现代设计方法计算题

1、1.试用进退法确定函数f （ x） = 2 ? 3 + 5 的一维优化初始区间 a,b,给定初始点 0=-1 ，初始步长 h=1。解： 1 = 0=-1， 1=f （ 1 ）=92= 0 +h=-1+1=0， 2 =f （ 2）=5比较 1 ， 2，由于 1> 2，作前进计算：3= 0 +2h=-1+2=1， 3=f （ 3）=3比较 2 ， 3，由于 2> 3，再作前进计算：1 =2 = 0， 1=2=52 = 3=1， 2= 3=33 = 0+4h=-1+4=3， 3 =f （ 3） =5由于 2 <3，可知初始区间已经找到，即a,b=0,3。2.设某种单元的可靠度0(t

2、)=? ，其中 =0.001/h ，试求出：（1）由这种单元组成的二单元串联系统，二单元并联系统及 2/3（G）表决系统的平均寿命；（2）当 t=100h、500h、1000h 时，一单元、二单元串联、二单元并联及 2/3(G) 表决系统的可靠度，并加以比较。解：（ 1）一个单元与系统的平均寿命分别为：单=1/=1000h2 串 =1/2 =500h2 并 =3/2 =1500h2/3 （ ）=5/6 =833.3h（ 2）当 t=100h 时，一个单元与系统的可靠度分别为：单= ? 0.001 ×100 =0.9052串=单=2? 0.2=0.8192并=1-（1-单）2?0.1）

3、 2=1- （1?=0.9912/3( )=3 单 2 - 2 单 3=0.975当 t=500h 时，一个单元与系统的可靠度分别为：? 0.001 ×500=0.6065 2 串= 单 =2? 0.5 ×2单=0.36782 并=1- （ 1 ? 单）2=1- （1 ? 0.6065 ）2 =0.84522/3 （ ）=32- 23单单 =0.6575当 t=1000h 时，一个单元与系统的可靠度分别为：? 0.001 ×10002? 2单=0.368 2 串= 单=0.1352 并=1-（ 1?单）2? 1）23单2?2单3=1- （1 ?=0.600 2/3

4、()=0.306从计算结果可以看出：（ 1）一个单元的可靠度高于二单元串联系统的可靠度，但低于二单元并联系统的可靠度；（ 2）2/3 （G）系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的 5/6 倍，明显低于一个单元的平均寿命。223.已知约束优化问题： minf （x）= 1+3 2St 1 + 2- 10试写出内点罚函数与外点罚函数的表示式。解：内点罚函数：221（ , ）= 1+32+1+2? 1外点罚函数：当 - 1 ? 2+10， （x， ）= 1 +3 222当 - 1- 2 +10，（ x， ）= 1 +322-1-2+1）22+（4.现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不

5、超过20 厘米，且长度为宽度的 2 倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表面积不超过 400 平方厘米。解：（1）建立数学模型用复合形法迭代 3 次。取储水箱长和高为设计变量1， 2， 则其宽 0.5 1，数学模型为2maxF（ X） =0.51 22st 1+3 1 2 4000 1200 220（2）用复合形法求解求得的近似结果为?= 1, 2 =F(X*)=5091 已知右上图所示等腰直角三角形的单元刚度矩阵为：? 2? 1? 101? 2? 1= 0? 103304200对1称10 （ ）12右图所示薄板结构中节点2 处所受载荷以及材料的弹性模量和板厚分别为：2 = 10

6、0KN， E=2×107 N/cm，t=0.1cm求节点 2 处的各位移分量。解得 2 =? 70.7× 10 N,3 2 =-70.7×10 N 322? 70.7 ×1030301 2= ? 70.7 ×102 =-7.07×10 ? 2cm， 2 =? 0.14145.用梯度法求下列无约束优化问题： MinF（X）= 1+422（0）2，设初始点取为=2,2，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为 5.（1） 求初始点梯度 F（X）（）21,8 2 F(0) ) 4.16F X =(=(2)第一次搜索丨 F（ 0）丨 =16.5，

7、 （0） =-F（ （0 ）/16.5=-0.243,0.97（ 0） = 2.157（ 1） （0 ） （0） （0）=+=1.476, ? 0.923(1)= 2.952, ? 0.738 T F(丨 F( (1) )丨 =3.0435.0故满足要求，停止迭代。最优点 X*=1.476 ， ? 0.0923最优值 F（?）=2.216.节点和单元划分如图示的由两根杆组成的平面刚架结构，在节点3 处作用大小为 F 的集中载荷，两单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即2000? 20a0110? 1? 1110? 1? 1000020? 2 (1) = (2) =? 2? 1? 10310?

