15、(x) d x02小题，每小题4分，共12分）1q f(x)dx0qf (x) d x q( f (x) d x01f(x)dx)q(1 q) f (x) d x01 0, q 2 q,11q f(x)dxqf( 1)f ( 2)故有:q(1 q) f ( 1) q(1 q) f ( 2)0 xf(x)d x q f(x)dx00证毕。17.xF(x) f(t)dt ,0 x证：构造辅助函数：0。其满足在0，上连续，在(0，)上可导。F (x) f(x),且 F(0) F( ) 00 f (x)cosxdx cosxdF (x) F(x)cosx|sin x F (x)dx由题设，有000,F

16、 (x)sin xdx 0有0,由积分中值定理，存在(0,)，使F( )sin 皿尸( ) 0综上可知F(0) F( ) F( ) 0,(0,).在区间0,上分别应用罗尔定理，知存在1(0,)和 2(,),使 F ( i) 0及F ( 2) 0,即 f( 1) f( 2) 0.高等数学(上)试题及答案单项选择题(每小题 3分，本题共15分)x1、右函数 f(x) 一,则 lim f(x)() x x 0A、0 B 、1 C 、1 D 、不存在cx 2 /c、D. (x2)x 42、下列变量中，是无穷小量的为()1 ,A. ln (x 0 ) B. ln x(x 1) C. cosx (x 0)

17、 x3、满足方程f (x) 0的x是函数y*)的().A .极大值点B .极小值点C .驻点4、下列无穷积分收敛的是()A、 sin xdx B02x .e dx00 5dxdx5、设空间三点的坐标分别为M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)、B (2, 1, 2)。则 AMB =A B 、 C 、万 D 、二、填空题(每小题 3分，本题共15分)21、lim(1 3x)7.。x 0x,一，e x 02、当k 时，f(x) 2在x 0处连续.x k x 0, dx3、设 y x In x,贝U J dy4、曲线y ex x在点(0, 1)处的切线方程是 5、若 f(x)dx sin2x

18、 C, C 为常数，则 f(x) 三、计算题(每小题7分，本题共56分)4x21、求极限 lim 4x2 x 0 sin 2x11 、2、求极限 lim(-)x 0 xex 1cosxe t dt3、求极限 lim二一-一x 0v24、设 y e5 ln(x1 x2),求 y5、设f y(x)由已知x ln(1 t),求立 y arctant dx12.6、求不te积分2-sin( 3)dxx x、求不定积分excos xdx12e2x8、设 f(x)1111四、应用题（本题7分）20 f (x 1)dx求曲线五、证明题（本题7分）所围成图形的面积 A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。若f

19、 （x）在0,1上连续,1在(0,1)内可导，且 f (0) f (1) 0, f(1)2在（0,1）内至少有一点，使 f ( ) 1。参考答案O填空题（每小题3分，本题共15分）1、e6 2 、k =1 .4x21.斛：limx 0 sin 2x.xlim -x 0 sin 2x( . 4x 2)1lim2x02xsin 2x( 4 x 2)一-12.斛：lim (x 0 xlimj x 0 x(ex 1)lim 一 x 0 eex 11 xexlim x 0exx xe xe3、解:cosxe t dt1sin xe lim x 0 2x2cos x14、解:x 115、解:dydx12t

20、6、解:7、解:8、解:2t.7分(4分)2d2y dx2122t2t21 t2-2 sin(3)dxsin(2 x0f(xex cosxdx1 t2Tt(7分)3)d(2 3)3cosxdexxe cosxxe cosxxe cosxex(sin x11)dx 1 f (x)dx0 dx11 ex13) C(7分)exsinxdxsin xdex .x _e sin xcosx) C01f (x)dx1 dx01 xex cosxdx10f(x)dx 四.应用题(本题解：曲线y x2与x于是曲线y x2与x0(1 -111 ln(1x e-)dx ln( 1 x) e1 ln(1 e7分)1

21、)y2的交点为(1,0ln 21ln(1 e)1),2 一y所围成图形的面积 A为x2)dx 3x2 1x203 5分6分7A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为:1v (y)2 y4 dy0五、证明题(本题 7分)证明： 设 F(x) f(x) x,1 .一显然F (x)在,1上连续，在1q ,1)内可导,F(1)1 0.1 .一由零点定理知存在 x1q,1,使F(x1) 0.由F(0) 0,在0,x/上应用罗尔定理知，至少存在一点(0,Xi)(0,1),使 F ( ) f ( ) 1 0,即 f ( ) 1第一章函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一

