第一部分统计推断准备ppt课件

1、第一章第一章 统计推断预备统计推断预备0.预备知识0.1 大数定律与中心极限定理阐明大量随机景象平均结果的稳定性的一系列定理统称大数定律，而研讨独立随机变量的和的极限分布在什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。0.1.1车贝雪夫不等式设随机变量 有期望 和方差 ，那么对恣意 ，有2DPEED00.1.2大数定律定义：假设 随机变量序列，假设存在常数列 使得对恣意的 有 成立，那么称随机变量序列 服从大数定律.定理1贝努里大数定律设 是n重贝努里实验中事件A出现的次数，又A在每次实验中出现的概率为p0p0，使有使有 那么对恣意的那么对恣意的 ，有，有例例1.： 设设 为独立同分布的随机变

2、量序列，均服为独立同分布的随机变量序列，均服从参数为从参数为 的泊松分布的泊松分布 那么那么定理定理3辛钦大数定律设辛钦大数定律设 是一列独立同分布的是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在，随机变量，且数学期望存在，那么对恣意的那么对恣意的 有有12,.,.n ,1,2,.iDC i01111lim1nniiniiPEnn12,.,.n ,1,2,.iiEDi11lim1niniPn 12,.,.n 011lim1niniPan, 2 , 1,iCDaEii0.1.3.中心极限定理定理1林德贝格-勒维定理假设 是独立同分布的随机变量序列，且 那么随机变量 ，其中 的分布函数 对一切x，有：

3、即随机变量 渐近地服从规范正态分布。定理2德莫佛-拉普拉斯定理设 是n重贝努里实验中事件A出现的次数，而0p1是事件A在每次实验中出现的概率，那么 渐近的服从正态分布 ，其中q=1-p或2nnSnan12,.,.n 2,0,1,2,.kkEa Dk1nniiS nFx 2221limlimlim2txnnnnnnSnaFxPxPxedtnnn,N np npq221lim2txnnnpPxedtnpqn例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某车间有200台车床，独立任务，开工率为0.6，开工时

4、耗电各为1000瓦，问供电部门至少要供应这个车间多少电力才干使99.9%的概率保证这个车间不会由于供电缺乏而影响消费。例 4 ： 一 加 法 器 ， 同 时 收 到 2 0 个 噪 声 电 压 设他们是相互独立的，且在区间0，10上服从均匀分布的随机变量，记 ，求,1,2,.,20kUk 2 01kkUU105P U 1根本概念1.1总体与样本总体：研讨对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。个体：组成总体的每个单元。样本：就是n个相互独立且与总体有一样概率分布的随机变量 ，i=1，2，n，所组成的n维随机变量样本值：每一次详细的抽样所得的数据就是n个随机变量的值样本值用小写字母 表示。注：

5、样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一组确定的详细值。定义：假设随机变量 相互独立且每个 ，i=1，2，n，与总体 有一样的概率分布，那么称随机变量 为来自总体 的容量为n的简单随机样本，称 ，i=1，2，n为样本的第i个分量。假设 有分布密度 或分布函数 那么 称 是来自总体 或 的样本.i12,.,n 12,.,nx xxiif x F x12,.,n f x F xn,21n,211.2统计量定义：设 为总体 的一个样本， 为一个实值函数，假设T中 不包含任何未知参数，那么称 为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。例如：总体 ，a知， 未知， 为 的一个样本，那么 是统计

6、量，但 不是统计量。 1.3顺序统计量及阅历分布 1.3.1顺序统计量 设 为总体， 的一个样本，将其诸分量 ，i=1，2，n，按由小到大的次序重新陈列为 ，即 ，称 为总体的第k个顺序统计量次序统计量，特别 称为最小项统计量， 为最大项统计量。12,.,n 12,.,nT x xx12( ,.,)nT 2,N a212,.,n 21niia11niii(1)(2)( )(,.,)n ,1,2,.,kkn(1)( )n12,.,n (1)(2)( ).n例1.5：设有一个总体，它以等概率取0，1，2三个值，现从此总体中取容量为2的一个样本 ， 列出样本 一切能够取值情况和相应的次序统计量 的情