8、 1? 1? 213yF2ij3lix其中， a 为常数。试引人支承条件写出总体平衡方程。解：先求单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵。单元（ 2）在总体坐标系下的单元刚度矩阵与在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即2000? 200110? 1? 1 (2)= (2)= 00110? 1? 10020? 2? 2? 1? 10310? 1? 1? 213单元（ 1）的坐标转换矩阵中的=- 90°，单元（ 1）的坐标转换矩阵为T=cos( ? 90 °）sin （ ? 90 °）000? sin （ ? 90 °）cos （ ? 90 °）00000

9、 0 10 0 00 0 0cos （ ? 90 °） sin （ ? 90 °） 00 0 0? sin （ ? 90 °）cos （ ? 90 °）0 0 00 0 1=? 1000010000001000100000? 10000100000001所以单元（ ）在总体坐标系下的单元刚度矩阵为：(1)=(1) 010000? 100000001000000010000? 1 00=000001a2000?200?10 0000110?1 ?110 0 000110? 1? 100 1 0000000020? 200 0 0?0? 2?1?103100

10、 0 100?1?1?21300 0 0110000 101? 10? 1020200单元01? 10? 11? 12? 1301000022= ? 10? 1123局部编码和总体编码的对应关系为：单元（ 1） ij 12单元（ 2） ij 231112（1）单元刚度矩阵中子块对应关系为； （1 ） =2122， （2）=2223（）（）11+01221（2） 222223）32330（3233所以总体刚度矩阵为：1 1=a（1）（ 1）（2）（2）K= （2） 2101? 10? 100020200001 0 1?10?10 0 05 0 10?20?11?10 0 00 3 30? 1?1

11、0?11 3 40 ? 10 0 00 0 020 ? 20 0 0?2 ?1 ?10 3 10 0 00?1 ?1?213节点的位移矢量为：111222333约束条件为：1 =0， 1=0， 1=0作用到结构上的外力为： 3 =_F 所以引入支承条件的平衡方程为：1000000001000000000010 0 0005 0 10?20000000 3 30?1 ?10001 3 40 ? 1? 10000 0 02 0? 2000?2 ?1 ?10 3 10000?1 ?1?213a00? 1? 1 012102103300200003 =07 一组实验数据如下，试用抛物线插值方法计算 X

12、=92和 X=198处的 Y值。901001101201301401500.680.740.790.830.860.890.92【参考答案】抛物线插值公式为：（ ?2）（ ?3）（ ?1）（? 3)( ?1)( ?2 )（?（?1+(?2() (?) 3Y（x）=12 ） 13 ）2 ?1)23)+3 ?132当 x=136 时 x（ 130,140），|136-130| |136-140|选择插值节点：（ 1， 1）=（130,0.86），（2 ， 2）=（140,0.89），（3， 3）=（150,0.92）将以上数据和 x=136 代入抛物线插值公式，得 x-136 时 y 值为：（13

13、6 ?140 ）（ 136 ?150 ）（136 ?130 ）（136 ?150 ）Y（136）= （130 ? 140 ）（130? 150 ） ×0.86+（140 ?130 ）（ 140 ?150 ）× 0.89+（136 ? 130）（ 136?140）（ 150 ? 130） （150 ? 140 ）×0.92=0.8788 如图所示的平面刚架，由两个单元（ 1）和（ 2）组成，两单元的长度和载面尺寸及材料特性相同，单元（ 1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点 1 指向节点 2，单元（ 2）的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点 3 指向节点 1，在局部坐标

