全等三角形证明判定方法分类情况总结

1、.全等三角形(一)SSS【知识要点】1 全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.2 全等图形的性质：(1) 全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等(2) 全等图形的面积相等3 全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1)表示方法：两个三角形全等用符号“也”来表示，读作“全等于”如ABC 与 DEF全等，记作ABC也DEF(2)符号“也”的含义：“s”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来 就是形状相同，大小也相等，这就是全等.(3)两个全等三角形重合时， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边 叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.(4) 证两个三角形全等时，通

2、常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4.全等三角形的判定(一)：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS.如图，在ABC和DEF中例 4.如图 AB=DE BC=EF AD=CF 求证:(1)ABC也DEF(2) AB/DE , BC/EFABC也DEF【典型例题】例 1.如图，ABC也ADC，点 B 与点 D 是对应点，BAC 26，且B 20,SABC1，求CAD , D, ACD的度数及ACD的面积.例 2.女口图，ABC也DEF,A 50 , BC 9cm,CE 5cm，求EDF的度数及 CF 的长.例 3.如图，已知：AB=AD AC=AE BC=DE 求证：BA

3、E CADDC.例 5.如图，在ABC 中 C 90 ,D E 分别为 AC AB 上的点，且BE=BCDE=DCC 60 , ABD 35，贝U BAD的度数为（求证：(1)DE AB;(2) BD 平分ABCA85B 、35（角平分线的相关证明及性质）DC60D 、80【巩固练习】4 .如图,ABC也DEF, AD=8 BE=2,则 AE 等于(1下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；若两 个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；若两个图形的面积相等，则它们 一定是全等图形；若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）A、 B 、 C 、 D 、2 .

4、如图，ABD也CDB，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（）A、ABD 和 CDB的面积相等B、ABD 和 CDB的周长相等C、A ABD C CBDD AD/BC 且 AD=BC3 如图，ABC也BAD, A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果BCE，则下列条件能满足的是（）第 5 题图第 6 题图BA 、 AC=BC AD=CE BD=BE B 、 AD=BD AC=CE BE=BDC 、 DC=EC AC=BC BE=AD D 、 AD=BE AC=DC BC=EC6 .如图，ABE也DCF,点 A 和点 D、点 E 和点 F 分别是对应点，则 AB=_,A

5、 _, AE=_, CE=_ , AB/_ ,若AE BC，贝 U DF 与 BC 的关系是_.7 如图，ABC也AED，若B 40, EAB 30, C 45,则 BAC,DACDE8.ACDAFEBC第 9 题题图DC口图，若 AB=ACBE=CDAE=AD|贝8题图 EACD，所以AEBBAE7题图 ,BAD.11.如图，在ABC 与 ABD中，AC=BD AD=BC 求证：ABC也ABD全等三角形（一）作业1.如图，ABC也CDA, AC=7cm AB=5cm,则 AD 的长是（）A、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定9.如图,ABC也DEFC 90，则下列说法错误的是

6、（C 与 F 互余F互补A 与 E 互余D 互余第1題图10 .如图,ACF也DBE,E 30,ACF 110, AD9cm,CD2.5cm,第已题图求D的度数及 BC 的长.D2 .如图,ABC也DCE,A 48 , E62，点 B、C E 在同一直线上,则ACD的度数为（）A 、48B 、38C 、110D 、623 .如图,ABC也DEF, AF=2cm,CF=5cm 则 AD=_ABE也ACD,A 100 , B 25，求BDC的度数.5 .如图，已知， AB=DE BC=EF AF=CD 求证：AB/CD4 .如图,.6.如图，已知 AB=EF BC=DE AD=CF 求证：ABC也

7、FED AB/EF7.如图,已知AB=AD AC=AE BC=DE 求证：BADCAEAC.【知识要点】全等三角形(二)AD=AE /仁/ 2,由此你能得出哪些结论？给出证明定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS，几何表示【例3】 如图已知：AE=AF AB=AC / A=60,ZB=24,求/ BOE 的度数.如图，在ABC和DEF中，AB DEB EABC也DEF (SAS)BC EF【典型例题】【例4】 如图，B, C, D 在同一条直线上， ABC ADE 是等边三角形, 求证： CE=AC+D；/ ECD=60 .【例1】已知：如图,AB=A

