高中理科数学公式大全(完整版)

1、高中数学公式大全(最新整理版)§ 01.集合与简易逻辑1 .元素与集合的关系x A x CUA, x CU Ax A.2 .德摩根公式CU(AI B) CUAUCUB;CU (AUB) CU A I CUB3.包含关系AI B A AUB BA B CUB CUAAI CUBCU AU B R4 .容斥原理card (AUB) cardA cardB card (AI B).5 .集合a1，a2,L ,an的子集个数共有2n个；真(1)在给定区间(，)的子区间L (形如 ， , 不同)上含参数的二次不等式f(x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min 0( x L)

2、.(2)在给定区间(，)的子区间上含参数的二 次不等式f (x,t) 0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man 0(x L).4.2ax bx c 0恒成立的充要条件是0.4ac 0 f(x)a b29.真值表子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非空的真子 集有2n -2个.6 .二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x) ax2 bx c(a 0);(2)顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0);(3)零点式 f(x) a(x x1)(x x2)(a 0).7 . 一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n) 0,则方程f(x) 0在区Pq非pp或q

3、p且q真真假真真真假假真假1假真真真假假假真假假间(m, n)内至少有一个实根.设 f (x) x2 px q ,则(1)方程f (x) 0在区间(m,)内有根的充要条件 p2 4q 0为 f(m) 0 或 p ； m2(2)方程f (x) 0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m) 0f(m)f(n)f(n) 0p2 4q 0 或pm n2f(m)0 或 f(n) 010.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命 题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命 题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆 否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否

4、命题互逆，与原命 题互为逆否；15.充要条件(1)充分条件：若 p q,则p是q充分条件.(2)必要条件：若 q p ,则p是q必要条件.(3)充要条件：若p q,且q p,则p是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件， 则乙是甲的必要条件； 反之亦然.§ 02.函数11.函数的单调性(1)设 x1 x2 a,b , x1 x2 那么(Xi x2) f (Xi)f(n) 0.f(m) 0,(3)方程f(x) 0在区间(,n)内有根的充要条件f(x1) f(X2)XiX2(Xi X2) f(X1)p2 4q 0为f(m) 0或 p m2f(x1) f(X2)XiX28.定区间上含参数的

5、二次不等式恒成立的条件依f(X2)0f(x)在a,b上是增函数;f(X2)0f (x)在a,b上是减函数(2)设函数y f (x)在某个区间内可导，如果f (x) 0 ,则f(x)为增函数；如果f (x) 0,则f(x) 为减函数.精选文档a).a) f(b x)恒成立，则函a b;2a)与y f (b x)的图.则函数y f(x)的图象关12 .如果函数f (x)和g(x)都是减函数，则在公共 定义域内，和函数f(x) g(x)也是减函数；如果函数y f(u)和u g(x)在其对应的te义域上都是减函数 则复合函数y fg(x)是增函数.13 .奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶

6、函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数是偶函数.14 .若函数y f(x)是偶函数，则f (x a) f ( x a)；若函数y f (x a)是偶函数，则 f (x a) f ( x15 .对于函数yf (x)( x R), f (x数f(x)的对称轴是函数 x两个函数y f(x a b象关于直线xab对称216 若 f (x) f ( x a),21 .若函数y f (kx b)存在反函数，则其反函数1为yf 1(x) b,并不是y f 1(kx b),而函 k1 1.-数y f (kx b)是

7、y f (x) b的反函数./ k22 .几个常见的函数方程(1)正比例函数f(x) cx, f(x y) f (x) f (y), f (1) c.(2)指数函数f(x) ax, f(x y) f (x)f(y), f(1) a 0.(3)对数函数f(x) log ax,f(xy) f (x) f (y), f (a) 1(a 0,a 1).(4)备函数f(x) x , f(xy) f (x)f (y), f (1).(5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sinx, f (x y) f (x)f(y) g(x)g(y), f(0) 1,lim -g(x) 1.x 0 x23.几

