量子力学题库

1、?量子力学?题库一、 简做题1试写了德布罗意公式或德布罗意关系式,简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别表示为：其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来.等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长那么是描述波的特性的量.2简述玻恩关于波函数的统计解释,按这种解释,描写粒子的波是什么波答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度振幅绝对值的平方和在该点找到粒子的几率成正比.按这种解释,描写粒子的波是几率波.3根据量子力学中波函数的几率解释,说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别.答：根据量子力学中波函数的几率解释,由于粒子必定要在空间某

2、一点出现,所以粒子在空间各点出现的几率总和为 1,因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子状态不变,这是其他波动过程所没有的.4设描写粒子状态的函数可以写成Ci 1 C2 2,其中G和C2为复数,1和2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态.试说明式子 q 1 C2 2的含义,并指出在状态中测量体系的能量的可能值及其几率.答：C1 1 C2 2的含义是：当粒子处于 1和2的线性叠加态 时,粒子是既处于1态,又处于2态.或者说,当1和2是体系可能的状态时,它们的线性叠加态也是体系一个可能的状态

3、； 或者说,当体系处在态 时,体系局部地处于态1、2 中.在状态 中测量体系的能量的可能值为 Ei和E2,各自出现的几率为 q2和C225什么是定态定态有什么性质答：定态是指体系的能量有确定值的态.在定态中,所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化.6什么是全同性原理和泡利不相容原理两者的关系是什么答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变.泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.两者的关系是由全同性原理出发,推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对 称性,将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系,必然推出费米不相容原

4、理 7试简述波函数 的标准条件.答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性.8为什么表示力学量的算符必须是厄米算符答：由于所有力学量的数值都是实数.而表示力学量的算符的本征值是这个力学 量的可能值,所以表示力学量的算符的本征值必须是实数.厄米算符的本征值必 定是实数.所以表示力学量的算符必须是厄米算符.9请写出微扰理论适用条件的表达式答:Hmn匚 EnEoEm1,EoE n10试简述微扰论的根本思想.答：复杂的体系的哈密顿量 片分成直口与总两局部.启,是可求出精确解的,而 身可看成对 直,的微扰.只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量,逐级迭代,逐级逼近,就可得到接

5、近问题真实的近似解.11简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点,这种粒子所遵循的统计规律 是什么答：由电子、质子、中子这些自旋为 一的粒子以及自旋为 一的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函22数是反对称的,这类粒子服从 费米Fermi狄拉克Dirac 统计,称为 费米子.12通常情况下,无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态一般情况下,这种态所属的能级有什么特点答：束缚态,能级是分立的.13简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件,并举一例说明要求写出本征函数系.在这些态中,测量这两个算符对应的力学量时,两个测量值是否可以同时确定答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是

6、这两个算符对易.例如,BE 0,这两个算符有共同的完备本征函数系Ym,.14假设两个力学量的算符不对易,对这两个力学量同时进行测量时,一般地它们是否可以同时具有确定值它们的均方偏差之间有什么样的关系答：不可能同时具有确定值.它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系.15请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定那么.答：l l' l 116指出以下算符哪个是线性的,说明其理由.d2n4x2-;2 ;dx2k 1dx2不是线性算符n是线性算符17指出以下算符哪个是厄米算符,说明其理由18以下函数哪些是算符 £ 的本征函数,其本征值是什么 dx2 sin x , 3cosx , sin x

7、 cosx解：<(x：dx22)cd2x2不是'的本征函数.dx2d2 6dx x 一2 e edxex不是& 的本征函数,其对应的本征值为1. dxd2 . . d .D2 (sin x) (cos x) sin x dxdx2可见,sinx是 j 的本征函数,其对应的本征值为一 dx21.d23)- (3cosx) dx2d ,(3sin x) 3cosx (3cosx) dxd23cosx是鼻的本征函数,其对应的本征值为- dx1.d2(sin x、dcosx) (cosx sin x) sin x cosx dxcosx)sin xd2cosx是3的本征函数,其对