14、系下每个单元的刚度矩阵为100? 10001260? 126 (1) = （2） =0640? 622 ? 1001 0 00? 12? 6012 60620 6 4（1）求刚架总体刚度矩阵。K（2）引入支撑条件，写出平衡方程。平面刚架的坐标转换矩阵为。cos0000?00000 0 10 0 00 0 00 0 0 0?01 -=0 0 00 0由局部坐标系与总体坐标系的关系知：单元（1）a=0，单元（ 2）a=010000(? 1000000 010 000 000 10所以(1)（2 ）0 00? 1000 000 01=1= （ ） K( )( )在整体坐标系下，单元的刚度矩阵为：=

15、(1)= (1) (1)(1)- (1)120612060100? 10?6046 0 22?1206120?6 (2)- (2) (2)(2)- (2)-0 ? 100 1 0?602?604单元（ 1）局部码对应的总码为，2，单元（ 2）局部码对应的总码为3.19.已知某零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，且强度和应力的均值分别为=210Mpa 和=160Mpa，试确定零件的可靠度。零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，1 1 =， =R= +=+ 210=210 + 160 =0.5675676该零件的可靠度为： R=0.5675676将下列实验测试数据拟合成 y=ax 形式的经验

16、公式。（计算过程中保留小数点后两位）1.181.582.403.003.802.763.294.234.835.57将 Y=axb两边取对数，得： lny=lna+blnx令 U=lny A=lna B=b V=lnx，则原式变为： U：A+BV将表数据取对数：0.170.460.881.101.341.021.191.441.571.72按以上的 ， 进行最小二乘拟合得5=51= 15A+（） B=5 5 52= 1= 1= 1（）A+（ ）B=5+3. 95=6. 94代入数据得 3. 95 + 4. 02 = 6求解得 A=0.92B=0.60a= =2.5b=B=0.6拟合的经验公式为

17、y=2.5 0.610.如图所示的平面刚架，由两个单元（ 1）和（ 2）组成，两单元的长度和载面尺寸及材料特性相同，单元（ 1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点 1 指向节点 2，单元（ 2）的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点 3 指向节点 1，在局部坐标系下每个单元的刚度矩阵为 .100? 100（2）01260? 126（1）06 40 ? 62= = 2? 10 01 0 00?12? 601260 6 20 6 4（1）求刚架总体刚度矩阵。K（2） 引入支撑条件，写出平衡方程。解.平面刚架的坐标转换矩阵为cos0000?00000 0 10 0 00 0 0?00 0 0 00 0 0

18、0 0 1=由局部坐标系与总体坐标系的关系知：单元（），单元（ ）°1a=02a=90010000? 1000000 010 000 000 10(1)（2 ）0 00? 100所以0 000 01=1= （） (）K( )( )在整体坐标系下，单元的刚度矩阵为： = (1)=(1) (1)(1)=(1)120? 6? 120? 60100? 10?6046 0 22?1206120?6 (2) (2) (2)(2)(2)0?100 1 0?602?604- =单元（ 1）局部码对应的总码为， 2，单元（ 2）局部码对应的总码为 3,1 （1） 1112 （1） （2） 3331 （

19、2）=2122= 1311 所以按照刚度集成法，可得出总体风度矩阵为： 11(1)+ 11(2)12(1) 13(2)K=21(1)22(1)031(2)0 33(2)130?6 ?100?120601360?12 60?10?6680?6 2?6 02?1001 0 00 0 00?12 ?601260 0 00 6 20 6 40 0 0?120 ?60 0 0120?60?100 0 00?10=2 6020 0 0?6 04由于只有在节点2处作用有沿 Y 轴负方向的外载荷 F=100N，所以节点载荷矢量为 F=0,0,0,0 - 100,0,0,0,0支撑条件为 3 = 3= 3 =0

20、，所以等式右端的力矢量无须修改，矩阵 K中 7 至 9 的各行各列修改成除主对角线元素为 1 外，其余各元素均为零 1 分总体平衡方程为130?6 ?1000001101360?1260001 00?620000=?668?1001 0 00002 00?12? 601260002000 6 20 6 400? 10020 0 00 0 010000 0 000001033020 0 00 0 00013 0011.某机电系统由 10 台相同设备组成，各设备可靠度为0.9，若该系统至少有7 台设备正常运行就可以保证整个系统正常工作，试求该系统的可靠度。解：该系统的每台设备或是正常工作或是发生故