8、个函数方程的周期(约定a>0)'J"(,0)对称；若f(x) f(x a),则函数y f(x)为周期 为2a的周期函数.17 .函数y f (x)的图象的对称性(1)函数y f (x)的图象关于直线 x a对称f(a x) f(a x)f(2a x) f (x).a b(2)函数y f (x)的图象关于直线x b对称2f (a mx) f (b mx)f (a b mx) f (mx).18 .两个函数图象的对称性(1)函数y f (x)与函数y f ( x)的图象关于 直线x 0(即丫轴)对称.(2)函数y f (mx a)与函数y f (b mx)的 图象关于直线x

9、 ab对称.2m(3)函数y f (x)和y f 1(x)的图象关于直线 y=x对称.19 .若将函数y f(x)的图象右移a、上移b个单 位，得到函数y f(x a) b的图象；若将曲线f (x,y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f (x a,y b) 0 的图象.20 .互为反函数的两个函数的关系f (a) b f 1(b) a.(1) f(x)(2) f(x)或f(x或f(xa)a)f(x f(x1f(x)1最a),则f(x)的周期T=a；a) 0,(f (x) 0),(f(x) 0),或 1 , f (x) f 2(x) f (x则f(x)的周期(3) f(x)期 T=3a；

10、(4) f(x1a),(f(x)0,1),T=2a；11 (f(x)f (x a)0),则f(x)的周Xz)f(a) 1(f(x1) f(x2)的周期T=4a；f (X1) f (X2)日 且f (x1)f(X2)I 1,0 |X1 X2I 2a),则 f (x)(5) f(x) f(xa) f(x2a)f(x 3a) f(x 4a)f(x)f(x a)f(x 2a)f(x 3a)f(x 4a),则 f(x)的 周期T=5a(6) f(x a) f(x) f (x a),则 f (x)的周期 T=6a.24.分数指数哥小m 1c(1) ani= (a 0, m, n N ,且 n 1).n m

11、am(2) a 百1 ,(a 0,m, n ann(a1 an) sna1n(n 1)d225.根式的性质(1)(n.a)n a.d 2 /1 .n(a1 - d )n .2233.等比数列的通项公式(2)当n为奇数时，Van当n为偶数时，Van |a|a ；a, a 0a,a 0an其前n 1a1qal n / 一q (n26. (2) 注：有理指数骞的运算性质r s a a(ar)s(ab)rar s(a 0, r, sQ).snars(a 0,r,s Q).arbr (a 0, b 0, r Q).q n项的和公式为a(1 qn) nA , q1 qnai,q 1若a>0, p是一

12、个无理数，则 ap表示一个确或snalanq, q1 q定的实数.上述有理指数哥的运算性质，对于无理数指 数哥都适用.27.指数式与对数式的互化式loga N b ab28.对数的换底公式N (a 0,a 1,N0).loga Nm 1, NlogmN ( logma0).0,且 a 1, m 0,且na1,q 134.等比差数列 an : 的通项公式为b (n 1)d,q an bqn (d b)q q 1 其前n项和公式为anqand一,q推论logmbn -loga a0,且nbd,ai b(q 0)ma 1, m,n 0,且 m 1, n29.对数的四则运算法则N 0).sn(bn(n

13、 1)d,(qd 1 qn1 q) q 11)dn,(q 1)若 a>0, aw 1M>0, N>0,loga(MN)log a M log a N ;(2)loga§04.三角函数35.常见三角不等式loga Mlog a M log a N ;nloga M (n R).(1)若 x (0,一)，则 sinx2x tanx.§ 03.30 .平均增长率的问题如果原来产值的基础数为对于时间x的总产值y ,有31 .数列的同项公式与前Si,n 1an(SnSn 1, n 2Sna1a2 L an ).(2)若 x (0,),则 1 sin x cosx V

14、2 2(3) |sin x | | cos x | 1.36.同角三角函数的基本关系式32.等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn其前n项和公式为N,平均增长率为 p ,则N(1 p)x.项的和的关系数列an的前n项的和为*a1 d(n N )；.2 sintan cot37.正弦、象限).znsin(2zn cos(2, x sincos 1, tan =,1.余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看n1)2 sin ,n 1(n为偶数)1)2 co s ,n1)2 cos ,n 11) 2 sin ,(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)2R. sin Cbcsin A 一 casin

