线性代数期末试(2020年线性代数期末考试及答案)

1、2020线性代数期末试题及参考答案、判断题（正确填T,错误填F。每小题2分，共10分）1 , A是n阶方阵， R,则有A 仆。（）2 . A, B是同阶方阵，且AB 0,则（AB）10A：（）3 .如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。（）4 .若A，B均为n阶方阵，则当A B时，A，B一定不相似。（）5 . n维向量组1, 2, 3, 4线性相关，则 1, 2, 3也线性相关。二、单项选择题（每小题3分，共15分）121.下列矩阵中,）不是初等矩阵。001010(A)100(B)(C)(A) 12, 23,31(B) 1, 2, 3(01 , 2,2 13 2(D)2, 3, 2

2、 223.设A为n阶方阵，且A A 5E0。则（A 2E）100100020012001(D)0012,设向量组1, 2, 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（A） A与B相似(B) A B，但 |A-B|=0(O A=B(D) A与B不一定相似，但|A|二|B|三、填空题(每小题4分，共20分)2.A为3阶矩阵,且满足A3,则*3A3.向量组无关)的,是线性(填相关或它的一个极大线性无关组是4. 已知2,3是四元方程组Ax b的三个解，其中A的秩R(A)=3,4444 ,则方程组Ax b的通解为1234 ,5 .设,且秩(A)=2,贝U a=四、计算下列各题(每小题9分，共45分)。1

3、2 1A 3 4 21 .已知A+B=AB，且 1 2 2 ,求矩阵b。2 .设。1, 1,1),( 1,1,1, 1),而 A T ,求 Anx1 x2 aX3占 x2 2x33 .已知方程组x1 ax2 x3 a有无穷多解，求a以及方程组的通解。4 .求一个正交变换将二次型化成标准型f （Xl，X2，X3）2X1_ 2_ 22x2 2x24x1x24x1X38x2x35. A, B 为 4 阶方阵，AB+2B=0,矩阵 B 的秩为 2 且|E+A|=|2 E-A|=0。（ 1） 求矩阵A的特征值；（2） A是否可相似对角化？为什么？ ； （3）求|A+3E|五.证明题（每题5分，共10分）

4、。1 .若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB BA是否为对称矩阵？证明你的结 论。2 .设A为m n矩阵，且的秩取用为n,判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答1. (F) ( A A)2. (T)3. (F)o如反例:4. (T)(相似矩阵行列式值相同)5. (F)二、1 .选B。初等矩阵一定是可逆的2 .选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与1, 2, 3等价，其秩为3, B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。 _. 23 .选 C。由 A2 A 5E 0 A A 2E 3E A 2E (A E) 3E

5、,11A 2E (A E) 3)04 .选D。A错误，因为m n,不能保证R(A) R(A；B错误,Ax 0的基 础解系含有n R A个解向量；C错误，因为有可能R(A) n R(A|b) n 1 , Ax b无解；d正确，因为R(A) n05 .选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P，Q ,使得 11A fPAPd1ag ( 1, 2,L , n) QBQ ,因此A，B都相似于同一个对角矩阵。n 1三、1.1 n! (按第一列展开)1. CA322. 3 ; 3 ( 3A =3 A )3. 相关(因为向量个数大于向量维数)。1, 2, 4 o因为3 2 12,A | 124 | 0

6、04. 1234T k2024 T。因为RA 3,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为 2 3 2 1 ,由原方程组的通解可表为导出 组的通解与其一个特解之和即得。5. a 6 (RA 2|A 0)四、11 ,解法一：A B AB A E B A B (A E) A。将 A E 与 A组成一1、个矩阵(A E|A),用初等行变换求(E|(A E) A)。0 2 112 13A E|A = 110UUm3rJ,U3jLU& 03 2 3 42 1120 0 0 03 2 3 42 11223 32(r1 %) 1 21101011 ruur3 0 22 3 4 2112 2

7、0 0 011 2 2211210 0 0 0112 20 13 2解法二：A BABAEBA_1(A E) A一 1 一(A E) 3B (AE) 1A6，因此2.解:1111111111111111 , A24A,An( T)( T)L ( T)( T )(T )L ( T3.解法一：由方程组有无穷多解，得R(A)R(A|b)3,因此其系数行列式I A|。即a 1或a4。1时,该方程组的增广矩阵(A|b)1于是R(A)R(A|b)方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个1基础解系2原方程组的一个特解1时,方程组有无穷多解，其通解为(A|b)当a 4时增广矩阵1615R(A) 2 R(AIb

8、) 3,此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。(A|b)11 211 a 1 a2i(1a)(4a)由于该方程组有无穷多解,得 R(A) R(A|b)因此2(12a)(4 a) a即a 1。求通解的方法与解法一相同。4.解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵A 224| AE|2)2(7)因此得到其特征值为17。再求特征值的特征向量。解方程组（A 2E）X 。，得对应于特征值为12的两个线性无关的特征向量12 1解方程组（A7E)x 0得对应于特征值为的一个特征向量Pi最后将P1P2的矩阵即为所求的正交变换矩阵2.55工52 5154.515. 53T单

9、位化后组成132323其标准形为_2_2_ 2f 2y1 2y2 7y3。5 . 解：（1 ）由E A 2E A-1的特征值。2,即特征值-2AB 2B 0 A 2E B 0,故？为A的特征值，又B的秩为有两个线性无关的特征向量，故 A的特征值为-1, 2, -2, -2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1, 2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似 对角化。(3) A 3E 的特征值为 2, 5, 1, 1。故 A 3E =100五、1. AB BA为对称矩阵。证明：AB BA T AB T BA T = BT AT AT BT = BA A B = AB BA ,所以AB BA为对称矩阵。2. AT A为正定矩阵。证明：由ATAT ATA知ATA为对称矩阵。对任意的n维向量 0,由RA n 丁丁2得A 0, A A =IIA II 0,由定义知AT A是正定矩阵。11-(A E)-(A E)(A) A E (B) E A (C)3(D)34.设A为m n矩阵，则有（）。（A）若m n，则Ax b有无穷多解；