人教版高中数学必修一《集合的基本运算》学案

1、1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标1?理解两个集合的弁集与交集的含义，会求两个简单集合的弁集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、弁集的性质解决有关问题.知迟挠理 自主学习知识点一弁集的概念弁集的三种语言表示：(1) 文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.符号语言：AU B = x|x? A,或x? B.图形语言；如图所7K .tX%，彩'思考 " x ? A或x ? B”包含哪几种情况？(2) 集合A UB的元素个数是否等于集合 A与集合B的元素个数和？答

2、(1) "x? A或x? B”这一条件包括下列三种情况：x? A,但x?B; x? B,但x?A; x?A,且x? B.用Venn图表示如图所示.) B ) C A ( 勿('0 8 )世毋 H rGf? (11x54 vE Ajl rEB(2)不等于，A UB的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和.知识点二交集的概念交集的三种语言表示：文字语言：由属于集合 A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.符号语言：AnB = x|x? A,且x? B.(3)图形语言：如图所7K .1Tt.J思考（1）当两个集合没有公共元素时，这两个集合就没有交集吗(2)对于A

3、 nB= ?,存在哪几种可能的情况？答(1)当两个集合没有公共元素时，这两个集合的交集为空集(2)存在三种情况：集合A, B均为空集；集合A, B中有一个是空集；集合A, B均为非空集，但无相同元素知识点三弁集与交集的运算性质弁集的运算性质交集的运算性质AUB=BUAAnB =BnAAU A= AA nA = AAU ? = Aa n?=?A? B? A U B = BA? B? A n B = A重点宪破题型探究题型一弁集及其运算例 1 (1)设集合 M =4,5,6,8,集合 N= 3,5,7,8，那么 M UN 等于()A.3,4,5,6,7,8B.5,8C.3,5,7,8D.4,5,6

4、,8已知集合P = x|xv3, Q= x 1< xw4,那么PUQ等于(A. x| -1w xv 3B. x| - 1w x<4C.x|x w 4D. x|x > 1答案(1)A(2)C解析(1)由定义知 M UN= 3,4,5,6,7,8.(2)在数轴上表示两个集合，如图r Q-3 AJt反思与感悟解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合.若是用列举法表示的数集，可以根据弁集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪训练 1 已知集合 A= x|(x 1)

5、(x+ 2) = 0; B = x|(x+ 2)(x - 3) = 0,则集合 A UB 是A. 1,2,3B. 1 , 2,3C.1 , 2,3D.1 , 2, 3答案C解析？?？ A 1，- 2, B = - 2,3,? AUB=1 , -2,3.题型二交集及其运算例 2 设集合 M = m? Z|-3<m<2 , N= n? Z|- 1< n< 3,贝 U M n N 等于()A.0,1 B. - 1,0,1C.0,1,2D. - 1,0,1,2若集合 A = x|1W xw 3, B= x|x>2,则 An B 等于()A. x|2<x < 3

6、B. x|x> 1C. x|2 < x<3D. x|x>2答案(1)B(2)A解析(1)由已知得 M = - 2,- 1,0,1, N= - 1,0,1,2,3,所以 MnN= - 1,0,1.故选 B.(2)结合数轴分析12可得 A n B= x|2<x < 3.跟踪训练 2 (1)设集合 A= x|x? N , x< 4 , B= x|x? N , x>1,贝 U A nB=.集合 A = x|x> 2 或一 2<x< 0 , B = x|0<x W2 或 x> 5,贝 U A n B =.答案(1)2,3,4(

7、2) x|x >5 或 x= 2解析(1)因为 A= x|x? N , x< 4 = 0,1,2,3,4 , B= x|x? N , x>1,所以 A nB = 2,3,4. (2)A nB = x|x> 5 或 x= 2.题型三 已知集合的交集、弁集求参数例3已知集合 A = x|2awx< a + 3, B = x|xv1,或x>5,若 AnB= ?,求实数 a的取 值范围.解由AnB = ?,(1)若 A= ?，有 2a>a + 3, ? a>3.若AM?,如下图：2a> - 1,1 a + 3< 5,解得一aw 2.2a<

8、; a + 3,.若出现参综上所述，a的取值范围是a|-才waw 2,或a> 3.反思与感悟1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解数应注意分类讨论，最后要归纳总结?2?建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证?跟踪训练3设集合 M = x| 3V xv 7 , N = x|2x+ k< 0,若M n N丰？，则实数k的取值 范围为答案kw 6k解析 因为 N = x|2x + k< 0 = x|x < 2,k且 M n N 工 ？ ，所以 > 3? kw6. 2例 4 设集合 A = x