15、B .22cos(3=(x1,%) ,b=38.和角与差角公式sin()sin coscossin ；cos()cos cos msinsin ;tan() tan tan1 mtan tan.sin(2)sin() sin.2 sin(平方正弦公式);cos()cos()cos22 sin.asinbcos = . a2 b2 sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb)a39.二倍角公式sin 2sin cos.cos22_2cossin2cos211 2sin2.tan 22 tan1 tan240.三角函数的周期公式函数y sin( x ), xCR及函数y cos(

16、 X ) , xCR(A, 3,为常数，且 aw0, 32>0)的周期T ；函数 y tan( x ), x k ,k Z (A,23,为常数，且AW 0, 3>0)的周期丁 .41 .正弦定理a bsin A sin B42 .余弦定理2,22abc2bccosA ；,222bca2ca cosB;222cab 2ab cosC .43 .面积定理一、_ 111,1,.,(1) S -aha -bhb ch (ha、M hc分别 222表示a、b、c边上的高).，、一1 八 S absinC 21 uuuruuu-uuu uuu Soab 2 (|OA| |OB|)2 (OA O

17、B)2 .44 .三角形内角和定理在 ABC中，有 A B C C (A B)C A B一 一 2C 22(A B).22245 .实数与向量的积的运算律设入、科为实数，那么(1)结合律：入(a)=(入)a;(2)第一分配律：(入+科)a=入a+科a;(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b.46 .向量的数量积的运算律：(1) a - b= b - a (交换律)；(2) ( a)b=(a b) =a - b= a ( b)(3) (a+b)-c= a- c +b - c.47 .平面向量基本定理如果e、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入

18、1 入2,使得a=入向+入2e2.不共线白向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.48 .向量平行的坐标表不设 a=(x1,y),b= (x2, y2),且 b 0,则a Pb(b0)x1y2 x2 yl 0.49 . a与b的数量积(或内积)a - b=| a|b|cos 0 .50 . a - b的几何意义数量积a - b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 。的乘积.51.平面向量的坐标运算(1)设 a= (Xi，Yi) ,b= d, y2),则a+b= (Xi x2, y1 y2).(2)设 a= (Xi，Yi) ,b= (x2, y?),则a-b= (x

19、i x2, y1 y2).(3) 设 A(x1，w) , B(x2,y2),则uur uur uunAB OB OA (x2 x1,y2y1).(4)设 a=(x, y), R ,则 a=( x, y).(5)设 a=(K,必),b= (x2, y2),则a b=(x1x2丫伙).52 .两向量的夹角公式(x2, y2).53 .平面两点间的距离公式uurruum uuudA,B = | AB | VAB ABx1)2 2 y1)2 (A(x1,y1) , B(x2,y2).54 .向量的平行与垂直设 a=(x1,y1) ,b= d, y2),且 b 0,则A|b b= X ax1y2 x2y

20、1 0 .a b(a 0) a - b=0x1 x2 y1y2 0.55 .线段的定比分公式设 P(x1,y1)，F2(x2,y2), P(x, y)是线段 PP2 的分点,uur是实数，且ppuurPP2 ,则XiX21unnOPyiy2uurOP1uuurOP2uuuumrOP tOP1uuur(1 t)OP2 (tL).56.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为 A(x1,y 1)>B(x2,y 2)、C(x3,y 3),则 abc的重心的坐标是G(x1x23x3v y23y357.点的平移公式xxhuuuruuruunOPOPPPyyk22(1) a,b Ra b2a

21、b (当且仅当 a= b 时取一号).(2) a,b R-a- JOb (当且仅当 a=b 时2 取一号).(3) a3 b3 c3 3abc(a 0,b 0,c 0).(4)柯西不等式22222(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,a,b,c,d R(5) a b a b a b .61.极值定理已知x, y都是正数，则有(1)若积xy是定值p ,则当x y时和x y有 最小值2 Jp ;(2)若和x y是定值s ,则当x y时积xy有最注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上uur '一 ' ' ' 的对应点为P(x,y),且PP的坐标为

