湖南省岳阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

1、湖南省岳阳市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。A ， 一1一1 .已知实数集R,集合A x|1 x 3,集合B x|y ，则A CrB ().x 2A. x|1 x 2 B. x|1 x 3 C. x|2 x 3 d. x|1 x 2【答案】A【解析】【分析】，x 2 0可得集合B,求出补集CrB,再求出ACrB即可.【详解】由 x-2 0,得 x 2,即 B (2,),所以 CrB (,2,所以 ACrB(1,2.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.2.

2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(珀现图B. 24D. 24 3A. 24C. 24 2【答案】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积【详解】由三视图可知，该几何体为边长为 2正方体ABCD ABC D挖去一个以B为球心以2为半径球体的-,812如图，故其表面积为 24 3422 24,8故选：B.“cf【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆

3、台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积 与底面圆的面积之和.乙3 .已知复数Zi 6 8i , Z2 i ,则一()Z2A. 8 6iB. 8 6iC.8 6iD.8 6i【答案】B【解析】分析：利用i21的恒等式，将分子、分母同时乘以 i ,化简整理得 亘 8 6iZ24 6 8i 6i 8i2 ° c详斛： 2- 8 6i ,故选Bz2i i点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意1符号的正、负问题义、复数的模、共轲复数以及复数的乘除运算，在运算时注意4 .已知全集 U R ,集合 A xx

4、1,B x1x2,则 eUAIB （A. x1 x 2 B. x 1 x 2 C. x 1 x 1D. x x 1【答案】B【解析】【分析】直接利用集合的基本运算求解即可.【详解】解：全集U R ,集合A xx 1 , B x 1 x 2 ,eu A x |x 1则 eUA I B x|x圉 I x| 1 x秀2x|1 x?2 ,故选：B -【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.uuv urnv5 .已知菱形 ABCD的边长为2, ABC 60 ,则BD CD （）A. 4B. 6C. 273D. 473【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结

5、果.【详解】如图所示,2菱形形ABCD的边长为2, ABC 60 ,C 120 , BD2 22 22 2 2 2 cos120 12 ,BD 273 ,且 BDC 30 ,273 26,uur uuur uuuruuirBD CD | BD | |CD | cos30故选B.【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题x 16.已知集合A x 0 ,B 1,0,1，则AI B等于（）x 2A. x 1 x 1 B,1,0,1C.1,0D. 0,1【答案】C【解析】【分析】先化简集合A ,再与集合B求交集.【详解】x 1因为 A x0 x 2 x 1 , B 1,0

6、,1 , x 2所以A B 1,0 .故选：C【点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题7.设 a log2 3, b log 4 6, c 5 0.1 ,则（）A. a b cB. bac C. cabD. cba【答案】A【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底，利用对数函数单调性可比较a, b，再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】a 10g23 1,2 , b log4 6 10g2 V61,log 23 , c 50.10,1 ,因此 a b c,故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题.8,定义在二上的

7、函数二二M皿满足匚EX二产1，且口二口（二一D为奇函数，则口二二任）的图象可能【解析】【分析】 根据二二匚«口-上：为奇函数，得到函数关于 仪酊中心对称，排除二二，计算山05）1 巡排除二，得到答案.【详解】 二二二（n彳¥】为奇函数，即二gn 十力二一一：！ D，函数关于仃小）中心对称，排除二二.匚口切生二；I二位，排除二 故选：二.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于冏中心对称是解题的关键9.我国古代数学著作九章算术有如下问题:今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍？ ”意思是： 今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以

8、后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（结果采取 只入不舍”的原则取整数，相关数据:lg3 0.4771, lg 20.3010)A. 2B. 3C.D.【解析】【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得:12n 2n 1-1 ,解出【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为ann 13 2,bn 1 2n据题意得:3 12nTT22n 152 1解得2n= 12,本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.设等比数列 an的前n项和为Sn

9、,则招 0”是到021 0”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前 n项和公式，判断出正确选项 . 【详解】（2021/2021 1 q ，_ 1 q由于数列 an是等比数列，所以 S2021 S1 -一，由于 一- 0,所以1 q1 qa1 0S2021 0,故 d 0”是 5021 0”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n项和公式，属于基础题.211.若x表示不超过x的最大整数（如2.52, 44,2.53）,已知a 7 10 , n a,*bn 3n

10、 103n 1 n N ,n 2 ,则 b2019（）A. 2B. 5C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】求出6, b2, b3, b4, b5, b6,判断出bn是一个以周期为6的周期数列，求出即可. 【详解】2 n*解：an7 10 .b1=a1，bn=an 10an1（n N, n 2）,20, - ,200, “, , a= 2= bi, a2= 7 = 28 , b2=28 10 2= 8,同理可得：a3= 285,b3= 5；a4= 2857,b4= 7;a5= 28571,b5=1.a6= 285714,b6= 4 ；a7= 2857142 ,bn 6= bv故bn是一个以