9、|x2x2 = 0, B= x|x2 + x+ a= 0, 若 AU B= A, 求实数 a 的取值范围解 A= x|x2 x2 = 0 = 1,2 , B 是关于 x 的方程 x2 + x+ a = 0 的解集 ?/ A U B= A,? B? A.A = 1,2工 ?, ? B = ?，或B 工 ?.当B= ?时，关于x的方程x2+ x+ a = 0无实数解，则有 A=1 4a<0 ,即口 a>-4当BM ?时，关于x的方程x2+ x+ a = 0有实数解？1若B中仅有一个元素，则A= 0,即口 a =-,41 111,2,则一 1和2是关于x的方程x2 + x+ a= 0的解

10、,止匕时 B = x|x2+ x+ 4= 0 = 一八.? B不是A的子集，即a= 4不合题意？若 B 中含有两个元素，则必有B= 1 + 2= 1,1 X 2= a,1 = 1,a =2.?1 工 1, ?此种情况不合题意1AnB = A （或AUB= A）转化为集合之间的综上可得，实数a 的取值范围是ala：反思与感悟1. 通过深刻理解集合的表示方法，把关系 A? B （或 B? A） , 从而把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题，这种思想称为化归思想，是数学中常用的思想方法之一2.解本题时，特别容易出现的错误是遗漏了B= ?的情形，其原因是对B? A 的理解不够充分对于B?

11、A,当A十？时，则有B = ?,或B丰？.避免出错的方法是培养利用分类讨论的数学思想方法的习惯和注意经验的积累？跟踪训练 4 设集合 A= x|x2 3x+ 2 = 0,集合 B= x|2x2 ax+ 2= 0,若 AUB= A,求实 数 a 的取值范围.解?/ AUB= A, ? B? A.又 A= x|x2 3x+ 2 = 0 = 1,2,若1 ? B,贝U 2- a + 2 = 0,得a = 4,此时B = 1 ? A符合题意.若 2? B,贝 U 2X 22 2a + 2= 0,得a= 5,止匕时B= 2 ,八不合题意，故a = 5舍去.若 B= ?，贝U a2 16<0 ,得4

12、<a<4 ,止匕时B? A.综上所述a的取值范围为一 4<a < 4.对集合中代表元素含义理解错误致误例 5 设集合 A= (x, y)|x 2y = 1,集合 B= (x, y)|x+ y= 2,则 An B 等于(A.?B.351C.(3, 3)(2)解方程组y= x2 2x 3,y=x2 + 2x +13,51D. x= 3, y = 3(2)已知集合 A= y|y= x2 2x 3, x? R, B = y|y=- x2 + 2x+ 13, x? R,求 AnB.x 2y =x= 3,错解(1)解方程组1故选D.x= 4,y= 5所以 A nB= 5.y= 5.

13、1y= 3,x2y= 1,正解 (1)由解得x+ y= 2,51即 AnB= (-, 3).故选C.由题意可知集合A,B分别是二次函数y=X2-2X-3和y=x2+2x+ 13的y的取值集合A= y|y= (x 1)2 4, x? R = y|y> 4, y? R,B = y|y= (x 1)2 +14, x?R =y|yw14, y?R.因此，An B= y| 4W yw 14, y? R.错误原因纠错心得对集合的代表元素理解错误，第(1)题中代表元素为(x , y),对应集合为点集；第(2)题中代表兀素为y，表示的是y的 取值范围，对立集合为数集在有关集合运算，特别是描述法表示的集合

14、运算中，要正确理解式子的意义，解题时应注意区分是数集还是点集，对于数集还应弄清代表兀素是自变量x,还是因变量y,从而确止是自变量的范 围还是因变量的范围.易错警示跟踪训练 5(1)设集合 A = y|y= x2 2x + 3,x? R , B = y|y=- x2 + 2x + 10,x? R,求 AUB;3设集合 A = (x, y)|y= x+ 1 , x? R,集合 B= (x , y)|y = x2 + 2x+ 4 , x? R,求 AnB.解(1)两个集合表示的都是y的取值范围，?/A = y|y= x2 2x+ 3, x? R = y|y>2 , B= y|y =- x2+

15、2x+ 10 , x? R = y|y< 11,? AU B=R.(2)A n B =(x ,y)|y = x+ 1, x?R n(x , y)|3y= - x2 + 2x+ 3 , x? Ry=x+1,=(x，化/+ 2X+ 3 = (2, 2).4r当堂检测自查自纠1?若集合 A= 0,1,2,3 , B = 1,2,4,则集合 A UB 等于(A.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.1,2答案AD.0解析 集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2,因此，AU B共含有5个元素.故选A.2?已知集合 A = 0,2,4,6 , B = 2,4,8,16，贝 U A

16、n B 等于(B.4D.2,4A.2C.0,2,4,6,8,16答案D解析观察集合A, B,可得集合A, B的全部公共元素是2,4,所以AA B= 2,4.3?设集合 A= x| 1 WxW2, B = x|OWx<4,贝 U A nB 等于（）A. x|0 w xw2B. x|1 w xw2C.x|O W xw4D. x|1 w xw4答案A解析在数轴上表示出集合 A与B,如图.则由交集的定义可得A nB= x|0w xw2.4 .已知集合 P = y|y= x2+ 1, x? R , Q = y|y= 5 x2, x? R,贝 y PU Q =答案R 解析 因为 P = y|y= x