22、(h,k).58.“按向量平移”的几个结论(1)点P(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到点P (x h,y k).(2)函数y f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移 ''后得到图象C ,则C的函数解析式为 y f (x h) k. '(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象 C , '若C的解析式y f(x),则C的函数解析式为y f(x h) k.(4)曲线C : f (x,y) 0按向量a=(h,k)平移后得 ''到图象C,则C的方程为f(x h,y k) 0.(5)向量m=(x, y)按向量a= (h, k)平移后得到的向

23、量仍然为m=(x,y).59.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为 ABC所在平面上一点，角 A,B,C所对边 长分另ij为a,b,c,则uuu2 uuu2 uui2。为ABC的外心OA解山10c.(2) O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0.(3) O为ABC的垂心 uuu uuu uuin uuur uur uuu OA OB OB OC OC OA.(4)O为ABC的内心 uuri uur uur raOA bOB cOC 0.(5) O为 ABC的 A的旁心 uuu uuu uuuraOA bOB cOC .大值-s2.4推广已知x,y R,则有 22_(x y) (x y)

24、 2xy(1)若积xy是定值，则当|x 丫|最大时， y | 最大；当| x y |最小时,|x y |最小.(2)若和|x y|是定值，则当|x y|最大时，| xy |最小；当| x y |最小时，| xy |最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有xax2a2xax2a263.无理不等式§06.不等式60.常用不等式:(1)f(x)(2).f (x) g(x) f(x) 0、,g(x) g(x) 0f(x) g(x)f(x) g(x) f(x)00 或2 g(x)f (x)g(x)_f(x) 0(3)f(x) g(x) g(x) 0 f(x) g(x)264.指数

25、不等式与对数不等式(1)当a 1时,f (x)g (x) af(x) g(x)； li|l2 li 12(1) tank2k11 k2kl(li : AxBiy Ci0, l2 ： A2xB2yC20,直线l1l2时，直线l 1与l 2的夹角是.tank2 k11k2ki(2) tanAB A2B1A4 B1B2222(x a) (y b) r .0( D2 E2 4F >0).x a rcos y b r sin(x(3)圆的参数方程(4)圆的直径式方程xi)(x x2) (y yi)(y y)0(圆的直径的端f(x) 0lOga f(X) lOgag(X) g(x) 0 f(x) g

26、(x)(2)当 0 a 1时，af(x) ag(x) f (x) g(x)；f(x) 0log a f(x) logag(x) g(x) 0 f(x) g(x)§ 07.直线和圆的方程65 .斜率公式k yJL(虫为)、P2(x2, y2)x2 xi66 .直线的五种方程(1)点斜式 y yik(x xi)(直线1过点P(xi, yi),且斜率为k).(2)斜截式 y kx b(b为直线1在y轴上的截 距).(3)两点式y yix xi- (yiy2)( R(xi,yi)、P2(x2,y2)y2 yix2 xi(xix2 ).x y ，(4)截距式 一 -i(a、b分别为直线的横、

27、a b纵截距，a、b 0)(5) 一般式 Ax By C 0(其中A、B不同时为0).67 .两条直线的平行和垂直(i)若 11 ： y kix bi, I2: y k2x b2 IJU2kik2,bi d； 1112k1k2i.(2)若1i：Ax Biy Ci 0, 12： A2x B2y C20,且 A、A2、Bi、B2都不为零，C1.A2B2c2AA2 B1B20；68.夹角公式(li ： y kix n , I2： yk?x b?, kk1) tan|AB3|.AA2 BB2A1A2B1B20).69 . li到b的角公式(li ： ykix bi , l2 ： y k2x b2, k