8、C AD=AE 求证：BE=CD.【例5】如图，已知 ABC BDE 均为等边三角形。求证：BD+ CD=AD【例2】如图，已知：点D E 在 BC 上，且 BD=CEAC.【巩固练习】1 .在ABC中，若 AB=A B, AC=AC，还要加一个角的条件，使 ABCAABC，那么你加的条件是()A. ZA=ZAB./B=ZBC./C=ZCD./A=ZB2 .下列各组条件中，能判断厶 ABCADEF 的是()A.AB=DE BC=EF CA=CD B.CA=CD; ZC=ZF;AC=EFC . CA=CDZB=ZED.AB=DE ; BC=EF 两个三角形周长相等3阅读理解题：如图：已知 AC,

9、 BD 相交于 O, OA=OB OC=OD.那么 AOD与厶BOC全等吗？请说明理由.ABC与厶BAD全等吗？请说明理 由.小明的解答：OA=OB1OD=OC SAS12AODABOC4.如图，点 C 是 AB 中点，CD/ BE,且 CD=BE 试探究 AD 与 CE 的关系。5.如图，AE 是BAC 的平分线，AB=AC(1 )若 D 是 AE 上任意一点，则 ABDAACD 说明理由.(2)若 D 是 AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由而 BAD= AOD+ ADB ABC= BOC/ AOB所以 ABCABAD(1 )你认为小明的解答有无错误;(2)如有错误给出正确解答

10、;CDO6 .如图，已知 AB=AC EB=EC 请说明 BD=CD 勺理由.全等三角形(二)作业1 如图，已知 AB=AC , AD=AE , BF=CF，求证：BDF也CEF。2.如图， ABC BDF 为等腰直角三角形。求证： (1) CF=AD ( 2) CEL AD。6、 已知， 如图 A、 F、 C、 D 四点在一直线上，AF=CD AB/DE ,且 AB=DE 求证： (1)ABCDEF(2)ZCBF=ZFEC3 .如图，AB=AC , AD=AE , BE 和 CD 相交于点 O, AO 的延长线交 BC 于点 F。求证：BF=FC。C5.如图,求证：(.4.已知：如图 1 ,

11、 AD/ BC, AE=CF AD=BC E、F 在直线 AC 上，求证：DE/ BF。.7、已知：如图,AB=AC,AD=AE, / BAC= / DAE.求证：BD=CE8、如图，正方形 ABCD 勺边 CD 在正方形 ECGF 勺边 CE 上，连接 BE DG(1) 观察猜想 BE 与 DG 之间的大小关系，并证明你的结论。(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过 程，若不存在，说明理由。12、如图， ABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB 四边形 CDEF 是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系，并证明你的

12、猜想；若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在 ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.10、已知 C 为 AB 上一点,ACN 和 BCM 是正三角形.求证：(1) AM=BN9、已知：如图,AD 是 BC 上的中线，且 DF=DE 求证:BE / CF.E(2)求/ AFN 大小。11、已知如图，F 在正方形 ABCD 的边 BC 边上，E 在 AB 的延长线上，FB= EB AF 交 CE 于 G 求/ AGC 的度数.N.全等三角形（三） AS

13、A【例3】如图，AB=ACBC，求证：AD=AE【知识要点】ASA 公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.如图，在ABC与DEF中A DAB DEB EABC DEF （ASA）【例4】已知如图,证明之.ASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC和ABC全等的条件是（2,34，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？试A、AB=A B ,AA,CCB、AB= AB,AC=A C , BC=BCC、AB= AB,AC=AC,B1BD、AB=AB,AA,B1B例2】已知如图AD, ABDE, AB

14、/ DE,求证:BC=EF【例5】如图，13, AC=AE 求证：DE=BCE C F.【例 6】如图，A D, 12, AC, BD 相交于 O,4.如图，AB, CD 相交于 O, E, F 分别在 AD, BC 上，若EODAOE COF【巩固练习】求证：AB=CDOA=ODA D1.如图,AB/CD, AF/DE, BE=CF 求证：AB=CD5.如图，AB/CD, AD/BC，求证：AB=CD2.如图,AD/BC, O 为 AC 中点，过点求证:AAM=CNAR6.已知，如图 AB=DBC E, 12，求证：AC=DE3.求证：两个全等三角形 ABC 与 ABC的角平分线 AD AD

15、相等FOB,求证:.全等三角形（三）作业4.已知如图，在ABC中，AD 平分BAC , AD BC,求证：ACD ABD1 已知，如图，A D, 12, AFCD，求证：AB=DEDADE,BAECAD，求证：BE=CD5.已知如图，ACB DBC, DCA ABD, AC 10cm，求 BD 的长（要求写出完整的过程）2.如图，已知AEDAB=AD ,D, BADCAE，求证：AC=AE6、如图ABC中，/ B=ZC, D, E, F 分别在 AB,BC,AC 上，且 BD=CE/ DEF=/ B3.已知如图,DEA求证：ED=EFAE.7、(1)如图1,以酥环的边序、为边分别向外作正方形-

