初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑻

1、初一数学竞赛讲座第8讲列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解 法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于 较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与 已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系， 即列出方程（或方程组），使问题得以解决。所以对于应用题，列方程的方法 往往比算术解法易于思考，易于求解。列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方 程，解方程，检验作答。其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等 量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题

2、目作细致分析，有些 相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。一、列简易方程解应用题例1设有六位数labcde,乘以3后，变为abcdeL求这个六位数0分析：欲求这个六位数，只要求出五位数 abcde=x就可以了。按题意，这 个六位数的3倍等于abcdel。解：设五位数abcd圮，则六位数labcde = 105 + x ,六位数abcdel =10x +1 , 从而有3 （105+x） =10x+1,x = 42857。答：这个六位数为142857。说明：这一解法的关键有两点：抓住相等关系：六位数1abcde的3倍等于六位数abcde1 ；设未知数x：将六位数1abcde与六位数

3、abcde1用含x的数学式子表示出 来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方程解应用题的 能力，就应在这两方面下功夫。例2有一队伍以1.4M/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头， 于是以2.6M/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了 10分50秒。 问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问 题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与 排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排

4、头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（ 650-x）秒，于是不难列方程。解：设通讯员从末尾赶到排头用了 x秒，依题意得2.6x-1.4x=2.6(650-x) +1.4 (650-x)。解彳4x = 500。推知队伍长为：(2.6-1.4 ) X 500=600 (M 。答：队伍长为600M说明：在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什 么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关 的间接未知数。对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得 容易些。例3铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行 进，行人速度为3.6千M/

5、时，骑车人速度为10.8千M/时，这时有一列火车从 他们背后开过来，火车通过行人用 22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车 身总长是多少？分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千M/时=1M啰，骑车人的速度为10.8千M/时=3M啰。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差， 也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为xM/秒，那么火车的车身长度可表示为(x-1 ) X22或(x-3) X 26,由此不难列出方程。解：设这列火车的速度是xM/秒，依题意列方程，得(x-1 ) X 22= (x-3) X 26。解彳4x=14。所以火车的车身长为：(14-1 ) X 22=286

6、( M 。答：这列火车白车身总长为286M又例4如图，沿着边长为90M的正方形，按逆时针方向，甲 甲|从A出发，每分钟走65M乙从B出发，每分钟走72M当乙 第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题， 乙_* % 根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。解：设追上甲时乙走了 x分，则甲在乙前方3X90=270 (M)。依题意故有：72x=65x+270在这段时间内乙走了:2701/ .72 M=2777 (M)77由于正方形边长为90M共四条边，故由2777； = 30x9

7、0+77；= (42)x90+7了3可以推算出这时甲和乙应在正方形的 DA边上。答：当乙第一次追上甲时在正方形的 DA边上。例5 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆 水行驶。已知船在静水中的速度为 8千M/时，平时逆行与顺行所用的时间比为 2 ： 1。某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用 9时。问:甲、乙两港相距多少千M?分析：这是流水中的行程问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=1水速度-水流速度。解答本题的关键是要先求出水流速度。解：设甲、乙两港相距x千M,原来水流速度为a千M/时根据题意可知, 逆水速度与顺水速度的比为2 ： 1,即（8-a

8、） : （8+a） = 1 ： 2,于是有8+且=2（8-a）,解得软=|口再根据暴雨天水流速度变为2a千M/时，则有XX - + - = 98 + 2及 8 - 2a把 = ?代入，得8+2x- 8-2- 33解彳导x=20o答：甲、乙两港相距20千ML例6某校组织150名师生到外地旅游，这些人 5时才能出发，为了赶火 车，6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘 50人的客车，车速为36千M/ 时，学校离火车站21千M,显然全部路程都乘车，因需客车多次往返，故时间 来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千M,那么应如何23 一.，二一（时）内12x时，乘安排，才能使所有人都按