28、k 1)(l1 : Ax B1y C1 0, l2 : A2x B2y C20,A1A2B1B20).直线l1 l2时，直线 卜到l2的角是一.270 .四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点F0(x。，yO)的直线系方程为y y° k(x x0)(除直线x x0),其中k是待 定的系数；经过定点F0(x0,y0)的直线系方程为A(x x°) B(y y0) 0,其中A, B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线li：Aix By Ci 0, l2：A2x B2y C2 0 的交点 的直线系方程为(Aix By Ci)(A2x B2y C2) 0(除卜)，

29、其中入是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线 y kx b中当斜 率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直 线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By 0(0),入是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax By C 0 (A w 0, Bw 0)垂直的直线系方程是 Bx Ay 0, 入是参变量.71 .点到直线的距离d | Ax0 2By0 2 C-| (点 P(%, y°),直线 l : .A BAx By C 0).72 .圆的四种方程(1)圆的标准方程(2)圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F点是 A(xi, yi)、B(x2, y2).73.圆系方程(1)过

30、点A(xi,yi), B(X2,y2)的圆系方程是XoXyoyD(Xo x)2Ed y) F20.当(xo, yo)圆外时,(x xi)(x x2) (y yi)(y y?)(xxi)( yiy2)越 洒XiDixLM E(yo y) f o表示22(x xi)(x X2) (y yi)(y 幻 (ax by c) ，其中ax by c 0是直线AB的方程，入是待定的系 数.(2)过直线l : Ax By C 0与圆 22C : x2 y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程是 22x y Dx Ey F (Ax By C) 0,入是待 定的系数.(3)过圆 C1：x2 y2 Dix Eiy

31、Fi 0 与圆 22C2： X yD2X E2y F2 0的交点的圆系方程是2222x yDix Ei y Fi (x yD2x E2y F2),入是待定的系数.74.点与圆的位置关系点 P(x0,y°)与圆(x a)2 (y b)2 r2 的位置0过两个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y y0 k(x x°),再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为 y kx b ,再 利用相切条件求 b,必有两条切线.(2)已知圆 x2 y2 r2 .过圆上的P0(X0, y0)点的切线方程为2X0X y°y

32、 r ;斜率为k的圆的切线方程为02y kx r i k .关系有三种若 d (a X0)2 (b y。)2 ,则dr 点P在圆外；d r 点P在圆 上；d r 点P在圆内.75.直线与圆的位置关系直线Ax By C 0与圆§08.圆锥曲线方程2278.椭圆与-y- i(a b 0)的参数方程是 a2b2x a cos222(X a) (y b) r的位置关系有三种d dd其中dr 相离r 相切r 相交Aa Bb C% A2 B20；0；0.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 Q, Q,半径分别为ri,2,OQ2ddri r2外离dri r2外切rir2dri r2drir

33、2 内切4条公切线；3条公切线；相交2条公切线i条公切线；y bsin2279 .椭圆勺自 i(a b a b2PFie(x -) , |PF2c80 .椭圆的的内外部x2(i)点P(x0,yO)在椭圆 a22内部当当i.a bx2(2)点P(x0,y°)在椭圆 a22外部普岑i.a b81 .椭圆的切线方程22(i)椭圆与当 i(a ba2 b20)焦半径公式2e( cx).2 y b2y2i(a b 0)的i(a b 0)的0)上一点 P(x°, y°)0 d r1r2 内含无公切线.77.圆的切线方程(i)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0 .若已知切点

34、(X0,y°)在圆上，则切线只有 条，其方程是处的切线方程是弊阴 i.a2b222(2)过椭圆f-yy i(a ba2b2P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是0)外一点%x y°y22a b1.抛物线y22px(p 0)焦半径CFx022(3)椭圆与与 i(a b 0)与直线 a b2 2_ 2 22Ax By C 0相切的条件是A a Bb c.22x y96.双曲线F I(a 0,b 0)的焦半径公式 a b22一a 一 aPFi |e(x 一)|, PF2 |e(一 x)|.cc82.双曲线的内外部(1)点P(x0, y0)在双曲线过焦点弦长CDx1x2x1x2

