实验5-连续时间系统的复频域分析

1、实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握 MATLAB实现方法。2、学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。3、掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。二、实验原理1、拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为：-boX(s) = x(t)etdt.joO拉普拉斯反变换定义为：1stx(t) =- X(s)e ds2 二 j在MATLAB中，可以采用符号数学工具箱的laplace函数和ilaplace函数进 行拉式变换和 拉式反变换。L=laplace(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t,返回

2、变量为s 的结果表达式。F=laplace(L)以s为变量的符号表达式L的拉式反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。对于拉式反变换，除了上述符号计算的方法之外，还可以采用部分分式法，当 为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：“0 _N(s) bMsM bM4sM4 |rb0X(s) c/ NN 4D(s) aNs aN4sa。上式可以用部分分式法展成一下形式：X(s)IHs - Pi s - P2s- Pn再通过查常用拉氏变换对，很容易求得反变换。利用MATLAB的residue函数可以将展成部分分式展开式，该函数的调用格式为：r,p,k=residue(b,a)其中b、a为分子和分母多

3、项式系数向量，r、p、 k为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换-boH(s) = h(t)etdt.JtJO此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的拉氏变换之 比得到H (s) =Y(s)/X(s)单位冲激响应h(t)反映了系统的固有性质，而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。由上式描述的连续时间系统，其系统函数为 s的有理函数H (s)二 bMsM , bM-sM，TH boaNsN , aNsNHI a。3、连续时间系统的零极点分析由零极点的定义可知，零点和极点分别是上式的分子多项

4、式和分母多项式的 根。利用MATLAB求多项式的根可以通过函数roots来实现，该函数的调用格 式为：r=roots(c) c为多项式的系数向量，返回值r为多项式的根向量。分布对分子多项式和分母多项式求根即可求得零极点。此外，在MATLAB中还提供了更简便的方法来求取零极点和绘制系统函数pzmap 函数，该函数的调用格式为：pzmap(sys) 绘出由系统模型sys 描述的系统的零极点分布图。p,z= pzmap(sys) 这种调用方法返回极点和零点， 而不绘出零极点分布图。其中 sys 为系统传函模型， 由 t 命令 sys=tf(b,a) 实现， b、 a 为传递函数的分子多项式和分母多项

5、式的系数向量。MATLAB 还为用户提供了两个专用函数tf2zp 和 zp2tf 来实现系统传递函数模型和零极点增益模型的转换，其调用格式为z,p,k=tf2zp(b,a)b,a=tf2zp(z,p,k)其中 b 、 a 为传递函数的分子多项式和分母多项式的系数向量，返回值z 为零点列向量， p 为极点列向量， k 为系统函数零极点形式的增益。三、实验内容1 、 已知系统的冲激响应 ，输入信号 ，试采用复频域的方法求解系统的响应，编写 MATLAB 程序实现。MATLAB 程序如下： H=laplace(h); h=sym(heaviside(t); h=sym(heaviside(t)-he

6、aviside(t-2); H=laplace(h); x=sym(heaviside(t); X=laplace(x); Y=H*X上述程序的运行结果为:-(1/(s*exp(2*s) - 1/s)/s11即系统响应的拉氏变换为Y(s) =-2 -万 s s e然后根据基本拉氏变换对可以得到的拉式反变换为y(t)=tu(t) -(t-2)u(t-2)2、已知因果连续时间系统的系统函数分别如下， 试采用MATLAB画出其零极点分布图，求解系统的冲激响应 h和频率响应H(cd),并判断系统是否稳定。(1)H (s)=3_ 2_s3 2s2 2s 1MATLAB程序如下: b=1; a=1 2 2

7、 1; sys=tf(b,a); pzmap(sys);H = sym(1/(sA3+2*(sA2)+2*s+1);h = ilaplace(H)上述程序的运行结果为:1/exp(t) - (cos(3A(1/2)*t)/2) - (3A(1/2)*sin(3A(1/2)*t)/2)/3)/exp(t/2)所以系统的冲激响应为h(t)=e,.(cos*-丹sinN)e/2232(j )3 2(j )2 2(j ) 1令 s=o + j8,仃=0,得至 U H(8)=信号分析：由零极点图可知，该系统的极点全部分布在 s平面的左半部分,又因为该系统为因果系统，所以该系统的ROC包含jw轴，故该系统

8、是稳定的。(2) H =s2 1s5 2s4 -3s3 3s2 3s 2MATLAB程序如下:b = 1 0 1;a = 1 2 -3 3 3 2;r p k=residue(b,a)sys = tf(b,a);pzmap(sys);上述程序的运行结果为:Pole-Zero Map4)&工5 嘘 -1.5-1-G,5Ral Axs ecorids-1)(5-oulcs 富)旦 xy ajecgelw-3.50.0769-0.0300 - 0.0881i-0.0300 + 0.0881i-0.0085 - 0.1436i-0.0085 + 0.1436i-3.17040.9669 + 0.954

9、0i0.9669 - 0.9540i-0.3817 + 0.4430i-0.3817 - 0.4430i极点为-3.1704 , 0.9669+0.9540i , 0.9669-0.9540i , -0.3817+0.4430i-0.3817-0.4430i。根据基本拉氏变换对可以得到反变换为h(t)40.0769 e31704t _(0.03 - 0.0881j)e( 0.954j)t - (0.03 - 0.0881j)e(-54 j)t-(0. 0 0 8+5 0. 1 4(36.3广7 j0t443 )(0. 008 5 eC 1 4(-306j3 8)117 t2令s =仃+jw ,

