线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

1、线性回归方程非线性方程转化为线性方程x（单位：千元）对例 1 （2015 高考全国卷） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 年销售量 y（单位： t ）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值5631469表中 = ， = （ I ）根据散点图判断，与 ，哪一个适宜作为年销售量 y关于年宣传费 x的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由） ；（II ）根据（ I ）的判断结果及表中数据，建立y关于 x 的回归方程；（ III ）已知这种产品的年利润 z 与 x， y 的关系为，根据（ II

2、）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ ii ）年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据 , ， , 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】 （ ）适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型； （ ）；（ ）（i）答案见解析； （ii） 千元 .【解析】（ I ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型 .（ II ）令，先建立 关于 的线性回归方程，由于=68，=563- 68=， 关于 的线性回归方程为 ，因此 关于 的回归方程为 .（III ）（）由（ II ）知，当 =49 时，年销

3、售量 的预报值=，年利润 z 的预报值为 .（）根据（ II ）的结果知，年利润 z 的预报值 ， 所以当 ，即 时， 取得最大值 . 故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大 .5:3:2 ，为进一步帮助例 2某地级市共有 200000 中小学生， 其中有 7%学生在 2017 年享受了“国家精准扶贫”政策， 在享受“国家精准 扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为这些学生， 当地市政府设立“专项教育基金”， 对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000 元、1500 元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加 ，一般困难的

4、学生中有 会脱贫，脱贫后将不 再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有 转为一般困难，特别困难的学生中有 转为很困难。现统计了该 地级市 2013 年到 2017 年共 5 年的人均可支配年收入， 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份 取 13 时代表 2013 年， 与 （万元）近似满足关系式 ，其中为常数。（ 2013 年至2019 年该市中学生人数大致保持不变）其中 ，（）估计该市 2018 年人均可支配年收入；（）求该市 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附： 对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别

5、为详解】（）因为 ，所以答案】（）（万） ;（） 1624 万.由 得 ，所以所 以 ， 所 以时 ， 2018 年 人 均 可 支 配 年 收 入2000007%=14000人（万）由题意知 2017 年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、 4200人、2800人， 2018 年人均可支配收入比 2017年增长所以 2018 年该市特别困难的中学生有 2800（1 -10%）=2520 人， 很困难的学生有 4200(1 - 20%)+280010%=3640 人般困难的学生有 7000(1 - 30%)+420020%=5740 人 .所

6、以 2018 年的“专项教育基金”的财政预算大约为57401000+36401500+25202000=1624 万 .例 3近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内 优惠力度较大， 吸引越来越多的人开始使用扫码支付 某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支 付的人次，用 x表示活动推出的天数， y 表示每天使用扫码支付的人次 （单位：十人次 ） ，统计数据如表 l 所示： 表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图（1） 根据散点图判断，在推广期内，（c ，d 均为大于零的常数 ） 哪一个适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推

7、出天数 x 的回归方程类型 ?（ 给出判断即可，不必说明理由 ）；（2） 根据（1） 的判断结果及表 1中的数据，求 y关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8天使用扫码支付的人次； 参考数据：其中参考公式： 对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：答案】（ 1）（2）详解】（ 1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数 关于活动推出天数 的回归方程类型；2），两边同时取常用对数得：把样本中心点 代入, 得:，关于 的回归方程式： ；把 代入上式， ； 活动推出第 天使用扫码支付的人次为 ；例 4 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车

8、交易市场对2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1图 1 图 2（ 1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 ”为事件 ，试估计 的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中 （单位：年 ）表示二手车的使用时间， （ 单位：万元） 表示相应的二手车的平均交易价格由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格 关于其使用年限 的回归方程，相关数据如下表（表中 ， ）：根据回归方程类型及表中数据，建立 关于 的回归方程；该汽车交易市场对使用 8年以内 （含 8年）的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间 8年

9、以上 （不含 8年）的二手车收取成交价格 的佣金在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值若以2017 年 的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金附注：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为参考数据【答案】（ 1）；（2）万元【 详解 】（ 1 ）由 频率分布 直方图 得，该 汽车交易 市场 2017 年成交 的二 手车使 用时间 在 的频率 为，在 的频率为 , 所以 2）由得 ，即 关于 的线性回归方程为 因为 ，所以 关于 的线性回归方程为 ， 即 关于 的回归方程为根据中的回归方程和图 1，对成交的二手车可预测：使

10、用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元例 5菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害， 但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净， 下表是用清水 x（ 单位：千克）清洗该蔬菜 1千克后， 蔬菜上残留的农药 y（单位：微克） 的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值y（微克）x （千克）3381110374121751其中（I ）根据散点图判断，与， 哪一个适宜作为蔬菜农药残量 与用水量 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由） ；（ ） 若用解析式作为蔬菜农药残量 与用水量 的回归方程，求出 与 的回归方程 （c ， d 精确到（ ） 对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20 微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？ （ 精确到，参