(推荐下载)Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法算法比较

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2、算法比较的全部内容。Jacobi 迭代法与 GaussSeidel 迭代法算法比较目录1引言.11。1 Jacob i迭代法.11 o 2 Gauss-Seidel迭代法.21.3逐次超松弛(SOR)迭代法.32算法分析.33结论.54附录程序.5参考文献.8第1页共7页Jacob i迭代法与Gauss-Se i de I迭代法比较1引言解线性方程组的方法分为直接法和迭代法，直接法是在没有舍入误差的假设下，能在预定 的运算次数内求得精确解，而迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确值的序列。这两 种方法各有优缺点，直接法普遍适用，但要求计算机有较大的存储量，迭代法要求的存储量 较小，但必须在收

3、敛性得以保证的情况下才能使用。对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值 求解中岀现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，所以比较受工程人 员青睐。迭代法求解方程组就是构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组的解向量即使计算 机过程是精确的，迭代法也不能通过有限次算术运算求得方程组的精确解，而只能逐步逼近它。 因此迭代法存在收敛性与精度控制的问题。迭代法是常用于求解大型稀疏线性方程组（系数矩阵阶数较高且o元素较多），特别是某 些偏微分方程离散化后得到的大型稀疏方程组的重要方法。设n元线性微分方程组A Z（1）的系数矩阵A非奇异，右端向量方工0,因而方程组有唯一的非零解向量。而对于

4、这种线性方 程组的近似解，前辈们发展研究了许多种有效的方法，有Jacobi迭代法、Gauss-Sei de I迭代 法，逐次超松弛迭代法（S0R法），这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A分解成两个矩阵N和P的差，即A = N-P.其中N为可逆矩阵，线性方程组（1）化为：（.N_P）x = bNx = Px + bx = NiPx + Nih可得到迭代方法的一般公式：严=G严+（2）其中：G = NP,df对任取一向量作为方程组的初始近似解，按递推公式产生一个 向量序列x，X,。.，当*足够大时，此序列就可以作为线性方程组的近似 解。一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是：迭代矩阵G

5、的谱半径小于1,即（G）vl；又 因为对于任何矩阵范数恒有故又可得到收敛的一个充分条件为：|G| 称GJ为Jacobi迭代矩阵其计算公式为：如果迭代矩阵的谱半径Q(G)vl,则对于任意迭代初值x*：Jacobi迭代法收敛；如 果|Gj| +L)1Ux(k)+(D + LYlb其中无任取，则Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：(6)上式中：(D +厶尸方是其右端常数项；GG= -(D + LFU为GaussSeidel迭代法的迭代矩阵，其计算公式为:(4)第3页共7页若GS法收敛的充分必要条件是Q(GG)V1；如果II&II 0称为松弛因子在迭代法一般形式中，取N = L D +

6、 L P =-（1 -丄）D + U）cocof得到迭代公式+如）=_（丄D +厶）“（_ 丄）D + D）x+（丄D+厶）-%_cococo女=U丄（9）其中戏八任取。这就是逐次超松弛迭代法，当少二1时该式就是高斯法。S0R法迭代矩阵是Gs =一（丄D+ 厶）（1丄）D + U）coco整理后得到S0R迭代法的实际计算公式为：屮知竺屮_（1丄）屮）-f竺）+色.冃an少jm+艸加i= 1,2,.k= 0J,.（。）SOR方法收敛的充分必要条件是 Q（U） vl；如果|Gs | 1,则SOR方法收敛;SOR方法收敛 的必要条件是血 2x? = & 3第5页共7页-%, - x2+5召=

7、4.2解将方程组按雅可比方法写成X =0.lx2+ 0.2“ + 0.72 兀=U+ 0.2 + 0.83=0.2召+ 0.2x,+ 0.84取初始值曲=（屮比,卅叮=（0,0,o,）7按迭代公式 屮）=0甥+0.2屮+0.72并3）=0.1兀丫）+0.2兀丫）+0.83诂z=0.2xf）+0.2xf）+0.84进行迭代，其计算结果如表1所示.表表1k012345670Oo720. 9711o0571o 08531.09511.0983 00.831.0701o15711o 18531o19511.1983 人30Oo841. 1501.24821.28281.29411o2980 例例2用高

8、斯一塞德尔迭代法求解例1.解解取初始值卍=理工，専=（0,0,0,y ,按迭代公式屮）=0.朗+0.2云）+0.72 +,）= 0.1#如）+ 0.2x（）+ 0.83詁側=0.2#側+ 0.24+1）+0.84进行迭代，其计算结果如下表2表表2k01234567仗）0Oo721.043081.093131o099131.099891.099991o100o9021. 167191. 195721o199471. 199931o199991.2人301. 161o1o1o1o1o 31.第6页共7页442820529777299722999633结论使用GaussSeidel迭代法迭代法，7次

9、就可以求出方程的解，收敛速度要比Jacobi迭 代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少)；但是这个结论，在一定条件下才是对的，甚 至有这样的方程组，雅可比方法收敛，而高斯一塞德尔迭代法却是发散的.4附录程序/*求解线性方程组-GaussSeidel迭代法*/#incIude # i ncIude using namespace std;/*二维数组动态分配模板*/template T* Al location1D(int n)T *a;a二new Tn；return a；/*求矩阵的一范数*/float matr i x_category (float* xrint n) float tem

10、p = 0；for (int i=0; ipreci si on；/*动态生成增广矩阵*/cout endln;a二Al location2Df loatXn, n+1);/*输入增广矩阵的各值*/cout endl ”输入增广矩阵的各值：n” ; for (i=0; i ai j;/*生成并初始化初始向量*/x_0 = Allocation1D (float(n);coutendl”输入初始向量：n”；for(i=0;in；i+)cinx_0订；/*生成迭代向量*/x_k = AI Iocat i on1D (n)；float temp;/*迭代过程*/for (k=0; kMAX；k+)/

11、增广矩阵/初始向量/迭代向量/精度第9页共7页for (i=0；in; i+)temp二0;for(j=0; ji; j+)temp = temp + ai j* x_kj;)x_ki = ai n temp；temp二0；for (j=i+1；j n; j+)temp = temp + a i j * x_0j；x_ki =(x_ki temp) / ai i;/*求两解向量的差的范数*/for (i=0；i n; i+)x_0 i二x_k i- x_0 i；if (matrix_category(x_0, n)precision) 一break;elsefor (i=0；in；i+)x_0 i二x_ki;1/*输岀过程*/i f (MAX = k)cout迭代不收敛n；)cout” 迭代次数为:k