11、周期为 6的周期数列,则 b2019= b6 336 3= 4= 5.故选：B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.12 .港珠澳大桥于 2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ,现对大桥某路段上 1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图（如图） ，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间85, 90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A. 300, 0.25 B. 300, 0.35 C. 60, 0.25D. 60, 0.35【答案】

12、B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间85,90的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90km/ h的频率.【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间85,90的频率为0.06 5 0.3,.在此路段上汽车行驶速度在区间85,90的车辆数为：0.3 1000 300行驶速度超过90km/h的频率为：0.05 0.02 5 0.35.故选：B.【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点

13、P的坐标，则点P落在圆x2 y2 19内的概率为入 11【答案】36【解析】连续掷两次骰子共有6 6 36种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解由题意知，连续掷两次骰子共有6 6 36种结果,而满足条件的结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)共有11种结果，根据古典概型概率公式,一一 1136可得所求概率P 一.故答案为:【点睛】11362 , c 2 V3 , cos A ,则2sin A本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题14 .设 ABC

14、的内角A, B,C的对边分别为a , b , c .若ab 【答案】2或4【解析】3试题分析：由cosA ，则可运用同角三角函数的平方关系:2已知两边及其对角，求角 C .用正弦定理；a c.八 csin A2几2 百c “。“”。，,sinC ,C 60 或 120sin AsinCa 22则；A 300,C 600或 1200, B 900或300，可得 b 2或4 .考点：运用正弦定理解三角形.（注意多解的情况判断）15.已知函数 f (x) Asin( x )0,0,| | 的部分图象如图所示，则 f 0的值为2【解析】【分析】由图可得f（x）的周期、振幅,即可得A,5,再将（,2）代

15、入可解得，进一步求得解析式及f 0 .12由图可得3-T 45122即 2,又吟）2,即 2sin(2-2k 2T,所以f(x) 32sin(2xf(0)2sin( -)3.故答案为:.3本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、r r r r16.已知向量a,b满足a br rag 2a计算等能力,r3,则a道中档题首先根据向量的数量积的运算律求出r2 a ,再根据解：因为ag 2ab 3 r 2 r r所以2aag) 3r r又a81所以a2 1r "所以a Qa 1故答案为：1【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明

16、过程或演算步骤。17 设函数 f(x) sin 2x cos2 x T3sinxcosx.6(1)若|x| 求函数f(x)的值域;4(2)设A, B,C 为 VABC的三个内角，若f A 5,cos(A C)E3 ,求 cosC 的值;221423 314?3sin xcosx ,利用三角恒等变换转化为:cos(A C)5 314利用两角和与差的余弦公式求解,(1)f (x)旦in2x 1cos2x s 3sin2x, 222215【答案】(1) 2 , 2 (2) cosC【解析】【分析】2 (1)将 f(x) sin 2x cos x61 f x 2sin 2x -,再根据正弦函数的性质求

17、解,62,一 A5 一 .一 ，(2)根据f ,得sin A 1,又A为VABC的内角，得到 A ,再根据、3 sin 2x-1-.cos2x - 2sin2x 62263Q|x| 2x 43632 阴 f (x) 5，1 5即f(x)的值域为 J3,一；2 2sin 2x 1,26A 5.(2)由 f ,得 sin A 1 ,226又A为VABC的内角，所以 A , 3又因为在VABC中，cos(A C)5.314所以 sin(A C)1114'所以 cosC cos A C 31八 、3八3cos(A C)万 sin(A C)3、314【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性

18、质，还考查了运算求解的能力，属于中档题,18.以平面直角坐标系 xOy的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单C2-x cos2位，建立极坐标系，已知曲线C1 : sin 。2 ,曲线C2 :(为参数)，求曲线C1,4y sin交点的直角坐标.【答案】1, 1【解析】【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可【详解】因为 sin x/2,所以 sin cos 2 ,所以曲线Ci的直角坐标方程为x y 2 0.2,x cos2/口 x 1 2sin由，得，y siny sin所以曲线C2的普通方程为x 1 2y2,y 1.1.xy202由2 ，得 2

19、y y 3 0,x12y一一 .3所以 yi1,y2-(舍)，所以Xi1,所以曲线Ci, C2的交点坐标为1, 1 .本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题219.已知抛物线C : y 2pxp 0,直线y X 1与C交于AB两点，且| AB 8.(1)求p的值;(2)如图，过原点 O的直线l与抛物线C交于点h ,过点h作y轴的垂线交抛物线H于点N ,证明：直线MN过定点.【答案】(1) p 2 ； (2)见解析(1)联立直线和抛物线2px,消去x可得x 12y 2py 2py1y22p , y1y22p ，再代入弦长公式计算即可(2)由(1