8、应的本征值为-dx21.19问以下算符是否是厄米算符:够解：1*(旗)2d* 一一 一1洌8x 2)d由于？x? ?x:Xpx不是厄米算符.* 111112魏？xX 2d21邠x 2d2l?xX 2d1 .1xPx ?x是厄米算符.220全同粒子体系的波函数应满足什么条件答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的,且它们的对称性不随时间 改变.二、 证实题1粒子在中央力场中运动,试证实L?x 角动量在x方向的分量是守恒量.证：由于粒子在势函数为 U.的中央力场中运动时,哈密顿算答是由于&与、有关而与r无关,且?x,B 0所以,?x,4 02试证：对于一维运动,设有两个波函数1

9、及2是对应于同一级量 E的解,那么1 22 1常数.其中,是对x的微商.2 d 2证：由于F Ux x E以,所以2m dx凑全微分得：122 J0积分得：122 1常数3试证实：一维运动的束缚态都是不简并的.证实：设1和2是对应于同一能级 E的不同本征态,那么 1 22 1常数.在特例下,令1 22 1 0,即由此得：1 C' 2所以1和2描述同一个态.4试在一维情况下证实哈密顿算符是厄米算符.证实：考虑一维情况dx2为厄密算符,2掰d为厄密算符,为实数声为厄密算符 :育=生+ 卡为厄密算符5轨道角动量的两个算符 W和4共同的正交归一化本征函数完备集为仆,n%八44取 £土

10、二4 土辽,试证实：£±%也是 百和工共同本征函数,对应本征值分别为： 巾+MG土中.证：忸£二0 以上匕卜&/.)二川+Wg力- 是i?的对应本征值为"1)的本征函数- 如是工：的对应本征值为 佃土 1方的本征函数6 .证实在定态中,几率流与时间无关 证：对于定态,可令可见J与t无关.7在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称：U( x) U(x),证实粒子的定态波函数具有确定的宇称.证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为2 d2(x) E (x)一与(x) U(x) 2 dx2将式中的*以(x)代换,得U( x) ( x) E ( x)利

11、用U( x) U (x),得2 d 22 ( x) U(x) ( x) E ( x)2 dx比拟、式可知,(x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数.o方程、由于它们描写的是同一个状态,因此(x)和(x)之间只能相差一个常数c可相互进行空间反演(xx)而得其对方,由经x x反演,可得,(x) c (x)由再经x反演,可得,反演步骤与上完全相同,即是完全等价的.(x) c(x)乘,可见,c2当c 1时,(x)(x)具有偶字称,当c 1时,(x)(x)具有奇宇称,当势场满足U(x) U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称.8证实氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

12、 证：电子的电流密度为在球极坐标中为 式中er、e、e为单位矢量nm中的r和局部是实数.Je J (2 r sinim2im2)ee mr sin可见,Jer Je 09如果算符？、？满足关系式？?？2?2? 2？3?3? 3?2证:(1?2 ?)?2?？3? (2? ?2 ?)10 证实：？x?y?z i证：由对易关系?x?y?y?x2i?z及对易关系?x?y上式两边乘?z ,得i ?2z11证实(1)SS3和A组成的正交归一系.证:1S(1)S1/2(S1z) 1/2(S2z) 1/2(S1z) 1/2 (S2z)1/2(S2z) 1/2(S2z) = 11/2(S2z) 1/2(S1z)

13、1/2 (S1z )1/2(S2z) = 01 .1/2 (S2z )1/2 (S2z )0 = 02同理可证其它的正交归一关系012对于无限深势阱中运动的粒子如下图证实并证实当n时上述结果与经典结论一致 解写出归一化波函数:(1)2 sin a先计算坐标平均值: 利用公式:xsin pxdxx cos pxdxxcos pxpsin px2p(2)xsin pxpcos px2p(3)计算均方根值用(x,2K 2 一一 -Hx x ,x以知,可计算 x利用公式x2 cos pxdx1 221x sin px _2 x cos px _3 sin PPP2 a122a222n在经典力学的一维无