22、切内容都将 从这二者开始。 1、 函 数 一、集合、常量与变量 、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A R C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记a M(ta 属若事物a不是集合M的一个元素，就记a M或a-h/l(i卖a不属于M);集合有时也简称 为集。注：若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。 2:集合的表示方法：、若集合为有限集，就 可用列举出其全体元素 的方法来表示，如：A 1,2,3, 10, B 一只猫，一只狗，一只 鸡;(ii)、对无限集，若知道其 元素的规律，也可类似 写出，如：A 1,23为

23、全体自然数集,B 2,46为全体偶数集；枚举法(iii卜列不出全体元素或找 不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集合可表示为：A xx所具有的某种性质，即：有此性质的必在 A中，且A中的元素必 须有此性质。如：A xx3 5x2 7x 3 0； B xx为我校的学生； C (x, y)点 (x, y)在D中等。全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。 以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4:集合间的基本关系：若集合 A的元素都是集合B的元素，即若有x A,必有x B,就称 为B的子集，记为A B,或B A(读B包含A)。显然：N

24、 Z Q R.若A B,同时B A,就称A、B相等，记为A=B5:当集合中的元素重复时，重复的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。6:不含任何元素的集称为空集，记为，如：xx2 1 0,x R=, x:2x 1=，空集是任何集合的子集即Ao7:区间：所有大于 a、小于b(a 0时，还过（0, 0）点。二、指数函数与对数函数、指数函数：形如y ax（a 0,a 1）的函数称为指数函数，其定义域为（，），其图形总在 轴上方，且过（0, 1）点，1$ 当a 1时，y ax是单调增加的；20当0 a 1时，y ax是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数y ex,e的意义以后讲，其图形

25、大致如下图所示，特别地，ax与y ax关于y轴对称。、对数函数：指数函数y ax的反函数，记为y logax（a为常数，a 0,a 1）,称为对数函数， 其定义域地，），由前面反函数的概念知：y ax的图形和y logax的图形是关于y x对称 的，从此，不难得y log a x的图形，y logax的图形总在y轴右方，且过（1, 0）点10当a 1时，y logax单调递增，且在（0, 1）为负，（1,）上为正；2$当0 a 1时，y logax单调递减，且在（0, 1）为正，（1,）上为负;特别雷取e时，函数记为y lnx,称为自然对数函数。三、三角函数与反三角函数、三角函数三角函数主要是

26、：正弦函数：y sin x x (,)正切函数：y tanx余切函数：y cot x余弦函数：y cosx x (,)x n n Q 1, 2, 2x nn 0, 1, 2,正弦函数和余弦函数均为周期为 2的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割1 一一1secx 和余割 y cscx ,其图形在此不做讨论了。cosxsin x、反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数:反余弦函数:反正切函数:反余切函数:y Arc sin xy Arc cosxy Arc tan xy Arc c

27、ot xx 1,1x 1,1x (,)x (,)显然反三角函数都是多信函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将 Arc sin x限制在,得一单值函数，记为 y arcsin x ,它就是所取主信函数,一,一叫做主值区间，显然 一 arcsinx ,2 222同理：将 Arccosx限制在0,上，得y arccosx将 y Arc tanx 限制在,得 y arctanx将 y Arc cot x 限制在0,上，得 y arc cot x从图中不难看Harcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arc cot x是单调递减的。四、复合函数和初等函数谀f (u),

28、定义域为Di ,u (x),定义域为D2,值域为W2 ,且W2Di ,这样对于xD2,由 (x)可算出函数值u W2 Di,所以u Di ,由y f(u)又可算出其函数值y,因此对于x D2 ,有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数，我们称之为以f(u)为外函数，u(x)为内函数复合成的复合函数，记为 y f ( (x),其中u为中间变量。【例I】y sin 2 x就是y u2和u sin x复合而成；22 一八一 r、y cosx 就是 y cosu和u x 复合而成。注：并非任何两函数都可以复合的，例如：y arcsin u和u 2 x2不能复合；y VG和u i

29、x2也不能复合。2:复合可推广到三个或更多的函数上去，如：y tan(lnx)2就是 y tanu,u v2,v In x复合成的。3:在函数复合中，未必都有 y f(u)、u (x)的形式，一般为y f(x)和y g(x),这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y f(x)和y g(x)之分。、初等函数我们把幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数 和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称 为初等函数。- I ;【例】y 弋i x, y 寸i 2x , y sin2 x, y tan(ln x)2,