9、时赶到火车站？分析：把150人分三批，每批50人，均要在115分钟即11560赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行2 23 .车（3x）时。列出方程，解出X,便容易安排了，不过要计算一下客车能否在12115分钟完成。解：把150人分三批，每批50人，步行速度为4千M/时，车速为36千M/ 时。设每批师生步行用x时，则234x + 36X （k） - 2L12解彳3x=1.5 （时），即每人步行90分，乘车25分。三批人5时同时出 发，第一批人乘25分钟车到达A点，下车步行；客车从 A立即返回，在B点遇 上步行的第二批人，乘25分钟车，第二批人下车步行，客车再立即返回，又

10、在 C点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的，第三批人是否正巧可乘 25分钟车呢？必须计算。25第一批人到 A点，客车已行36M 5=15 （千 刈，第二批人已步行 4X60255、54025 = 5 （千M）,这时客车返回与第二批人步行共同行完15、=丝（千6033340M）,需一二1 （时），客车与第二批人相遇，就是说客车第一次返回的时36 4 3间是20分，同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分，所以当客车与第 三批人相遇时，客车已用 25X 2+20X2=90 （分），还有115-90=25 （分），正 好可把第三批人按时送到

11、。因此可以按上述方法安排。说明：列方程，解出需步行 90分、乘车25分后，可以安排了，但验算不 能省掉，因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三 批人正巧可乘车25分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程 可以类似地列出，却不能保证人员都按时到达目的地。二、引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的 未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数 量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。例7某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背后超过此

12、人。如果人与汽车均为匀速运动，那么汽 车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车 4分所行的路程之和恰是两辆相继同 向行驶的公共汽车的距离；每隔 6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题， 车与人6分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数， 问题就解决了。解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依 题意得4（% 十%）二一（1）由，得4（巧 +%）=6（v2 -Vj）1力=弓叫西将代入，得4解得c=4于 智工汽车站每隔4 g分发一班车.说明：此题引入v1, v2两个未知量作

13、参数，计算时这两个参数被消去，即 问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多，可参考本丛书五年级数学 活动课第26讲。例8整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知 70头牛在24天里把草 吃完，而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完，那么有多少头 牛？分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃 草量多少？若这三个量用参数 a, b, c表示，再设所求牛的头数为 x,则可列 出三个方程。若能消去a, b, c,便可解决问题。解：设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量 为c, x头牛在96天内能把牧场上的草吃完，则有，24X70c = a

14、 + 2b160X30c = a + 60b196 X xc = a + 96b口 -，得36b=120C -，得96xc=1800c+36b。将代入，得96xc=1800c+120c。解彳3x=20o答：有20头牛。例9从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千M,下坡时每小时行驶35千M车从甲地开往乙地需 91时，从乙地到甲地需71时。问：甲、乙两地间的公路有多少千M?从甲地到乙2地须行驶多少千M的上坡路？解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地 下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千M,下坡路为y千M,

15、依题意得(1)又y十 92035my1+ 7 35202+，得将y=210 x代入式，得x 210 -x 八.+- 92035解彳# x=140。答：甲、乙两地间的公路有 210千M从甲地到乙地须行驶140千M的上 坡路。三、列不定方程解应用题有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方 程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是 唯一确定的。但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或个别解。例10六（1）班举行一次数学测验，采用 5级计分制（5分最高，4分次 之，以此类推）。男生的平均成绩为 4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班 的平均成

16、绩为3.6分。如果该班的人数多于 30人，少于50人，那么有多少男 生和多少女生参加了测验？解：设I班有x个男生和y个女生，于是有：4x+3.25y=3.6 （x+y）815化简后得8x=7y。从而全班共有学生：x + 8 x = 15 x7715在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以5x = 457推知 x = 21, y=240答：该班有21个男生和24个女生。例11小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9分，套中小猴得5分，套中小狗 得2分。小明共套了 10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小 明套10次共得61分。问：小明至多套中小鸡几次？解：设套中小鸡x次，套