14、限深势阱问题中,因粒子局限在(点的几率密度看作相同,由于总几率是1,几率密度故当n时二者相一致.13设q,p ih, f(q)是q的可微函数,证实下述各式:px(5)(6)0, a)范围中运动,各1-o a一维算符(1) q, p2 f (q)2hipf .(证实)根据题给的对易式及q, f(q) 0；(2) q, pf(q)p ih(fq pf)(证实)同前一论题(3) q,f(q)p2 2ihfp证实同前一题论据：p,p2f(q) h p2f 1i证实根据题给对易式外,另外应用对易式h _,(5) p, pf (q) ppf pi(证实)论据同(4):(6)p, f(q)p2 h f ip

15、2 i(证实)论据同(4):14设算符A, B与它们的对易式A, B都对易.证实甲法递推法,对第一公式左方,先将原来两项设法分裂成四项,分解出一个因式,再次分裂成六项,依次类推,可得待证式右方,步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后,得15证实和：|是厄密算符证实此题的算符可以先行简化,然后判定其性质是厄密算符,因此原来算符也是厄密的.另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：前式二说明题给的算符满足厄密算符定义.16定义A,垃 AB BA 反对易式证实：其中？,b?与A?, 口对易.证实第一式等号右方AB? ACB? B3A CBA 6AB 6BA ACB? 6As=第一式等号左方第

16、二式等号右方1?除船BA 1Bt?曲A§ BA因B与A, B?对易,RA A,a? e?b前式 bA? bBa?狄施17证实力学量A 不显含t的平均值对时间的二次微商为:2 d2dt2A,由 H?解根据力学量平均值的时间导数公式,假设力学量A不显含t,有dA 1 -q_qL/1)那么有:在特例下,A, H?(dt i将前式对时间求导,将等号右方看成为另一力学量.人田的平均值,iW 工1A,4,H?,A,H,H(2)dt i i此式遍乘2即得待证式.18试证实：一维运动的束缚态都是不简并的证实：设i和2是对应于同一能级E的不同本征态,那么1 22 1令122 10,即由此得：1 C1

17、2所以1和2描述同一个态.19证实泡利矩阵满足关系【证】20试在一维情况下证实哈密顿算符是厄米算符.证实：考虑一维情况上力为厄密算符,2加疗为厄密算符,P为实数为厄密算符 一a=室'货为厄密算符21轨道角动量的两个算符 宫和&共同的正交归一化本征函数完备集为 L ,取jtN.4-A-£±±4土/尸试证实：工土】K也是不和工共同本征函数,对应本征值分别为：+1旭仙士中.证：*声£二.到泰=4闵1M+现也%.',' 't九是W的对应本征值为,卜U的本征函数工土几是工工的对应本征值为海土乃的本征函数2222证实：描写全同

18、粒子体系的波函数的对称性不随时间改变证实：设t时刻波函数是对称的,用 S表示,由于H?是对称的,所以H? $在1时刻也是对称的,由知,在t时刻也是对称的,故在下一时刻的态函数： tS -jdt也是对称的以此类推,波函数在以后任意时刻都是对称的.同理可证,假设某一时刻波函数反对称,那么以后任一时刻的波函数都是反对称的.三、 计算题1由以下定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明1表示向外传播的球面波,2表示向内即向原点传播的球面波.解：Ji和J2只有r分量在球坐标中1e r sinr0 e r r11与同向.表示向外传播的球面波.可见,12与反向.表示向内(即向原点)传播的球面波.2 一粒子在一

19、维势场 中运动,求粒子的能级和对应的波函数.解：U (x)与t无关,是定态问题.其定态 S 一方程在各区域的具体形式为2 d222m dxi(x)U (x) 1(x) E 1(x)CL由于(1)、(3)方程中,由于2 d22m dx22 d22m dx2U(x) ,2(X)3(X)E 2(x)U(x) 3(x) E 3(x)要等式成立,必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去.方程(2)可变为d2_2(x) 2mEdx22(x)0令k22mE /曰 得其解为2(x) Asin kxBcoskx根据波函数的标准条件确定系数A, B,由连续性条件,得2(0)1(0)2(a) 3(a) (6B 0Asi