16、和正方形一制连结，试判断厶 AEG 面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图,AD 为 CE 的垂直平分线,EF/BC.求证： EDNACDNAEMN已知：如图,AB=AC , AD=AE ,求证： OBDAOCE(图1).10、已知：如图,AB=CD , AD=BC ,O 为 BD 中点,过 O 作直线分别与 DA BC11、如图在厶 ABC 和厶 DBC 中,/仁/ 2 , / 3=/4 , P

17、 是 BC 上任意一点.求12、已知：如图，四边形 ABCD 中，AD / BC , F 是 AB 的中点，DF 交 CB 延 长线于 E ,CE=CD . 求证：/ ADE/ EDC13、已知：如图，OA=OE , OB=OF , 直线 FA 与 BE 交于 C , AB 和 EF 交于 O ,求证：/ 1 =/ 2.全等三角形(四)强化训练1、如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上 的点，(1)若AD BE CF，问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；(2) 若厶DEF是等边三角形，问AD BE CF成立吗？试证明你的结论.4、已知：如图，ABC中，ABC 4

18、5 CD AB于D,BE平分ABC,且BE AC于E，与CD相交于点F,于点G(1)求证：BF AC; (2)求证：CE2、如图所示，已知/仁/2, EF 丄 AD 于 P,交 BC 延长线于 M,求证：2/M=(/ACB- /B).DCM5、如图，点0是等边 ABC内一点，AOB 110o,绕点C按顺时针方向旋转60得厶 ADC，连接OD.(1) 求证：ACOD是等边三角形；(2)当150时，试判断AOD的形状，并说明理 由；(3)探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？BOC将 BOC3、AABC 中，/ A=90, AB=AC D 为 BC 中点，E、F 分别在 AC AB 上，且 DE

19、L DF, 试判断 DE DF 的数量关系，并说明理由.AFCH是BC边的中点，连结DH与BE相交C.且 DB 与 AC 所在直线交于 E,求证：CD=CE过 A作 AF丄 BC于 F， 过 D作 DG丄 BC 于G，则 DG=AF=1/2BC=1/2BD ,在 Rt ABDG 中，DG=1/2BD =/ DBC=30 = / BDC= / BCD=1/2(180 -30 =75 即/ EDC=75/DEC=/DBC+/BCA=30 +45 =75/-ZEDC=/DEC =CD=CE& Rt ABC AB=AC,BM!中线，AD 丄 BM 交 BC 于 D,求证：ZAMBZCMD7、

20、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线 AM 平行于斜边 BC,在 AM 上取点 D,使 BD=BCEF 分别是ZACBZAED 的平分线，且ZB=30，ZD=40，求ZF 的度数。11、等边三角形ABC和等边三角形DEC D 在 AC 边上。延长 BD 交 CE 延长线于 N延长 AE 交 BC 延长线于求证：CM=CN易证 BCDAACE 所以ZDBCZEAC 再证 BCNAACM (ASA) CM=CN9、如图，已知 ABC 是等边三角形，ZBDC= 120o，说明 AD=BD+C 的理由。AC.10、已知：如图，点 D 在厶 ABC 的边 CA 的延长线上，点 E 在 BA 的延长线上，C

21、F、.12、操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角/BDC=120。的等腰三角形， 以D为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB AC边于M N两点，连接MN探 究：线段BM MN NC之间的关系，并加以证明.14、(涉及相似三角形)若 P 为ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120，则点P叫做ABC的费马点.如图，在锐角 ABC外侧作等边ACB连结BB。求证：BB过 ABC的费马点P，且BB =PA PB PC.13、如图等边厶 ABC 和等边 CDE 点 P 为射线 BC动点，角 APK=60 , PK 交直线CD 于 Ko(1) 试探索 AP、PK 之间的数量关系；(2) 当点 P 运动到 BC 延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。.15、如图，ABC是等腰直角三角形，/ C= 900,点 M,N 分别是边 AC 和 BC 的中点，点D 在射线 BM 上,且 BD= 2BM,点 E 在射线 NA 上,且 NE= 2NA.求证：BD 丄 DE.BN C.例 2:在厶 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC AE 是过点 A 的直线,分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”， 去说明“相等的边 （角） 所在的三角形 全等”，利用三角形全等来说明两个角