初中数学基础知识与经典题型

1、初中数学参考资料例题廨【例1】如图 10,平行四边ABCD中，AB = 5, BC=10, BC边上的高M=4, E为BC边上的一个动点(不与B、C重合),过作直线AB的垂线，垂足为 F. FE 与DC的延长线相交于点 G, JDE, DF。(1) 求证:ABEFsceg .(2) 当点E在线BC上运动时， BEF和4CEG的周长之间有什么关系？ 并说明你的理由.(3) BE = x, ZXDEF的面加y,请你求出y和x之间的函数关系式，并求 出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？A一/LDFMB C xEG图10【例2】如图二次函数y = ax2+ bx + c( a 0)与坐标轴交于点

2、 A B C且OA =1 OB = OC=3 . 1)求此二次函数的解析式,(2)写出顶点坐标和对称轴方程3)且MN / x轴求以MN为直径且与x【例3】已知两个关于 x的二次函数2图象的对称轴是直 V2, y1 a( x k)(1)求k的值；(2)求函数y, y的表达式；1 2(3)在同一直角坐标系内，问函数 明理由.y与当x k时，、217 ;且二次函数 y2的1 22( k 0), y1 y2x 6x 12 线 x 1 .y的图象与y2的图象是否有交点？请说 1*第1英47页【例4】如图,抛物线 _ 244y =xx与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把AB所的直线沿y

3、轴向上平移,使它经过原点。，得到直线1,设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、B、Q P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为 x,当4.6 02二S三6 8 2时，求x的取值范围.【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。 某 园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测， 种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润 y2与投资量x成二次i函数关系，如图啊(注：利润与投资量的单位：万元)*Y图 图 (

4、1)分别求出利润y与V2关于投资量x的函数关系式； i(2)如果这位专业户以 8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？第2页共47页【例5】如图，已知A( _4,0) 5 B(0, 4),现以A点为位似中心，相似比为9:4 ,将OB向右侧放大，B点的对应点为 C.(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2) 一抛物线经过 B、C两点，且顶点落在 x轴正半轴上，求该抛物线的解 析式并画出函数图象；(3)现将直线BC绕阳点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距雪；3 2的点P.14ia1。 / * A1 2【例6】如图，抛物线Li : y

5、x 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线Li向 右平移2个单位后得到抛物线L , L2交x轴于C、D两点.2(1 )求抛物线L对应的函数表达式；2(2)抛物线 L或L2在x轴上方的部分是否存在点N,使以 A, C, M, N为顶点的四边i形是平行四边形 .若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是抛物线L上的一个动点( P不与点 A、B塞告)，那么点 P关于原点的对称点Q踹含麻5tf叱工瑞瑞常，,二口 一？.丁 一L A(W I， ,WWWkF解析过程及每步分值AC( - 1 *0) t D(3*0)- 1-:.抛物线Li为了(工+1)(工-3)*(2)存在.令

6、 jc = 0,得 y -3* AM(OU),丁抛物线匕是U向右平移2个单位得到的，点 N(2.3)在 L.上且 MN2,MNAU又 V AC=2. AMN -AG二四边形ACNM为平行四边形.同理上的点N( -2,3)满足ZM/AC、ZM = AC ，四边形ACMN是平行四边形即为所求.第3页共47页(3)设 P J. .y)是 L,上任意一点Gi/。) 则点 P 关于原点的对称点 Q(一工 , 一“) 且 yt = 一 Hi 工* Zxi 十 3 格点Q的横坐标代入L -得 yQ- - mJ 2工】+ 3 X ” ，点Q不在抛物线小上【例71如图，在矩形 ABCD中，AB = 9 , AD

7、 =3/3，点P是边BC上的动点(点P不与点B，点C重合)，过点P作直钱/BD ,交CD边于Q点，再把APQC沿着动直缎Q对折，点C的对应点是 R点，CP的长度为，APQR与矩形ABCD重叠部分的面积为.(1)求NCQP的度数;7(2)当x取何值时，点R落在矩形 ABCD的AB边 上?27 (3)求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的?PRA（备脚2） B）如是矩形，A DAD 3 3 ,图C 90 , Q DC1）解析过程及每步分值C D；.二 =/ 解三（L形BC 3tan CDBA B C DB *11b.Q?1 CD 3.Tj又 AB 9,CD 9 , B