20、n kan2(x) Asin x a由归一化条件2a. 2 nA2 sin2 -xdx 1Ena msin x b anasin xdx mna22 2 2-2n2ma(n 1,2,3,)可见E是量子化的.对应于En的归一化的定态波函数为3求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置.令 d i(x)V dx1 2x22 xe 2解：(x)20,得由i(x)的表达式可知,x 0 , x 时,i (x) 0 o显然不是最大几率的位置.可见x 1是所求几率最大的位置4 一维谐振子处在基态(x)1(1) 势能的平均值U-22(2)动能的平均值T 卫-;2(3)动量的几率分布函数.解：(1) U 12x2

21、-227F 22、1或TE U-2 *(3) c(p) p(x) (x)dx动量几率分布函数为5 氢原子处在基态(r,)* (x) ? (x)dx1144(1)r的平均值;T? 2t ?2 *(5) c(p) p(r)(r,)d动量几率分布函数6设t=0时,粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能解：(x) Asin2 kx coskxA1(1 cos2kx)gcoskx可见,动量pn的可能值为02k2k2动能丛的可能值为02_222k_222kk2 22k2 222势能的平均值；r(3) 最可几半径；(4) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数.212o 0解：(1) r (r, ,

22、) d-不re r sin drd d-3 0 00d0(3) 电子出现在r+dr球壳内出现的几率为令 d39 0,ri0,2,r3 a 0dr当ri0, r2时,(r) 0为几率最小位置r a 0是最可几半径.212.1122 (r )(Sin )22r r r sinsin对应的几率n应为上述的A为归一化常数,可由归一化条件,得A 1/ .动量p的平均值为7设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力 学量的平均值.解：在此能量中,氢原子能量有确定值角动量平方有确定值为角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为4 '4其平均值为8试求

23、算符自ieix9的本征函数. dx解：F?的本征方程为ceFe"觊F的本征值9 设波函数x sinx ,求9x2x ?dxdx解：原式；x?xx?x；dx dx dx dx10证实：如果算符A?和8都是厄米的,那么及+ B?也是厄米的证:1*(A 的 2d1? 2dA? + B?也是厄米的11求L?P?x xELx?解：职能骐筑E以玳玳=012 求旦？ xLx ?区x> xLy ? i?z? xLz ?解：旦？ xLx 照发湾到科流=013求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和Lj的矩阵元-13- P rP斛：(Lx)pp () e(y?z z?y )ed14 求能量表象中,一维无

24、限深势阱的坐标与动量的矩阵元解：基矢：Unx J2sinn-x :a a目匕里：En对角儿：xmma 22 mxsin , a xdx20 aa当时,mn2 axmn- 0a(sin m x) x (sin)dx aa15求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元.16求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为j 二*2而 J 二*2i *T? T? *写成矩阵形式为17设一体系未受微扰作用时有两个能级:E01及E02,现在受到微扰H?的作用,微扰矩阵元为H12 H21 a, H11 H22 b； a、b都是实数.用微扰公式求能量至二级修正值.解：由微扰公式得得E01 H 11 bE02 H 22

25、b能量的二级修正值为 18计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率.解:Amk234esmk3 c3rmk由选择定那么1,知 2s1s是禁戒的故只需计算2p1s的几率r 21x21y212p 有三个状态,即210 ,211 ,21 1先计算z的矩阵元2 计算x的矩阵元z r cosx r sin cos rsin (eie i )2(3)计算y的矩阵元1i iy rsin sin rsin (e e )2i计算f19求线性谐振子偶极跃迁的选择定那么解:Amkxmkk,2 k11时,xmk 0即选择定那么为20 一维无限深势阱(0x a)中的粒子受到微扰作用,试求基态能级的一级修正.解：基态波

26、函数(零级近似)为能量一级修正为21求在自旋态i(Sz)中,§x和&的测不准关系: 2解：在Sz表象中i(Sz)、Sx、2Sy的矩阵表示分别为在i(Sz)态中2讨论：由sx、sy的对易关系Sx, Syi Sz要求(Sx)2( Sy)2_2_2(Sx) ( Sy)16在1(Sz)态中, 2(Sx)2( Sy)216可见式符合上式的要求.22 求 Sx - 0 1 及 Sy x 2 1 0 yi的本征值和所属的本征函数.0解：耳的久期方程为S?x的本征值为设对应于本征值-的本征函数为21/2a1b1由本征方程Sx1/21/22,行由归一化条件1/21/2即2 a1对应于本征值-的