20、)可得 y2 4x1 2设 Mqyo,y0)计算直线OM的方程为4 y x, y0代入x1求出Yh4y0即可求出4Yn 一，再代入抛物线方程 y04x ,求出N(2 , y04、 B -),最后计算直线 y0MN的斜率,求出直线MN的方程，化简可得到恒过的定点(1)由2 px,消去x可得y2x 12py2p 0,设 A x1, y1B x2,y2 ，则 Y1 Y22py1y22p .ABC2) Y1 y2 2 4%丫2 V2j4p2 8P 8,解得p 2或p4(舍去),2.(2)证明：由(1)可得 y2 4x,设 M (- y2,yo)所以直线om的方程为y当x 1时，yH4,贝U yN yo

21、代入抛物线方程 y4x,可得Xn所以直线MN的斜率k4yoy24y2 44yo4y01 2直线MN的方程为y yo T0二(x二yo ),yo 444yo/整理可得y x 1 ,故直线 mn过定点1Q .yo 4【点睛】本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题.2o.已知数列an是各项均为正数的等比数列 (n N*) , a1 2,且2阚，a3, 3a2成等差数列.(I)求数列an的通项公式；1 111、 一， 八(n)设bn log 2 an , Sn为数列bn的刖n项和，记Tn 丁 W m,证明：1 Tn

22、2 .S1 S2 S3Sn【答案】(i) an 2n, n N* ； (n)见解析【解析】【分析】(I)由a1 2,且2a1，a3,3a2成等差数列，可求得 q,从而可得本题答案；1(II )化简求得bn ,然后求得 了，再用裂项相消法求 Tn,即可得到本题答案.Sn(I)因为数列 an是各项均为正数的等比数列a12 ,可设公比为q, q 0 ,又2a1，a3,3a2成等差数列, 所以 2a3 2a 3a2，即 2 2q2 4 3 2q ,解得 q= 2 或 q -(舍去)，则 an aqn 1 2n, n N* ;2(n)证明：bn log2an log2 2n n,1 12- 11Sn-n

23、(n1)，1-2 ，2 Snn(n1) nn 1T 111111111 、1 、贝U Tn 2(1) 2(1 )S1s2GSn 223nn1n1'一, 111因为0 1 ,所以1 2 12n 1 2n 1即 1 Tn 2.【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.21,设函数 f (x) x 3 , g(x) 2x 1 .(1)解不等式f (x) g(x)；(2)若 2f(x) g(x)ax 4对任意白实数x恒成立，求a的取值范围.2，【答案】(1)(, 3) (4,) ； (2)( 1,4.【解析】试题分析：(

24、1)将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解.根据恒成立问题的解法求解即可.试题解析：1由已知，可得|x 3 |2x 1,22即 x 3 2x 1 .整理得3x2 10x 8 0,解得x； 2或x .；4.(2)将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并故所求不等式的解集为4x 5, x3,2由已知，设hx 2 f x g x 2 x2x 117，3 x 2,4x 5,x当x30寸，只需 4x 5 ax 4恒成立,即ax 4x 9,Qx 3 0,4x 9a x9 ，4 -恒成立.xa 1,当9x max只需7 ax 4恒成立,即ax 3 0恒成立.3a 3 0只需1-a 3 02解得1 a 6.

25、-1 ,当x -时，只需4x 5 ax 4恒成立,2即 ax 4x 1.-1Q x 1 0, 24x 11a4 一恒成立.xx1Q 4 - 4,且无限趋近于4, xa 4.综上a的取值范围是 1,4 .22 .在如图所示的四棱锥 F ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD , ABC 60, FC平面 ABCD , AC BF , CB CD 1.(1)求证：AC 平面BCF ;(2)已知二面角F BD C的余弦值为 9,求直线AF与平面DFB所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由已知可得 CF AC ,结合AC BF ,由直线与平面垂直的判定可得

26、AC 平面BCF ;(2)由(1)知，AC CB,则CA, CB, CF两两互相垂直，以 C为坐标原点，分别以 CA, CB ,CF所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系， 设F(0, 0, a),由二面角F BD C的余弦值为 5求解a ,再由空间向量求解直线 AF与平面DFB所成角的正弦值.【详解】(1)证明：因为四边形 ABCD是等腰梯形， AB/CD , ABC 60 ,所以 ADC BCD 120又 AD=CD ,所以 ACD 30 ,因此 ACB 90 , AC BC,又 AC BF ,且 BC I BF B , BC , BF 平面 BCF ,所以AC 平面BCF .(2)取BD的中点G ,连接CG , FG ,由于CB CD ,因此CG BD ,又FC 平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以FC BD .由于 FC CG C , FC , CG 平面 FCG ,所以BD 平面FCG，故BD FG ,所以FGC为二面角F BD C的平面角.在等腰三角形BCD中，由于 BCD 120 ,因此 CG 1,又 CB CF 1, 2因为 cos FGC ,所以 tan FGC 2,所以 FC 1 5以CA为x轴、CB为y轴、CF为z轴建立空间直角坐标