30、 y arctan J-一sn-x 等都是初等函数。；i sin x本教材讨论的主要都是初等函数。五、双曲函数和反双曲函数x x双曲正弦：y shx x (,)2x x双曲余弦：y chx x (,)2x a x双曲正切：y thx 皂-ex e x x (,) chx e e反双曲正弦：y arshx ln(x . x 3 1) x (,)反双曲余弦：y archx ln(x .x2 1) x 1,)(多信函数yln(x ,x2 1)取“+”号为主值)1 1 x反双曲正切：y arthx Inx ( 1,1)2 1 x由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了 1、3

31、 数列的极限所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列(排)o在数学中，我们可用这样的话 来定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为xn f(n), n 1,2,3,由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：x1,x2,xn ,这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为 xn或数列xn。数列中的每一数称为数列的项，第n项xn称为一般项或通项。他1】 书上用圆内接正6 2n1边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列(多边形的面积数列)【伤2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列:1112,22 ,23 ,一 1 1【例】1

32、,1,12 312n，通项为，1, 1,(1)n1,；2,4,6,2n,2 3 42 J, , ,都是数列，其通项分别为1,( 1)n1,2n,U nn注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将Xn依次在数轴上描出点的位置，我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，是无限接近于0的；2n是无限增大2 n的；(1)n1的项是在1与1两点跳动的，不接近于某一常数；无限接近常数1。n对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态, 这就是常说的数列的极限问题。我们来观察 的情况。从图中不难发现随着n的增大，无限制地接近1,亦即n充nnn 1 ,分大时,n-与1可以

33、任意地接近，即 n1可以任意地小，换言之，当n充分大时可以小于预先给定的无论多么小的正数0例如，取1_1_n 100从第101项开始，以后的项X101102，x102101103102都满足不等式Xn 1,或者100100时,有工。同理，若取 100一由110000n 10000,从第10001项开始，以后的项X1000110002, X10002100011000310002都满足不等式1,或说，当n1000010000时,有1一般地，不论给定的正数 多么小, 10000总存在一个正整数N ,当nN时，有这就充分体现了当n越来越大时，无 n限接近这一事实。这个数”1”称为当n时,成立,这是就

34、称常数a是数列Xn的极限，或称数列 Xn收敛于a ,记为lim xna ,n或Xn a（n ）0如果数列没有极限,就说数列是发放的。3 4 n 1【例】证明数列2,3,4,口2 3 n收敛于1。证明：对0 ,要使得-,只须n ,所以取N nN时，有定义:若对 0 （不论 多么小），总 自然数N 0,使得当n N时都有xn a尽管 具有任意性,注：是衡量Xn与a的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而,但一经给出，就应视为不变。（另外，具有任意性，那么2,2 , 2等也具有任意性，它们也可代替 ）2: N是随 的变小而变大的，是 的函数，即N是依赖于 的。在解题中,不大，重要的是它的存在性

35、，只要存在一个 N ,使得当nN时，有XnN等于多少关系a 就行了，而不必求最小的N 。22偶】证明lim a-1。n n明：对 0,因为（此处不妨设0,所以要使得,n2 a2n，因为22,n a /1n显然有lim n2,只须a-n2即有n -所以取N25当n、n2 a2n就行了。2an( n2 a2 n)1)N时，因为有造：有时找N比较困难，这时我们可把Xn2 n limna适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小于,那么必有xn a【例】设q 1,证明1,q,q2, ,qn 1的极限为0,即lim qn 10on证明：为 0,结论是显然的，现设0 q 1,对0,（因为 越小越好，不

36、妨设 1）,要使得qn1 0 ，即qn1,只须两边放对数后，（n 1） ln q ln成立就行了。因为0 q 1,所以ln q 0 ,所以n 1lnln qlnln q取n 1 L ,所以当n N时，有qn1 0 成立。 ln q收敛数列的有关性质：定理：（唯一性）数列Xn不能收敛于两个不同的极限。证明：谈和b为Xn的任意两个极限，下证a b o由极限的定义，对0,必分别 自然数N1,N2,当n N1时，有xn a 当n 队时，有xn b 令N Max N1,N2，当n N时，（1）, （2）同时成立。现考虑：a b （xn b） （xn a） xn b xn a2由于a,b均为常数 a b,所以xn的极限只能有一个。注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。【例】证明数列xn（1）n1是发散的证明(反证法)假设Xn收敛，由唯一性,设lim xna ,按定义，对n1-,自然数N ,当n N 2时,Xn a2 ,考虑 Xn 1XnXn 1aXn a1 ,而Xn , Xn 1总是一个“1”，一个1”,所以Xn 1Xn1,所以矛盾,所以Xn ( 1)一发散。定理.(有界性)若数列Xn