8、C 3 3 .= PDB 30 . = 一 LJ =-PQ /BD 厂 CQP CDB 30 y4x之W勺函数解析式是:=+=矩形面积二旷3，27 3，当0时，函数增大，所以y的最大值是6 3,而矩形面积的所以,时,3时,根据题意，得:273xy18x18的值x随自变量的增大而3(2x 3 3)27的值不可能是矩形面积的272723x18x18 37 3 ,解透方程，273 3所以所以2不合题意，舍去.2 .综上所述，当2 时，ZPQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的.第5英47页32y x2第四章兴趣练习4.1代数部分1.已知：抛物线2y =ax +bx +c与x轴交于 A、

9、B两点，与 y轴交于点 C. 其中点 A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段 OA、OC的长(OA OC)是方程一 + = =2540x x 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x 1 .(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点 D是线段 AB上的一个动点(与点 A、B不重合)，过点 D作DE / BC交AC 于点E,连结CD,设BD的长为 m, ACDE的面积为 S,求S与m的函数关系式， 弁写出自变量 m的取值范围.S是否存在最大值？若存在，求出*值弁求此时D点坐标；若不存在，请说明理由./ y第6页共47页12y二一 x上的两点 A B的44.2 已知，如图

10、1,过点E(0,_1)作平行于x轴的直线l ,抛物线横坐标分别为 1和4,直线AB交y轴于点F ,过点A、 B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF .(1)求点A、 B、 Fj的坐标；(2)求证：CF DF ；1(3)点P是抛物线2y x对称轴右侧图象上的一动点，过点 P作PQ PO交x轴4于点Q,是否存在点P使得4OPQ与4CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.V4/(图1)备用图第7页共47页4.3 已知矩形纸片 OABC的长为4,宽为3,以长 OA所在的直线为 x轴，O为坐标原点建4.4 立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点(与点O

11、、A不重合)，现将 POC沿PC翻折得到ZXPEC ,再在AB边上选取适当的点 D,将ZXPAD沿PD翻折，得到ZXPFD，使得 直线PE、 PF重合.(1)若点E落在BC边上，如图，求点 P、 C、 D的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式；(2)若点E落在矩形纸片 OABC的内部，如图，设OP x, ADy,当x为何值时，y取得最大值？yQ的坐标.BECFCB(3)在(1)的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使 PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点FDDOPxA图图第8页共47页4.5如图，已知抛物_ 2 +4y x轴交X轴于点E,点B

12、的坐标为(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;(2)在平面直角坐标系xoy中是否存在点 P,与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由;(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M,使得直线 CM把四边形 DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线y说明理由.3 -x 父x轴于 A、B两点，交y轴于点C, ?抛物线的对称第9页共47页2 bxy ax(a0)Vx 轴交于点 A (1,0)和点 B( 3,0),4.6 如图，已知抛物线3(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与X轴交于点 M,问在对称轴上是否存在点P,使4CMP

13、为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.BOCE面积的图图第10页共47页二、动态胸4.7 如图，在梯形 ABCD中，DC /AB,_ A 90； AD =6厘米，DC= 4厘米，BC的坡度i 3 ： 4,动点P从A出发2厘米/秒的速度沿 AB方向向点B运动，动点Q从点B出发3厘米/秒的速度沿 B C D D卬向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止.设 动点运动的时曲t秒.(1)求BC的长；(2)当t为何值时，PC与BQ相互平分；(3)甯Q,遨PBQ的面穗y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时,y有最大值？最大值是