27、本征函数为2设对应于本征值由本征方程ga11,21/2bi-的本征函数为 21/2a2 b21/2a21/2 , b2由归一化条件,得1a2.2b2对应于本征值-的本征函数为211/22同理可求得&的本征值为 -.其相应的本征函数分别为223 求自旋角动量(cos ,cos ,cos )方向的投影本征值和所属的本征函数.心的平均值在这些本征态中,测量.有哪些可能值这些可能值各以多大的几率出现是多少解：在.表象,茂的矩阵元为 其相应的久期方程为22即： 2 一cos2一(cos2cos2 ) 044所以8的本征值为a设对应于Sn -的本征函数的矩阵表小为i (Sn),那么22 b由归一化

28、条件,得1 cos a 2cos I cos2(1 cos )可见,心的可能值为 -2相应的几率为1 cos222cos cos2(1 cos )1 cos2同理可求得对应于Sn-的本征函数为2在此态中,Sz的可能值为相应的几率为21 cos22 cos21R21(r)Y11(,24设氢的状态是2,3R21(r)Y10(,2求轨道角动量Z分量？z和自旋角动量Z分量Sz的平均值;求总磁矩M? I?-S?2的z分量的平均值(用玻尔磁矩子表示).解：也可改写成从山的表达式中可看出？z的可能值为0相应的几率为1-44Sz的可能值为22相应的几率C1 2为 1-44zMzk-Sz21 4 - ( 4)2

29、5 一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个它们的波函数怎样用单粒子波函数构解：体系可能的状态有4个.设两个单粒子态为j ,那么体系可能的状态为26设体系处于CY11C2Y20 态,求(1)I2的可能测值及其平均值.(2)I?2的可能测值及相应的几率.(3)(解)(1)根据习惯的表示法Ym(,)表示角量子数为I,磁量子数m的,(声,|?)的共同本征函数,题材给的状态是一种I? ,I1的非本征态,在此态中去测量I?2,I?都只有不确定,下面假定C2)C1Y11C2Y20看出,当体系处在一态时,I的测值,处在丫20态时,Ix的测值为零

30、.?x在态中的平均值(2)又从波函数 看出,I也可以有两种值,体系处 Y11态中时俨测值为当体系处在丫20态时I2的测值为相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方:C212的并态中的平均值(3)关于在态中I?,K的可能测值可以从对称性考虑来确定,当使用直角坐标表不算符时,I?,用,I?有轮换对称性,由于在 态中I2可有二种量子数I 1,2所以将lz轮换I的结果,知道lx的可能测值只能是lx 2 , 0,2同理,ly的可能测值也是这此值ly 解：(1)二维无限深势阱中运动的粒子,其能级为22一,22、En1n2 -2 (ni n2 ) , ni , n21,2,3 a所以其基态能级为En ,而

31、第一激发态能级为E12 E21 ,(2)粒子的波函数为 , , 0,227设粒子处在宽度为a的无限深势阱中,求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示0解一维无限深方势阱的归一化波函数是：这波函数是能量本征函数,任何力学量 F的矩阵元是：此公式用于坐标矩阵：此式不适用于对角矩阵元,后者另行推导.当m=n时,得对角矩阵元:a . 2 m x , a xmm 万 ° Sin xdx -动量矩阵元(非对角的)2丁 2、d ( Dnm1) a (n m )2 n . m x n x , Pmms sin cos dxa i 0 a a28粒子在二维无限深势阱中运动,0,U(x,y)0 x a, 0