17、中小猴y次，则套中小狗（10-x-y ）次。根据得 61 分可列方程：9x+5y+2 （10-x-y ） =61,化简后得7x=41-3y0显然y越小，x越大。将y=1代入得7x=38,无整数解；若y=2, 7x=35, 解得x=5o答：小明至多套中小鸡5次。例12某缝纫社有甲、乙、丙、丁 4个小组，甲组每天能缝制 8件上衣或 10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣 或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝 制（每套为一件上衣和一条裤子）。问：7天中这4个小组最多可缝制多少套 衣服？分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产，应该

18、考虑各组生产上 衣、裤子的效率高低，在配套下安排生产。我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣，做裤子效率高的多做裤 子，才能使所做衣服套数最多。般情况，设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子，它们的比为更；类 bi似的，B组每天缝制上衣与裤子数量的比为 包。若电a2,则应在安排 A组 b2b1 b2尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下，安排配套生产。这是因为，若安排A组做m条裤子，则在这段时间内可做 曳m件上衣；这些上衣若安排 B组 b1由于做，要用am天时间。在这段时间内B组可做amb2条裤子， b1a2b1a2a网b2 =d m ,因此A组尽量多做上衣，B组尽量多做裤子。b1a2电b2

19、89解：甲、乙、丙、丁 4组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为,10127, 6,由于6 897,所以丁组生产上衣和丙组生产裤子的效率1177101211高，故这7天全安排这两组生产单一产品。设甲组生产上衣x大，生产裤子（7-x）天,乙组生产上衣y大，生产裤子 （7-y）天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为 6X7+8x+9y （件）和11X7 + 10 （7-x） + 12 （7-y）（条）。依题意，得 42+8x+9y= 77+ 70-10x + 84-12y ,枇简得y = 9 .黑令 u=42+8x+9y, WJ/6 、u = 42 + 2x + 9 （ 9 z）72=123 + yx（

20、0汉7）c显然x越大，u越大。故当x=7时，u取最大值125,此时y的值为3。答：安排甲、丁组7天都生产上衣，丙组 7天全做裤子，乙组3天做上衣，4天做裤子，这样生产的套数最多，共计 125套。说明：本题仍为两个未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最 多，实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值，注意说明取得最值的理 由。练习81 .甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。问：乙跑完一圈用多少秒？2 .小明在360M长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5M,后一半时间每秒跑4M,那么小明后一半路程跑多少秒？3 .如右图，甲、乙两人分别位于周长为 4

21、00M的正方形水池相 邻的两个顶点上，同时开始沿逆时针方向沿池边行走。甲每分钟走 50M乙每分钟走44M求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次 走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情,形）。丁4.农忙假，一组学生下乡帮郊区农民收割水稻，他们被分配到甲、乙两块稻田 去，甲稻田面积是乙稻田面积的 2倍。前半小时，全队在甲田；后半小时一半人在甲田，一半人在乙田。割了 1时，割完了甲田的水稻，乙田还剩下一小块 未割，剩下的这一小块需要一个人割 1时才能割完。问：这组学生有几人？5 .若货价降低8%,而售出价不变，则利润(按进货价而定)可由目前的P%增加到(P+ 10) %,求P。6 .

22、甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8,乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。7 .某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种，快车的车速是慢车 车速的1.2倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间 1个站。每站停留时间都是 3分钟。当某次慢车发出40分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到 达终点。问：快车从起点到终点共需用多少时间？8 .甲车以160千M/时的速度，乙车以20千M/时的速度，在长为210千M的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车1次，甲车减速而乙车3则增速1。问：在两车的速度恰好相等的时刻，它们分别行驶了多少千M?3练习8答案1. 24 秒。解,设乙跑完一圈甩秒，则占+=上 解出k = 24, 40 x 152. 44秒。解工设小明所用总时间为x秒，WJ5X 1 = 360,解出笈=30。推知小明前40秒跑了 5X 40=200 (M),后40秒跑了 4X40=160 (M)。因 为小明后180M中有20M是以5M秒的速度行进的，其余160M是以4M秒的速度 行进的，所以，小明后一半路程共用 20+5+160+4 = 44 (秒)。3. 34分。提示：仿例4。4. 8人。解