7、况。12,XX12,XX),()2()1(XX1.3.2阅历分布由给定的样本 定义一个函数，此函数的性质：1当样本固定时，作为x的函数是一个阶梯形的分布函数， 恰为样本分量不大于x的频率。2当x固定时，它是一个统计量，其分布由总体的分布所确定。 即 二项分布 称 为总体对应于样本 的阅历分布函数。)(),1()()1(, 1) 1,.,2 , 1(, 0)(nkknxnkxnkxxF12( ,.,)n *12,.,nnnFb n Fx 12( ,.,)n )(xFn)(xFn1.4常用的一些统计量1.4.1样本的分位数 设 为总体， 为样本， 为顺序统计量，定义 称 为样本的 分位数。当 =1

8、/2时，称 为样本的中位数。也用 表示 例1.6：假设 1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9， 那么 ？ 1.4.2.样本的极差 称为样本的极差 Fx12( ,.,)n (1)(2)( )(,.,)n *11111,1nnnnnnnnn *1/2em),.,(721),.,()7()2()1( 1nDn1.4.3样本分量的秩假设 ，那么称 的秩为j，记作 ，它表示样本第 个分量 ，处于顺序统计量中的位次。 1.4.4.样本矩设 为总体 取出的容量为n的样本，统计量 叫样本均值；统计量 叫样本方差而称 叫修正的样本方差；统计量 ，r =1，2，叫样本的r阶原点矩；统计量 ，r =1，2，叫

9、作样本的r阶中心矩。 kjkkrjkk12,.,n 11niin2211nniiSn22111niiSnnirirnB1)(1nirirnA1)(11.4.5二元总体的样本矩设 为二元随机变量， ， ， 为其样本，称 为 的边沿样本方差； 为 的边沿样本方差； 为样本的协方差； 为样本的相关系数。, 11, 22, ,nn 22111niiSn22211niiSn21211niiiSn1212SRS S2.常用统计量的抽样分布2.1顺序统计量的分布次序统计量2.1.1定义 设 是来自总体 的一个样本， 是该样本的一组察看值，将它按由小到大的次序陈列成 ，假设规定 的取值为 ， k=1，2，n，

10、那么称 为 的一组次序统计量，而称 为第k个次序统计量。见 1.3.1 2.1.2延续型总体次序统计量的分布仅给出结论定理2.1设总体 ， ， 为 的一个样本，那么第k个次序统计量 的概率密度函数为： 分布函数为： X12,.,nXXX(1)(2)().nxxx kx12,.,nx xx kX12,.,nXXX kX),()(,),2()1(nXXXX kX XF x f x 1!11 !kn kknfyF yF yfyknk 10!11 !F yn kkknFyuuduknk12,.,nXXX特别： 当k=1时，得样本极小值 的分布密度与分布函数为： 当k=n时，得样本极大值 的分布密度与分

11、布函数为：(1)X 111nfynFyfy 111nFyF y ( )nX 1nnfyn F yf y nnFyF y定理定理2.2 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为 ，概率密度函数为，概率密度函数为 ， 为为X的一个样本，那么第的一个样本，那么第k个次序统计量与个次序统计量与 第第r个次序统计量的结合概率密度函数为个次序统计量的结合概率密度函数为k45时，本书附表 中查不到，但可以利用注3求其近似值，即 由于 , 那么： 例如：求 ， ， 所以 2n 2P Xn 222nnXnPnn2Xnn0,1N 22nnnU 22nnnU20.051200.050.05,1.645UU20.051

12、201202 120 1.645145.53.2.2 t-分布定义：称随机变量 有t-分布，自在度为n，假设它有密度函数定理3.4 设X ，Y ，且X与Y相互独立， 那么T= .定义： 的上侧 分位数 ，即 注：当自在度 时， 的极限分布为规范正态分布 当n45时， 122121,2nnxfxxnnn 0,1N 2n /Xt nY n t n tnn t n tnU)()(ntdxxf3.2.3 F-分布定义：称随机变量 有F-分布，自在度为 ，假设它有密度定理3.5 设X ，Y 且X与Y相互独立，那么注：假设X ，那么1/X定义： 的上侧 分位数 ，即 ，注： =1/,m n 22122,0

13、,2 20,0mnmm nm nxnmxxm nf xBx 2n 2m,F n m,F m n,F m n,Fm n ,Fm nfx dx1,Fm n,Fn m),(/),(/nmFnXmYmnFmYnX3.2.4 查表1. 规范正态分布表：2. 分布表：3. 分布表：4. 分布表：0.0250.050.11.96,1.645,1.28UUU t n0.0250.05152.1315,101.8125tt 2n220.0250.051527.488,1018.307,F m n0.10.050.0110,92.42,10,93.14,10,95.26FFF0.90.9990.10.001111