32、 y a 出其他区域 一第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度,假设是简并,是几重简并以下的线不知如何去掉所以1221,第一激发态是二重简并的29求一维谐振子的坐标及 Hamilton量在能量表象中的矩阵表示.提示：可利用公式:及解：线性谐振子的能级为2J = 0X2,- 一一, W对应的能量本征函数(C, 过利用公式S-1(2)30质量为的粒子在一维势场也0,0x 0,a中运动.设状态由波函数 a描述.求(1)粒子能量的可能值及相应的几率;(2)粒子的平均能量E; (3)写出状态在能量表象中的波函数.4(X) asin( ) cos2 ()而一维无限深势场中的能量本征函数为2 . as

33、"工金,对应的本征值为 a22 2Enn2 a2所以此题中,粒子的能量的可能值是Ei2,出现的几率均为1/2 .(2) Enn©|2 1(2 a29.22)2 a2)2 a2(也可由亘小"求出)(3)由(1)得,所以,在能量表象中,31 设在 宜.无微扰时的哈密顿算符表象中,鱼的矩阵表示为 其中 望海芭 试用微扰论求能级二级修正.解：在耳.表象中,32 求在状态Y2(Sz)10(,Y2(Sz)|1(中算符乂的本征值解：卫L?z邑所以,算符卫的本征值为-2求算符.133 厄密算符A和白是二行二列矩阵,且 即二月"1,随+荔=口1的本征值,2在A表象下求算符

34、 良官的矩阵表示解：1:才'=自'=1设N的本征值为上,本征函数为 可,那么 ,人二一二1又一一一 一纪=1大=±1同理算符A *的本征值也为土 1.2在A表象,算符 工的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值,即1 0、L.设利用,0 %、4° Bb为厄密算符B+ = B,0 % J.EJ即 E . %.J 二如二七;ir 0 % J o %_ 又印二114 口 乂屈0 2二1取：氏I三1二编341粒子在二维无限深方势阱0,:r:请写出能级和能量本征函数；2加上微扰H 'xy ,求最低能级的一级微扰修正.2 2解：1无微扰时,e22 2n2 n；2 a

35、22最低能级为基态能级Eno基态非简并,所以35试在邑为对角的表象中,1求国的本征值和所属的本征函数；2在&的3在Sx的本征值为-的本征态中,2本征值为-的本征态中,求Sy的平均值;2y测Sy的可能值及相应的几率.解：1设Sx的本征态及所属的本征值为a和,那么由此可得：,a2 b22由1 得：a2 b2 12时,a b忑,2国的本征值为 11的本征态为i4122.21所以,Sy 1 Sy10223将苣的本征值 一的本征态展开为:x2两边相等,得所以,当Sy 5时几率| A2 1当Sy时几率|B2 -y22x236 (1)证实(x) Aexp( )是 H 2dx2x2的一个本征函数并求出

36、相应的本征值；2求x在x态中的平均值即加=-q+号如F解：FW 是H的本征函数.本征值 五=137 一维谐振子在£二0时的归一化波函数为所描写的态中它炽= 步/工+曲式6十2通 式中,心是谐振子的能量本征函数,求1q的数值；2在好.,0态中能量的可能值,相应的概率及平均值；3时系统的波函数 .解1.,归一化,x,= h 足?.2 4- 15；15； 时,=%ax-以应.=£凡%吕造'所以：,匕由工,0,£为轨道的角动1AFA八38体系的能量算符为:比+叫,其中量算符.视上项为微扰项,求能级至二级近似值.计算过程中可用公式:无口的£,麻二 / 收

37、+制)? 一 幽+1)掰 _ 1)一 J(y 一网?+ w? +1) 制 +1 ：精确解为本征函数本征能量,"："一' 按微扰论可一伽| J一利用了公式 能量二级修正为在二级近似下39| (x)32 | Ul(x) C2 | U2(x),求C2的值解：由|(x)的归一化条件得：1=(x) | (x) =3 IC2I2,所以,C21或C2-2240求在球谐函数Ym(,)所描述的态中,力学量 Lx和乌的平均值.解：由于！?Ym m Ym所以,Q - Y*n(L?yL?z 2&)Ymd 1同理,LZZ i 8另解：令L? 2 R, L? L?x i?y,得?x 1(L?l?), L?y ?L? L