35、p.85.抛物线y22 Px上的动点可设为或 P(2pt2,2pt)或 P(%,y0),其中 y286.二次函数2喙,y)2px。.-2 b 2y ax bx c a(x ) 2a24ac b-(a 0)的图象4a222 2-y1(a 0,b 0)的内部a b(2)点P(x°, y°)在双曲线x y02a b是抛物线:(1)顶点坐标为(222x y ., 一. x0221(a 0, b 0)的外部 一2aba83.双曲线的方程与渐近线方程的关系y2b7点的坐标为4acb 4ac b2 ( 2a,4a-b2 1b2a1)；4ac b2、 声)；(2)焦4a(3)准线方程是(1

36、 )若双曲线方程为2 y_ b1渐近线方程:2b20b一 x. a(2)若渐近线方程为bxyy -x - - 0 双 aab22曲线可设为勺 Ja2b2, x2(3)若双曲线与-2a2x2a2 y b2(0,2二 1有公共渐近线，可设为b2焦点在x轴上， 0,焦点在y轴上)84.双曲线的切线方程22(1)双曲线2 4 1(a 0,b 0)上一点 a bP(x0,y0)处的切线方程是 x2x 5y 1.a bx2 y2,(2)过双曲线2- 1(a 0,b 0)外一点 a b4a87.抛物线的内外部(1)点P(x°, y°)在抛物线2y 2px(p 0).2点P(x0,y

37、76;)在抛物线y2y 2px(p 0).(2)点P(x°, y°)在抛物线2y 2px(p 0).2点P(x0,y°)在抛物线y2y 2px(p 0).(3)点P(x°, y°)在抛物线2x 2py(p 0).2点P(x0, y°)在抛物线x2x 2py(p 0).(4)点P(x0,y°)在抛物线2x 2py(p 0).2点P(x0, y°)在抛物线x2x 2py(p 0).88.抛物线的切线方程2px( p 0)的内部2 px( p 0)的外部2px(p 0)的内2 px( p 0)的外部2py(p 0)的内部

38、2py(p 0)的外部2x 2py( p 0)的内2 py( p 0)的外部P(x0, y°)所引两条切线的切点弦方程是xx孙 12.21 .a b22x y (3)双曲线2- 1(a 0,b 0)与直线 a bAx By C 0相切的条件是 A2a2 B2b2c2.100.抛物线y22 Px的焦半径公式2(1)抛物线y 2Px上一点P(x°, y°)处的切线方 程是 y°yp(x x°).(2)过抛物线y2 2Px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y p(x2(3)抛物线y 2px( pAx By C 0相切的条件是89.两

39、个常见的曲线系方程x0).0)与直线_ 2 一一 pB2 2 ACAB J(x x?)2 (yi或AB 7(1 k2)(x2x52 |xi x2 | 71 tan2| y1y kx b(弦端点A(x1，yJ B(x2，y2),由方程消F(x,y) 02去y得到ax bx c 0,0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率).91.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x, y) 0关于点P(x0, y0)成中心对称的曲线是 F(2x0-x,2y0 y) 0.(2)曲线5%丫) 0关于直线Ax By C 0成轴对称的曲线是F(x2A(Ax By C)A2 B22B(Ax By C)A2 B2(1)过曲

40、线fi(x, y) 0, f2(x, y) 0的交点的曲线系方程是fi(x,y)f2(x, y) 0(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22一 ，一 1,其中 k maxa2,b2.当 a k b k2 . 2k min a , b 时，表不椭圆；当min a2,b2 k max a2,b2时，表示双曲线90 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式95 .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.96 .证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射

41、影的斜线垂直.97 .证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(产L老峥该直线与平面的一条垂线平行；V21 (1) cot另该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直98 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.99 .空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a + b) + c=a+ (b + c).(3)数乘分配律：入(a + b)=Xa+Xb.100 .平面向量加法的平行四边形法则向空间的推始点