14、128,20.4,10,100.1142,282.510,108.75FFFF3.3抽样分布定理定理4.6Fisher定理设总体 服从 ，为其子样，子样的平均值与方差，修正的样本方差分别记为 与 及 ，那么1 ， 2 3 与 或 独立推论：设总体 服从 ， 为其子样，那么2,N a12,.,n 2nS2S2,N an22222221111nniinSnSn2nS2S2,N a12,.,n 11naaTnnt nSS定理定理3.7 设设 与与 分别为取自分别为取自 ， 的两个样本，且这两个样本独立，的两个样本，且这两个样本独立，那么那么1. 2. 假设假设 ，那么，那么其中，其中，112,.,n

15、XXX21,.,nYY211,N 222,N 1212121212221211222211XYn nnnt nnnnnSnS12222212111211,11nniiiiSXXSYYnn) 1, 1(2121222221nnFSS定理定理3.8 柯赫伦柯赫伦cochran定理定理 变量分解定理设总变量分解定理设总体体 ， 为其子样，为其子样， 且且 为秩为为秩为 的关于的关于 的二次型，的二次型， 那么那么 ，l=1，k相互独立，且相互独立，且 ，l=1，2，k例例3.1：设总体：设总体 ， 为其子样，试证：为其子样，试证： 与与 相互独立相互独立,且分别服从且分别服从 ，20,1N12,.,

16、n 211,1nkililQQknlQln12,.,n lQ 2ln1kllnn0,1N12,.,n 222112312231323Q 222212312231 31233Q 22 21lQ4.总体分布的近似描画总体分布的近似描画 4.1格列汶科定理格列汶科定理 对恣意实数对恣意实数x，当，当 时，时， 格里汶科定理阐明：在几乎处处的意义下，当格里汶科定理阐明：在几乎处处的意义下，当n 充分大时，对充分大时，对x一致地有一致地有 Fx非常接近。由此可非常接近。由此可见当见当n较大时，用阅历分布函数估计总体分布函数是较大时，用阅历分布函数估计总体分布函数是合理有效的。合理有效的。n 10| )(

17、)(|suplimxFxFPnxn与)(xFn4.2 直方图 对于延续型随机变量，其分布函数或密度函数能完好地描画它的取值规律性，给出分布函数或密度函数是等价的。 直方图能反映总体密度曲线的大致外形。 设X的分布函数和密度函数分别用F(X),f(x)表示：当 很小时，有 阐明：密度函数在x处的值f(x)近似等于随机变量X落入含有x的小区间的概率除以小区间的长度。 概率可以用频率近似。 ,)()()()( )(limlim00 xxxXxPxxFxxFxFxfxx|x,)()(lim0 xxxXxPxfx 设来自X的样本观测值为 ， 调查其中每个值能否属于 看作一次实验，那么 即f(x)与单位长

18、度的频率近似相等，称单位长度的频率为频率密度。nxxx,.,21,(xxxxxxx,)(,.,21的频率这组值中属于区间（nxxxxf 编制频数分布表的普通步骤： 1.计算极差： 2.计算组距：组距=组上限-组下限 3.确定组限：选a略小于或等于 ， )1()(xxRn)1(x.,.,2 , 1),) 1(kiidadia例4.1 某厂消费一种25瓦的白炽灯泡，其光通量单位：流明用X表示，从这批灯泡中抽取容量为60的样本，进展察看得光通量数据如下： 216 203 197 208 206 209 206 208 202 221 206 213 218 207 203 202 194 203 2

19、02 193 203 213 211 198 213 208 204 206 204 206 208 209 213 203 206 207 196 201 208 207 213 208 210 208 211 214 220 211 203 216 224 211 209 218 214 219 211 221 211 218试编制频数分布表，并绘制频率密度直方图。解. 1.极差：R=224-193=31 2.计算组距：d=31/7=4.43 3.确定组范围： 190，195), 195，200), 200，205), 205，210), 210，215), 215，220), 220，2

20、25.5按光通量分组频数分布表按光通量分组频数频率密度(%)190, 195)20.67195，200)31200，205)124205，210)196.3210，215)144.7215，220) 62220，22541.3合计60频率密度直方图 (P.18) 图1.6频率密度分布曲线图 (P.19) 图1.75.杂例例5.1：在总体 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率。 例5.2：在总体 中取容量为5的样本 ，1求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1 的概率2求3求例5.3：求总体 的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 X12, 4N15,.