17、2 + 1 , x? R = y|y> 1, Q = y|y= 5 x2, x? R = y|y w5,所以 P U Q =R.5 .若集合A = x|x2- 2x- 3 = 0,集合B = x|ax - 2= 0,且AnB= B,则由实数a组成的集合 C =.2答案 2,0, §解析 由 A = x|x2 2x 3= 0,得 A= 1,3.因为A nB= B,所以B? A.当 BM ?时，有 B= - 1或 B= 3.当 B= 1时，由 ax( 1) - 2 = 0,得 a =- 2;2当 B= 3时，由 a x3 2 = 0,得 a = 3.当B= ?时，方程ax 2 =

18、0无解，得a= 0.故由实数a组成的集合C= 2,0, |.课堂小结 11 .对弁集、交集概念的理解(1)对于弁集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“ x? A,或x? B”这一条件，包括下列三种情况：x? A但x?B;x? B但x?A; x? A且x? B.因此，A U B是由所有至少属于 A、B两者之一的元素组成的集合2 2) AnB中的元素是“所有”属于集合 A且属于集合B的元素，而不是部分.特别地，当集 合A和集合 B没有公共元素时，不能说 A与B没有交集，而是 AHB = ?.2?集合的交、弁运算中的注意事项“交”、“并”定义求

19、解，但要注意集合(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的元素的互异性？(2)对于元素个数无限的集合，进行交、弁运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到？方课时精练/第用纠心训练检测一，选择题1 .设集合 A= 1,0, 2, B=x|/x-6=0,则 AU B 等（）A. 2B. 2,3C. 1，0, 2D. 1，0,2,3答案D解析 因为 A= 1,0, - 2 , B= x|x2 x 6= 0 = 2,3,所以 A UB= 1,0, 2,3.故 选D.2 .已知集合M =x| 一KxW1 , x? Z, N = x|x2= x,贝 V M HN 等于（）A.1B

20、. 1,1C.0,1D. 1,0,1答案C解析 由已知得 M = 1,0,1 , N= 0,1,所以M H N= 0,1,故选C.3 .已知集合 M = 0,1,2,3,4 , N = 1,3,5 , P = M H N,则 P 的子集共有 （）A.2个 B.4个 C.6个 D.8个答案B解析由已知得P= M HN= 1,3,? P的子集有22= 4个.4 .已知集合 M = x| 3<x< 5 , N= x|x< 5 或 x>5，贝 U M U N 等于（）A. x|x< 5 或 x> 3B. x| 5<x<5C. x| 3<x<5

21、D. x|x< 3 或 x>5答案A5.已知集合M = 0,1,2 , N =xX= 2a, a? M,贝 U M H N 等于（A.0B.0,1C.1,2D.0,2答案D 解析 N= x|x= 2a, a? M = 0,2,4,所以 M nN= 0,2.故选 D.6喏集合 A= (x, y)|4x + y = 6 , B= (x, y)|3x+ 2y= 7,则 A nB 等于()A. x= 1 或 x= 2B.1,2C.(1,2)D.(1,2)答案C解析由题意可知两个集合都是点集，因此只有C选项正确.7?设M , P是两个非空集合，定义 M与P的差集为 M P = x|x? M且

22、x?P,贝UP - (M P)等于()A.P B.M nP C.M UP D.MP.故选A.解析 方法一当M nPM?时，如图所示，由 Venn图知M P为图 形中的 阴影部分，贝UP - (M P)显然为P.当 M nP = ?时，M P= M ,贝 y P (M P)= P M = x|x? P 且x?M =P.综上所述,应选A.方法二 令 M = 0,1,2,3 , P = - 1,1,2,依题意得 M P = 0,3 , P - (M - P)= 1,1,2 , ? P- (M - P)=二、填空题8 .已知集合 A = 3,2a, B= a, b.若 AnB= 2,贝 U AU B=

23、.答案1,2,3解析 因为 AnB= 2,所以 2a= 2,所以 a= 1, b= 2,故 AUB = 1,2,3.9 .满足1,3 UA = 1,3,5的集合A的个数是.答案4解析 由1,3 U A= 1,3,5知，集合A中至少含有元素5,故A可为，1,5 , 3,5 , 1,3,5,共4个.10 .已知集合 P= y|y= x2+ 1, x? R, Q= y|y = x2+ 2x, x? R,则集合 P nQ =答案y|y> 1解析 易知 P = y|y > 1, Q = y|y> 1,故 P nQ= y|y> 1.三、解答题11 .已知集合 A= x| 2< xw5, B = x|2a< x< a+ 3,若A UB = A,求实数a的取值范围 解?/ AUB = A,g？ A.若 B= ?时，2a>a+ 3,即口 a>