全国初中数学竞赛辅导第三十五讲《中位线及其应用》教案1北师大版【教案】

1、1第三十五讲中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行 线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.例 1 如图 2-53 所示. ABC 中，ADL BC 于 D, E, F,3G分别是 AB, BD,査 C 的中点.EG = -EF, += 厘米，求匚ABC 的面积.分析 由条件知，EF, EG 分别是三角形 ABD 和三角形 ABC 的中位线利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出ABC 的高 AD 及底边 BC 的长.解 由已知，E, F 分别是 AB BD 的中点，所以，EF 是厶 ABD 的一条中位线，所 以apAD

2、 = 2EF.2由条件 AD+EF=12 俚米）得EF=4（厘米）,从而 AD=8（厘米），33EG = -EF= X4 = 6厘米）.22由于 E, G 分别是 AB, AC 的中点，所以6 是厶 ABC 的一条中位线，所以BC=2EG=Z6=12（厘米），显然，AD 是 BC 上的高，所以=|BC-AD = jxi2X8=48 （平方厘米）.2例 2 如图 2-54 所示. ABC 中，/ B,ZC 的平分线 BE, CF 相交于 0, AGL BE 于 G AH丄 CF 于 H.B NN图254(1) 求证：GH/ BC;(2) 若 AB=9 厘米，AC=14 厘米，BC=18 厘米，求

3、 GH分析若延长 AG 设延长线交 BC 于 M.由角平分线的对称性可以证明厶 ABAMBG 从而 G是 AM 的中点；同样，延长 AH 交 BC 于 N H 是 AN 的中点，从而 GH 就是 AMN 的中位线，所以 GH/ BC 进而，利用 ABC 的三边长可求出 GH 的长度.(1)证 分别延长 AG AH 交 BC 于 M, N 在厶 ABM 中,由已知，BG 平分/ ABM BGL AM,所以ABGAMBG（ASA）从而，G 是 AM 的中点.同理可证ACHANCH(ASA)从而，H 是 AN 的中点.所以 GH AMN 的中位线，从而， HGI MN 即HG/ BC.(2)解 由(

4、1)知，ABGAMBGAACHANCH 所以AB=BM=91 米，AC=CN=14!米.又 BC=18 厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4 厘米）,MC=BC-BM=18-9=9 厘米）.从而3MN=18-4-9=5（厘米）,4所以GH = MN = j （厘米）*W&说明（1）在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一（即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线）性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三 角形是等腰三角形”.（2）“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平

5、分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边” 同学们不妨自己证明.（3）从本题的证明过程中， 我们得到启发：若将条件“/B,/ C 的平分线”改为“/ B（或/ C）及/ C（或/ B）的外角平分线”（如图 2-55 所示），或改为“/ B,ZC 的外角平分线”（如图 2-56 所示）,其余条件不变，那么，结论 GH/ BC 仍然成立.同 学们也不妨试证.團2555例 3 如图 2-57 所示.P 是矩形 ABCD 内的一点，四边形 BCPC 是平行四边形，A, B,C, D分别是AP,PB BQQA 的中点.求证：A C=BD.分析由于 A, B, C, D分别是

6、四边形 APBQ 的四条边 AP, PB, BQ QA 的中点，有经验的同学知道AB CD是平行四边形，AC与 BD则是它的对角线，从而四边形 A B C D应该是矩形利用 ABCD 是矩形的条件，不难证 明这一点.图2576证连接 A B, B C,C D,D A,这四条线段依次是 APB BPQ AQB APQ的中位线.从而A B/ AB B C/ PQC D/1AB D A/ PQ所以，A B C D是平行四边形由于 ABCD 是矩形，PCB（是平行四边形， 所以AB 丄 BC BC/ PQ从而AB 丄 PQ所以 A B丄 B C,所以四边形 A B C D是矩形，所以A C =B D.

7、说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作 用如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻 求思路起了不小的作用因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问 题的能力是很有益处的.例 4 如图 2-58 所示.在四边形 ABCD 中, CDAB, E, F 分别是 AC BD 的中点.求 证：（CD-JVB）.2分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不等关系.为了产生 fCD 及的线段，应考虑在含 CD, AB 的三角-形中构造中位线，为此，取 AD 中点.7证取 AD 中点 G 连接 EG FG 在厶 ACD 中，E

8、G 是它的中位线（已知 E 是 AC 的 中点），所以BG=CD.同理，由 F, G 分别是 BD 和 AD 的中点，从而，卩6 是厶 ABD 的中位线，所以PG=1AB.在厶 EFG 中,EF EG-FG 由，EF丄（CD-JVB）.2例 5 如图 2-59 所示.梯形 ABCD 中, AB/ CD E 为 BC 的中点， AD=DC+AB 求证: DEI AEE_ D图259分析 本题等价于证明厶 AED 是直角三角形，其中/ AED=90 .在 E 点（即直角三角形的直角顶点）是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线 作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形 AED 的斜边（即梯形另一腰

9、）的一半, 则问题获解.证 取梯形另一腰 AD 的中点 F,连接 EF,则 EF 是梯形 ABCD 勺中位线，所以EF（AB4-CD）*2因为 AD=AB+CD 所以8BF= 1AD=AP=DF.2从而/ 仁/2，/ 3=/4,所以/ 2+/ 3=/ 1 + / 4=90 （ ADE 的内角和等于 180 ）.从而/ AED/2+/3=90,所以 DE 丄 AE.例 6 如图 2-60 所示. ABC 外一条直线 I , D, E, F 分别是三边的中点，AA,FFi, DD, EE 都垂直 I 于 Ai，Fi, D，Ei.求证：AA+EE=FFi+DD.分析 显然 ADEF 是平行四边形，对

10、角线的交点 O 平分这两条对角线，OO 恰是两 个梯形的公共中位线利用中位线定理可证.证连接 EF, EA ED 由中位线定理知， EF/ AD, DE/ AF,所以 ADEF 是平行四 边形，它的对角线 AE, DF 互相平分，设它们交于 O,作 OO 丄 I 于 O,则 OO 是梯形 AAEE 及 FFiDD 的公共中位线，所以j (AAi + EEj(FFL+DDJ =OOP即 AAi+EE=FFi+DD.练习十四i .已知 ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上一点，AE=2CE CD BE 交于 O 点, OE=2厘米.求 BO 的长.92 .已知 ABC 中，BD, CE 分别是/ ABC, / ACB 的平分线，AFUBD 于 H, AF 丄 CE于 F.若 AB=14 厘米，AC=8 厘米，BC=18 厘米，求 FH 的长.3.已知在 ABC 中， AB AC, AD 丄 BC 于 D, E, F, G 分别是 AB, BC, AC 的中点.求 证：/ BFE=/ EGD4 .如图 2-61 所示.在四边形 ABCD 中, AD=BC E, F 分别是 CD AB 的中点， 延长 AD,BC,分别交 FE 的延长线于 H G.求证：/ AHF=/ BGF5.在 ABC 中，AHL BC 于 H D E , F 分别是 BC, CA AB 的中点