1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

1、X 2 1985 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分 10分，不计入总分. 一.(本题满分15分)本题共有5小题，每小题都给出代号为A , B, C, D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号 写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超 过一个的(不论是否都写在圆括号内)，一律得0分 (1)如果正方体ABCD-A B C D的棱长为a , (A) a a (A) (B) o 2 3 a a (C) (D) 4 6 5 (2) tgx =1 是x 二一二的 4 (A ) (A)必要条件

2、 (B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要的条件 (3)在下面给出的函数中， 哪一个函数既是区间(0二)上的增函数又 2 是以n为周期的偶函数？ (B ) (A) y = x2(x R). (B) y sin x | (x R) (C) y = cos2x(x R) (D) y = esin2x(x R) (4)极坐标方程=asin r(a 0)的图象是 (C ) 的体积是 (D) 3 3 3 3 那么四面体A -ABD (5)用1, 2, 3, 4, 5这五个数字，可以组成比 位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 (C) (D) (A) 96个 (B) (C) X .

3、(本题满分20分)本题共5小题，每一个小题满分4分只要求 直接写出结果) 求方程2sin(X右1解 集 答: k 兀 x| x +： (-1) -1 ,k Z. 6 (2)设 |a1，求 (B) arccosa arccos(-a)的值 + 答: (3)求曲线y2 = -16x 的焦点” 答: (0, 0) (4) 设(3x-1) 6=a3X6+a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+a0 求 a6+a5+a4+a3+a2 +a+a的值. 20000大，并且百 答：64 （或 26） （5）设函数f（x）的定义域是0,1，求函数f（x 2）的定义域. 答：卜1,1 三. （本题满分14

4、分） （1）解方程 Iog4（3x）+logo.25（3 + x） = log4（1 x） + log .25（2x+1）. 解：由原对数方程得 log4 3一x = logo.25,2x+1=log4 2x*1 , J -x丿 l3+x 丿 i3 + x 丿 解这个方程，得到X1=0,X2=7. 检验：x=7是增根，x=0是原方程的根+ (2)解不等式2x 5 x 1. 2x +5 色0 或xgO 2x 5 x2 2x1 L 解得刈一5*2. 四. （本题满分15分） 如图，设平面AC和BD相交于BG它们所成的一个二面角为45, P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点已知直线MC是直线PQ

5、在 平面BD内的射影， 并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为p , / CMQ= 4 r; TV =0,由此得到 (3-x)(2x 1), 1 (1 x)(3 x) 解: N +5 兰0 x 1 （000 900），线段PM的长为a，求线段PQ的长+(1) 解：自点P作平面BD的垂 线，垂足为R,由于直线 MQ是直线PQ在平面BD内 的射影，所以R在MQ上， 过R作BC的垂线，设垂足为N, 则PN!BC （三垂线定理）因此/ PNR是所给二面角的平面角, PNR=45 由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以/ PQR节 在 Rt PNF中, NR二PRctg45 所以 NR=PR

6、 2 2222 PR 2 1 、 a - PR MR - PR 厂二 PR (1 厂) sin2 日 sin2 6 又已知 0 0 v 900,所以 PR=asin二. 2 *1+sin 日 在 Rt PRQ中, PQ=PR丄二 asin丄 sin P sinPj1 +sin2 日 故线段PQ的长为一 ” sin +sin2 日 五. （本题满分15分） 设0为复平面的原点，Z和乙为复平面内的两动点，并且满足: Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值0和-0（ ）, 在Rt MNR中 MR=JR PR- sin v 所以/ 在 Rt PMFA (1) 2 （2） OZZ2的面积为定值S 求厶O

7、ZZ2的重心Z所对应的复数的模的最小值+解：设乙,Z2和Z对应的复数分 Y 3z =乙 z2 =(* r2)cosv (A -r2)isinn 于是 2 2 2 2 2 13z| =(* r2) cos J (A -r2) sin 二 =(口 - r2)2 cos2 v 4r1r2 cos2 v(R - r2 )2 sin2 r =(A r2)2 4 r1 r2 cos2 二 又知。显的面积为定值s及si恬mo-2），所以 1 2S r1r2sin 2 八 S,即 r1 r2 2 1 2 1 2 sin2r 2 2 , 2 8S COS V , 、2 由此，| 3z | = (口 - r2)

8、(口 - r2) 4Sctg v sin 26 2S时,|z|最小,且|z|最小值二2 .、Sctgn sin 2 3 六. （本题满分15分） 已知两点P（-2 , 2）, Q（0, 2）以及一条直线：L:y=x ,设长为,2 的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方 程.（要求把结果写成普通方程） 解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长2，所以可设点A 和B分别是（a, a）和（a + 1,a + 1），其中a为参数.别为Z1,Z2和Z,其中 A 彳1 乙=r (co日 +i sin e), , z2 =r2(co日 isin 0). O f 、 由于Z是厶O

9、ZZ2的重心，根据复 7 Z2 数加法的几何意义，则有 故当口 = 于是可得：直线PA的方程是 a -2 y-2 (x 2) (a 2) (1) a +2 直线QB的方程是 a 1 y-2 x (a 1) (2) a +1 1.当口 =1,即a =0时,直线 a 2 a 1 PA和QB平行， 无交点+ 2.当a = 0时，直线PA与 QB 相交，设交点为M(x,y)，由(2)式得 将上述两式代入(1)式，得 y _2少 _x _6& 2)整理得 x2 - y2 2x - 2y 8 =0 即 3x-y+2 (*) 8 8 当a=-2或a=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足

10、(*) 式. 所以(*)式即为所求动点的轨迹方程+ 注：考生没指出“ a=0”及“ a=-2或a=-1 ”时的情形不扣分 七. (本题满分14分) 设an1 2 .2 3 i n(n 1)(n =1,2 ) 2 (1) 证明不等式 込卫 对所有的正整数n都成立+ 2 2 (2) 设bn (n =1,2 ),用定义证明limbn. n(n +1) 宀 2y-2=(1 )x,a 1 a 1 x - y 2 x- y 2 3y -x -6 x - y 2 M X (1)证一：用数学归纳法+略, 证二：由不等式kk(k十二专对所有正整数k成立, 把它对k从1到n (n1)求和，得到 3 5 2n 1

11、- + -+ + - 2 2 2 又因12 n呼以及 对所有的正整数n都成立* (2)由(1)及bn的定义知 n 1 2n 对任意指定的正数要使bn -丄 J 只要使丄 S 即只要使 2 2n n 1 取N是1的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足 2 ； 2 ； 0 -1 V S 2 根据极限的定义，证得limbn 2 八. (本题满分12分) 设a,b是两个实数， A=(x,y)|x二n,y=n a+b,n 是整数, B=(x,y)|x=m,y=3m +15,m 是整数, 2 2 C=(x,y)|x +y 144, 3 5 2n 1 + + - 2 2 2 -(2n 1) 2 (

12、n 1) -2 因此不等n(n 1) 2 :a 2 (n 1) 2 1 2n 是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得 （1） An BM （表示空集）， （2） （ a,b） C 同时成立 解：如果实数a和b使得（1）成立，于是存在整数 m和n使得 2 （n,n a+b）=（m,3m+15）, 即：n = m, 2 、na + b=3m +15. 由此得出，存在整数n使得na+b=3n2+15, 或写成 n a+b-（3n 2+15）=0 这个等式表明点P（ a,b）在直线L： nx+y-（3n 2+15）=0上，记从原点 2 J2 到直线L的距离为d,于是d =3n15 =6（_2）_12 Jn2+1 2 71 ：2 彳 当且仅当