双曲线题型归纳含答案

1、2例1设P是双曲线x2 a三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念2y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2y =0, F1、F2 93分别是双曲线的左、右焦点.若|PFi |=3,则 |PF2 卜(A. 1 或5B.C. 7分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出D. 9a的值，利用双曲线的定义求出IPF2I的值.22解：:双曲线匕=1渐近线方程为y=±3x,由已知渐近线为3x-2y = 0a 9a.a = Z.|PF1|PF2|=4,，|PF2 |=±4+|PR |.PFL，|PF2»0,，|PF2|=7.故选C.归纳小结：本题考查双曲线的定

2、义及双曲线的渐近线方程的表示法.（二）基本量求解八、5例2（2009山东理）设双曲线则双曲线的离心率为（B.解析：双曲线2x2a2 _y_ b22 x 2 ab2二1的一条渐近线与抛物线y = x2 +1只有一个公共C.D.西=1的一条渐近线为b=-x ,由方程组aby xy y a ，消去y,得y = x2 1b?x+1=0有唯一解，所以 a=()2 - 4 = 0 a所以b = 2a=。5 ,故选D.系,以及直线与抛物线的位置关归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.2例3 （2009全国I

3、理）设双曲线之-ab2二1（a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=X +1相切,则该双曲线的离心率等于（）A. ,3B.2 C.5 D.解析：设切点P（%, yo）,则切线的斜率为y 1m0= 2x0 .由题意有y。Xo2 Xo .又有y0 =%2 +1 ,联立两式解得：X02 =1j - =2,e = a因此选C.例4 （2009江西）设F1和52为双曲线 -* =1 (a a 0,b >0 )的两个焦点，若 F1，F2 , b2P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（B. 23T解析：由tan -=6c 3 一 八 222一=有 3c = 4b = 4(c

4、 2b 3一 a2),则 e = * = 2 ,故选 B.a归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征, , 二 C从而得出tan = 6 2b=,体现数形结 32y7=1（a A0,b >0）的离心率为 J3,右准线方程 b2合思想的应用.（三）求曲线的方程2X例5 （2009,北与）已知双曲线 C ：-2a(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x y+m=0与双曲线 C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆x2 +y2 =5上，求m的值.分析：(1)由已知条件列出a,b,c的关系，求出双曲线 C的方程；(2)将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值.a2

5、 _3=解：(1)由题意，得« c 3 ,解得a =1, c = J3.-=3 ab2 =c2 a2 =2, 所求双曲线 C的方程为x22- = 1.2(2)设A、b两点的坐标分别为(x, y1 ),(x2,y2 ),线段ab的中点为M (x0,y0),2.x2 .匕”22c由 2 得 x -2mx-m 2=0 (判别式 AaO),、x + y + m = 0x X2一 x0 m, y0 x° m _ 2m ,2点 M (x0,y0 而圆 x2 + y2 =5上， 221- m 十(2m )=5,m = ±1 .乂2 由*22另解：设A、B两点的坐标分别为(x1,

6、y1Mx2, y2 ),线段AB的中点为M(x0,y0),，、/、1 ,、/、 C(x1 x2)(x1 x2)-二(y1y2)( v - y2)= 0.2五二122，两式相减得互=12由直线的斜率为1, x0 ='22,丫0代入上式，得y0 =2%.22一 _ _ 一 _22_ _ 一一又M(y0,x°)在圆上，得V。十比=5,又M(y0,x0)在直线上，可求得 m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.22例6过M (1,1)的直线交双曲线x-匕=1于a, b两点，若M为弦AB的

7、中点，求直线42AB的方程.分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率.为此可设其斜率是k ,利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线 AB的方程.也可设出弦的两端点坐标用 “点差法” 求解.解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k ,则方程为y1 = k(x 1).22士 y- 1由42 -1 消去 y 得(12k2)x2 4k(1 k)x2k2+4k6 = 0y -1 = k(x -1)设A(x1,y1), B(x2, y2),由于m为弦AB的中点，所以 =2k(1k) =1,所以 k =1.21 -2k22 1 一.显然，当k=一时方程的判别式大于零.21所以直线AB

8、的方程为y_1=-(x1)即x-2y+1=0.2解法二：设 A(x1,y1)，B(x2, y?),则-2x122-1x2y2得(x -x2)(x x2) -2(必-y2)(y1 72) =0.又因为 x1 +x2 =2,yI +y2 = 2 ,所以 x1 x2 =2(y1 yz).若 X =x2，则 y1 = y2,由 +x2 = 2,yI + y2 = 2得，=x2 =1, % = y2 =1 .则点A B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以x #x2.所以k二必二y2 二1.x1 -x221所以直线AB的方程为y1= (x1),即x 2y+1=0.经检验直线x 2y +1 =0符合题意，故所求

9、直线为 x 2y+1 = 0 .解法三：设A (x, y),由于A、B关于点M (1, 1)对称，所以B的坐标为(2 x, 2-y),22x y .-=1, 则， 42消去平方项，得x 2y+1=0.(2-x)2 (2-y)2;-=I.42即点A的坐标满足方程，同理点B的坐标也满足方程.故直线AB的方程为x2y+1=0.归纳总结：由于双曲线(抛物线)不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所 以在求双曲线(抛物线)中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.(四)轨迹问题22例7已知点P(x0,y0)为双曲线 三、=1 (b为正常数)上任一点，F2为双曲线的右108b2 b22焦点，

10、过P作右准线的垂线，垂足为A,连接F2A并延长交y轴于巳.求线段P1巳的中点P的 轨迹E的方程.P是线段B的中点，可利分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点 用相关点法.解：由已知得F2(3b,0), A(8b, y°),则直线33 y0 ,F2A 的方程为：y = -(x-3b).b令 *=0得丫=9丫0,即巳(0,9y0).Xox 二-2二5y0Xo - 2x即 y代入y0:52 X0 8b24x28b2即P的轨迹E的方程为2y_2-22b 25byo9y09归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法.（五）突出几何性质的考查22例8 （2006江西）P

11、是双曲线 上上=1的右支上一点，M , N分别是圆（x + 5）2 + y2=4 916和（x5）2+y2 =1上的点，则|PM | -|PN |的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点 F1（5,0）与F2（5,0）恰好是两圆的圆心，欲使|PM|PN|的值最大，当且仅当| PM |最大且| PN |最小，由平面几何性质知，点M在线段PF1的延长线上，点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大此时 |PM |-|PN |=(PR +2)(PF2 -1) =|PFi PF2I +3 = 9.因此选 D.例9（2009重庆）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=，离心率e

12、=J5.5（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点A的坐标为（-75,0） , B是圆X2十（y J5）2 =1上的点，点M在双曲线右支上，求 MA + MB的最小值，并求此时 M点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将MAMB转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.的方程为解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线x =也得更=巫,5 c 522x y、一 f . 2、=1 (a >0,b >0),设 c = Ja2 +b2,由准线万程为a b2解得a=1,c = J5.从而b =2,.该双曲线的方程为 x2L=1.4（2）设点D的坐标为（J5,0）,则点A、D为双曲线的焦点,则 |MA| - |MD | = 2a =2 .所以 |MA | +|MB | = 2 + | MB | 十| MD B 2 + | BD | .因为B是圆x2 +(y J5)2 =1上的点，其圆心为C(0,J5),半径为1,故 |BD 问 CD|-1=而 + 1,从而 |MA|+|MB|>2 + |BD|> 而+1 .当M , B在