21、障，其失效数为正整数。因此是离散型随机变量，且服从二项分布。系统的可靠度由下式计算? 1= 0FR（r）=由题意知： ，则r=3N=10 R=0.9 F=1-0.9=0.110 ！（10 ? 0）010！（10? 1 ）1（ ） （ 10 ? 0）！ ×0！ ×0.9×0.1×0.1 （10? 1）！ ×1！×0.9R 3=+（1010！ 10！（10 ? 2）0.12（ 10（10? 3 ）3? 2）！ ×2！×0.9? 3）！ ×3！×0.9×0.10.9872+×+该系

22、统的可靠度为 0.987200120112.已知111 ，将该三角形沿X方向移动1个单元，沿Y方向移动ABC=2 个单位后，再放大一倍，求变换后 ABC各顶点的坐标。这是一组合变换，先求出组合变换的变换矩阵。沿 X 方向移动 1 个单位，沿 Y 方向移动 2 个单位，变换矩阵为1 0 0=1001121200020放大一倍，变换矩阵为：0012100200200010000200210所以组合变换矩阵为： T=1211241 2所以变换后的三角形顶点的坐标短阵为：ABCABC*T=001200=241012064120=1 1 1241461变换后的三角形各顶点的坐标为：A（2，4），B（6,

23、4），C（ 4,6）13 .用最小二乘法将下列数据拟合成Y=0 +1 + 22形式的经验公式。（计算结果中保留两位小数）1.202.403.204.545.827.6316.4124.1940.6560.41解：拟合公式为 f（x）=y= 0 +21x+ 2 ，表中共有 5 组数据则 m=5 由最小二乘法拟合思想得：5550125+2= 1= 15550+112+2= 13= 1= 15= 155452320+1+2= 1= 1= 15= 1= 1将表中数据代入得：5 0 +17.16 1 +71.92 2 =149.2971.92+339.032 =662.0917.16 +011712.2

24、92 =3237.317192.0+339.03+1解得 0 =2.31， 1=3.00， 2 =1.20所以，由表中数据拟合成的经验公式为：_ y=2.31+3.00x+1.20 22 214. 已知目标函数： minF（ x） = 1 + 2-4 1-22 + 5约束条件：（x）=-3，0122 1（ x） =1-20223（ x） =2 1+ 2-404（ x） =2 0试用 Kuhn-Tucker条件判断点1（1,2） 和 2（ 1.5,1）是否为该有约束问题的极值点。15.（1）先确定起作用约束1（ ）=0和 3（ ）=0将 x=1,2代入约束方程，只有xx所以起作用的约束为1（）和

25、3（ ）x(2)根据 K-T条件，有 F（ x） =-= 1 1 1（ x） 21?4=? 1 3=2F(x)= 122 ?21() 22( )x=? 2=? 12在处-21 4 +1,221解得1=-2/3 2 =2/3不满足 K-T 条件，所以 x=1,2不是约束最优点。2（）=0和 3（ ）=0将 x=1.5,1代入约束方程，只有所在起作用的约束方程为2（）和 3（）（根据 K-T条件，有 F(x)= -= 11 1(x)21?42=( )21F(x)= 22 ? 22()? 13=?1221- 21.5,1解得0处12?1在 x=1/4 =1/4+1.5,1是约束极值点。满足 K-T 条件，所以 x=16. 一厚度为 t ，边长为 l 的正方形钢板，其支撑和受力情况如图示，按平面问题进行有限元分析时，划分的单元、结点的局部和整体编码如图所示。两三角形单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为；33对1021称? 22? 1? 1011 (1)= (2)? 1? 1000= 0? 20试引入支撑条件写出平衡方程。单元节点局部编码与总体编码的对应关系：单元（ 1）：ijk 321单元（ 2）：Ijk 412单元刚度矩阵中子块对应关系：333231(1)444142(2) =