42、相同且不在同一个平面内的三个向量之和， 于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始 点的对角线所表示的向量.92.“四线” 一方程对于一般的二次曲线Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0,用 x0x 代 x2,用“、2x0y xy0x0 xy°y代y ,用 ? 代xy，用 2 代x，用乂代y即得方程2X°y xy°x0 xy° yAx0x B Cy0y D E F222,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方 程得到.101.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bw0 ) , a/ b 存在实数入使a=入b.uuuOPP、B三UuT线u

43、uuAP | AB AP tAB uuu uuu(1 t)OA tOB. uuir uuin AB|CD AB、CD共线且AB、CD不共线 uuuuuirAB tCD且AB、CD不共线.0102.共面向量定理向量p与两个不共线的向量 a、b共面的 存在实§ 09.立体几何93.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.94.证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.数又x, y,使 p ax by

44、 .推论空间一点P位于平面MAErt的luiTuuLTluiT实数对 x, y,使 MP xMA yMB ,或对空间任一定点 0,有序实数对x, y,使uur uuuu uur uuurOP OM xMA yMB .103.对空间任一点 uur uur uur 足 OP xOA yOB存在有序O和不共线的三点 A、B、C,满 uuLTzOC ( x y z k),则当k 1时，对于空间任一点 O,总有P、A、B、C四点共 面；当k 1时，若O平面ABC则P、A B C四点共面；若O 平面ABC则P、AATB、ADC、 uuu xAByAC段。噩不域AD 与 AB、AC 共uuuruuuuuru

45、urOD (1 x y)OA xOB yOC ( O 平面 AB。104 .空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向 量p,存在一个唯一的有序实数组x, y, z,使p = xa+ yb + zc.推论 设Q A、B、C是不共面的四点，则对空间 任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z,使uuuuurr uurr uuurOP xOA yOB zOC .105 .向量的直角坐标运算设 a= (a1，a2, a3), b= (bi ,b2,4)则d,h22 m2 nm2mncos.d,h22 m2 n2mncosuuu uuur EA',AFd,h22 m2

46、 n2mncos( E AA F).(两条异面直线a、b所成的角为0 ,其公垂线段AA的 长度为h.在直线a、b上分别取两点 E、F,_ '.A E m , AF n , EF d). a+b=(a1bi,a2b2,a3b3);(2) a b=(a1bl, a2b2 , a3b3)；入 a= ( a1, a2, a3)(入 e R)；(4) a - b= a1bl a2b2 a3b3 ；已知斜棱柱的侧棱长是I,侧面积和体积分别是 S斗棱柱侧和V斜棱柱，它的直截面的周长和面积分别是G和S1 ,则&斗棱柱侧G1 .V斜棱柱Si1 .r rr r r raPb a b(b 0)Xx2

47、V1Y2 ；106.设 A(x，y1，4), B(x2, 丫22)，则 unn uuur uuuAB OB OA= (x2 x1，y2 yy 乙).107.空间的线线平行或垂直rr设 a (为，必，4), b (x2,y2Z),则xyy2z1z20.109 .空间两点间的距离公式若 A(x1, y1，z1), B(x2,y2, z2),则uuuruuu-uuurdA,B = | AB | VAB AB 222(x2 x1)(y2 y1)(z2 乙).110 .点Q到直线l距离h J(| a |b |)2(a b)2 (点 P 在直线 l 上，直1a uuuuuu线l的方向向量a= PA ,向量

48、b= PQ).114 .球的半径是R则其体积V 4 R3 , 3其表面积S 4 R2.115 .球的组合体(1) 球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2) 球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长 ，正方体 的棱切球的直径是正方体的面对角线长 ，正方体的外 接球的直径是正方体的体对角线长 .(3) 球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为工a，外接球的半径为-6a.4116.柱体、锥体的体积1V柱体 -Shi( S是枉体的底面积、h是枉体的局)1V锥体 -Shi( S是锥体的底面积、h是锥体的局)111.陆直ui间的距离r n,d |CDr n|( l1,l2是两异面直线，其公垂向量为 |n|C、D分别是I/2上任一点，d为lj2间的距离).112 .点B到平面 的距离uuur uud 1AB n |( 门为平面 的法向量，ab是经过 |n|的一条斜线，A ).113 .异面直线