三角形的外心内心垂心重心

1、即内切圆圆心ABC的AE BF CD二三角形的周长的一半三角形的四心所谓三角形的 四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三 角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.=ABC的重心一般用字母O表示.【性质】1. 外心到三顶点等距，即OA=OB=OC.2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即卩 0D _ BC,OE _ AC,OF _ AB .1 113. A BOC, B AOC, C AOB .2 22二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心， 内心一般用字母I表示.【性质】1. 内心

2、到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角12. 三角形的面积=-三角形的周长 内切圆的半径.23. AE =AF, BF =BD,CD =CE ;1114. BIC =90 A, CIA =90 B， AIB =90 C.222二、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心【性质】1.顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH _ BC, BH _ AC,CH _ AB .24 ABH的垂心为C， BHC的垂心为A， ACH的垂心为B .JABC的重心般用字母H表示.(2) PG = 1 (PA PB PC),35. S BGC = S CGA 二 S.AGBBC四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重

3、心.二ABC的重心一般用字母G表示.【性质】1. 顶点与重心G的连线必平分对边.2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即 GA =2GD,GB =2GE,GC = 2GF3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即、， xa xb 冷yA yB yc 即卩XG, yG3 34向量性质：(1) GA GB G0 ;三角形四心”的向量形式：结论1:若点O为ABC所在的平面内一点，满足 OA OB二OB OC二OC OA , 则点O为ABC的垂心.结论2:若点OABC所在的平面内一点，满足2 2 -2 2 2 2OA BC =OB CA =OC AB , 则点 O 为 AB

4、C 的垂心.结论3:若点G满足GA GB G0，则点G为ABC的重心.结论4:若点G为厶ABC所在的平面内一点，满足OG (OA OB OC),3则点G为ABC的重心.结论5:若点I为厶ABC所在的平面内一点，并且满足a IA b IB c I 0 (其中a,b,c为三角形的三边)，则点I ABC的内心.结论6:若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OA OB) BA =(OB OC) CB 二(OC OA) AC，则点 O 为 ABC 的外心.|AB| |AC|结论7:设0,=，则向量AP(-AB ' -A2)，则动点P的轨迹过 ABC的内心.向量和“心”一、重心”的向量风采【命题1

5、】 已知G是厶ABC所在平面上的一点，若GA GB =0，则G是 ABC的重心.如图.【命题2】 已知图O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线图的三个点，动点P满足 (AB AC)， - (0,=)，则 P 的轨迹定通过 ABC的重心.【解析】由题意A (AB AC)，当0，-:)时，由于 (AB AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过 ABC的重心，如图.垂心”的向量风采【命题3】P是 ABC所在平面上一点，若PA卩B二PBPC二PC PA，则P是 ABC的垂心.【解析】PB 丄 CA.由 PA P-PBPC，得 PB (EA-"PC =0，即 P

6、B "CA=O，所以PA 丄 BC .同理可证PC丄AB图【命题4】 已知O是平面上一定点, P > ABC的垂心.如图.A，B,p满足OP=OAACAC,.三（0, ：），则动点P的轨迹一定C0SC 丿通过 ABC的垂心.【解析】(* CI AB cos BaCcosC 丿,由于由题意AP -：BBC =0，即ABIcosB_AB BC AC BC AB cos B | aC cos C=0,所以IAP表示垂直于ABC0，则I是厶ABC的内心.图【解析】图IB =IAAB , IC =IA AC ,则由题意得BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P 的轨迹一

7、定通过 ABC的垂心，如图.三、内心”的向量风采【命题5】 已知IABC所在平面上的一点，且AB=c ,AC=b , BC = a 若(a b c)IA bAB cAC = 0, bAB cAC 二 ACAB + AB AC =AB -国+AB AI 匚a +b +cAABAB - 広与7分别为AB和AC方向上的单位向量, AI与/ BAC平分线共线，即AI平分.BAC .同理可证：BI平分.ABC , CI平分.ACB .从而I是厶ABC的内心，如图.【命题6】 已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足O =OA的内心.【解析】二当；.三(0,七：)时，AP表示

8、.一 BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点 P的轨迹一定通过 ABC的内心，如图.四、外心”的向量风采【命题7】 已知O是厶ABC所在平面上一点，若OA OB OC2，贝U O 是 ABC的外心.【解析】若 O! LOB2 =OC2，则OC2，(0, * )，则动点P的轨迹一定通过 ABC则O是厶ABC的外心，如图.【命题7】 已知O是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动OB OC2点P满足OP二1AB+1(ABcosBACCOSC>'(0,=),则动点P的轨迹一定通过 ABC的外心.O B O2【解析】BC的中点，当'(0:)时，动点P的轨迹一定

9、通过 ABC的外心，如图.练习：1.已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA PB0，若实数满足：AB A AP，则，的值为（）A. 2B.-2C. 3D . 62.若,AC的外接圆的圆心为0,半径为1, 0A 0B 0C = 0，贝U 0A 0B =()A .丄B. 0C. 1D . -1223.点0在 ABC内部且满足0A 20B - 20C = 0，贝U ABC面积与凹四边形AB0C面积之比是（）3小 54A. 0B.-C .D .-2434.- ABC的外接圆的圆心为 0,若0H =0A 0B 0C，则 H 是 ABC 的（）A .外心B.内心C.重心D .垂心- 2 2 - 25. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA BC = 0B- 22 - 2CA -OC AB，则 0 是 ABC 的( )A .外心B.内心C.重心D .垂心6 ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,0H二m（0A OB 0C），则实数m =7.(06陕西)已知非零向量Ab与AC满足(AB +_AC)BC=o且"AB |AB| |AC|AB| |AC|则AAB