10、得到H()=(j)1(j )5 2(j )4 -3(j )3 3(j )2 3(j ) 2信号分析：由零极点图可知，该系统有的极点分布在s平面的右半部分，又 因为该系统为因果系统，所以该系统的 ROC不包含jw轴，故该系统不是稳定的。3、已知连续时间系统函数的极点位置分别如下所示(设系统无零点)，试用MATLAB画出其零极点分布图，并绘制相应冲激响应的时域波形，观察并分析 系统函数极点位置对冲激响应时域特性的影响。(DMATLAB程序如下: b=1; a=1 0; sys=tf(b,a); pzmap(sys); t=-1:0.001:3; x=heaviside(t); plot(t,x);

11、 xlabel(t); title(h(t); axis(-1 3 0 1.5);上述程序的运行结果为：Pole-Zero Map-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8Real Axis (seconds-1)11因为系统函数为H(s)=-,s根据基本拉氏变换对，所以系统的冲激响应为h(t)=u(t)据此绘出相应的时域波形。(2)MATLAB程序如下： b=1; a=1 2; sys=tf(b,a); pzmap(sys); t=-1:0.001:3;x=exp(-2.*t).*heaviside(t);plot(t,x);xlabel(t);title(h(t);上述程序

12、的运行结果为：1s 2 因为系统函数为H(s) =根据基本拉氏变换对，所以系统的冲激响应为h(t) =e2u(t)。据此绘出相应的时域波形(3)MATLAB程序如下： b=1;a=1 -2;sys=tf(b,a);pzmap(sys);t=-1:0.001:3;x=exp(2.*t).*heaviside(t);plot(t,x);xlabel(t);title(h(t);上述程序的运行结果为：精品资料-fl BW 一一 陋 L A3USFUHIIsrn KiW 片 1因为系统函数为H(s)=U根据基本拉氏变换对，所以系统的冲激响应为h(t) =e2tu(t)。据此绘出相应的时域波形。(4)M

13、ATLAB程序如下: b=1; a=1 0 4; sys=tf(b,a); pzmap(sys); t=-2:0.001:10;x=0.5.*sin(2.*t).*heaviside(t);plot(t,x);xlabel(t);title(h(t);上述程序的运行结果为： 1因为系统函数为H(s)=, s2 41根据基本拉氏变换对，所以系统的冲激响应为四=”u。据此绘出相应的时域波形。(5) ,MATLAB程序如下： b=1; a=1 2 17; sys=tf(b,a); pzmap(sys); syms s t;H=sym(1/(sA2+2*s+17); h=ilaplace(H); ez

14、plot(h,0,8); axis(0,8,-0.5,0.5);上述程序的运行结果为：出i0 4JC 0 4年口 lAxt ittcrdi1+求得系统的/中激响应为h(t) =-sin(4t)e u(t) 4(6) ,MATLAB程序如下: b=1; a=1 -2 17;sys=tf(b,a);pzmap(sys); syms s t;H=sym(1/(sA2-2*s+17);h=ilaplace(H) ezplot(h,0,8); axis(0,8,-400,400);上述程序的运行结果为：DD0.20DO11L2PcjlAxb (iciOPdfi.曹 垄iWEE一012345678 t1+

15、求得系统的/中激响应为h(t) =sin(4t)e u(t)。4(sin(4 t) exp(t)/4 400 300 200 1000 -100 -200 -300 -400Q3-1.观察并分析系统函数极点位置对冲激响应时域特性的影响。分析：H(s)的极点与h(t)的关系如下:1右极点包于s平面的原点，H(s)=-,则h(t)=u(t),h(t)为单包阶跃响应。s若极点位于s平面的实轴上，则h(t)具有指数响应形式。若极点为负实数，则冲激响应是指数衰减形式；若极点为正实数，则对应的冲激响应是指数增长的形式。虚轴上的共腕极点给出等幅振荡，离原点越远，振荡频率越高。在左半平面的共腕极点对应于衰减振

16、荡。在右半平面的共腕极点对应于增幅振荡。4、已知连续时间系统的系统函数分别如下， 试用MATLAB画出其零极点分布图及相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数零点位置对冲激响应时域特性 的影响12(Ds 2s 17MATLAB程序如下: b=1; a=1 2 17; sys=tf(b,a); pzmap(sys); syms s t;H=sym(1/(sA2+2*s+17);h=ilaplace(H); ezplot(h,0,8); axis(0,8,-0.5,0.5);上述程序的运行结果为:III一-10 4JC 0 4 BN CR&fIAx匕 jitccrds.1.求得系统的/中激响应为

17、h(t) =-sin(4t)e u(t)。4s 8H (s)= -2s +2s+17MATLAB程序如下: b=1 8;a=1 2 17;sys=tf(b,a);pzmap(sys); syms s t;H=sym(s+8)/(sA2+2*s+17);h=ilaplace(H); ezplot(h,0,8); axis(0,8,-1,2);上述程序的运行结果为：-8-7-6-5-4-3-2-10Real Axis (seconds -1)Pole-Zero Map3 2 1 o-1-2 ?1 Sa noc XA vrapaa ml-3-41.求得系统的/中激响应为 h(t) =-(cos4t +7sin 4t)e u(t)。4s -8s2 2s 17(3)MATLAB程序如下:b=1 -8;a=1 2 17;sys=tf(b,a);pzmap(sys); syms s t;H=sym(s-8)/(sA2+2*s+17);h=ilaplace(H) ezplot(h,0,8); axis(0,8,-1,1); axis(0,8,-2,2);上述程序的运行结果为:Pole-Zero Map-4 -2-1012345678Real Axis (seconds -1)4