14、多少4.8已知：直线1x 1与y轴交于A,与x轴交于d ,抛物212y x bx c与直线交2于A、E两点，与 x轴交于 B、C两点，且 B点坐标为 (1, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当(3)在抛物线的对称轴上找一点AO B CDx第11共47页4.9 已知：抛物=2 + f *0、=_线y -ax bx ca）的对称轴为 x 1,与x轴交于A, B两点，与y轴（-）（-）交于点C,其中A 3,0、C 0, 2 .（1）求这条抛物线的函数表达式.（2）已知在对称轴上存在一点P,使得 APBC 的周长最小.请求出点P的坐标.（3）若点D是线OC 上的一个动点（不与点

15、 O、点C重合）.过点D作DE /PC交x轴于点E.连PD、PE .设CD的长为m , APDE的面稠S .求S与m之间的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.4.10 如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点 E，顶点 M的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，jAD 2, AB 3.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿 x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也 以相.同.的.速.度,从点A出发向B匀速移动.设它彳运动的时间为t秒（0 t

16、W 3）,直线AB与该抛物线的交点为N （如2所示）NCCBBPD O (A)D O A EE xx第12共47页124.11已知抛物线：y 一一 X 2x12(1)求抛物线 y的顶点坐标. i(2)将抛物线 y1向右平移 2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2 ,求抛物线y的解析式.2(3)如下图，抛物线y的顶点为 P, x轴上有一动点 M,在y1、y2这两条抛物线上是2OP为一边的平行四边形，若存在,.-否存在点 N,使O (原点)、P、M、N四点构成以一 +st求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线 y2ax2b 4ac b2a 4a1O 123 456789x1第1

17、3页共47页4.12如图，已知抛物线Ci：二（y a x225的顶点为 P,与x轴相交于 A、B两点（点 A在点B的左边），点 B的横坐标是 1.（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1）,抛物线C2与抛物线 Ci关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为 C3, C3的顶点为 M,当点P、M关于点 B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2）,点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4.抛物线 C4的顶点为 N ,与x轴相交于N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点E、F两点（点 E在点F的左边），当以点 P、Q的坐标.（5分）PC2

18、C3C4图1第14页共47页4.13如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个顶点 B(4,0)、C(8,0)、D (8,8).抛物线2_y =ax +bx 过 A、C 两点.(1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒 1个单位长度，运动时间为 t秒.过点P作PE AB交AC于 点E.过点E作EF AD于点F ,交抛物线于点 G ,当t为何值时，线段 EG最长？ CEQ是等腰三角形?连接EQ .在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得请直接写出相应的t值.第15页共47页

19、4yQAM(2, - 1 ),且 P ( - 1 ,一QB垂直于y轴，垂足分Q,使得 OBQ 与 AOAPOQ为邻边的平行四边形4.14 如图1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点m2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴,别是A、B.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线 MO上运动时， 直线MO上是否存在这样的点面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图2,当点 Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OPOPCQ ,求平行四边形 OPCQ周长的最小值.Q .BA OxMCP图2第16页共47页4.15 如图，矩形 A

20、BCD 中，AB = 6cm , AD = 3cm，点 E在边 DC 上，且 DE = 4cm .动点Q从点A开始沿着 AE以从点A开始沿着 A-B-C-E的路线以2cm/s的速度移动，动点P、Q从点A同时出发，设1cm/s的速度移动，当点 Q移动到点 E时，点P停止移动.若点点Q移动时间为 t (s) , P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S (cm2),求S与t的函数关系式.4.16如图，已知二次函 v数yPB2(x m) k2m的图象与 x轴相交于两个不同的点xC轴的另一个交点D的坐标;I)(2)如果AB恰好为OP的直径,ABC的面积等于 5，求m和k的值.A( x、B(x 2

21、,0),与y轴的交点为 C .设 ABC的外接圆的圆心为点 P . i(1)求。P与y第17页共47页4.17如图，点 A、B坐标分别为（0 =,矩燧CEDC 与 ACB4.18y时到与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从点出发，同4,0）、（0, 8）,点C是线段OB上一动点，点 E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE 2OC=设CE tt （重合部分的面积为S .根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形CEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t 4时，求S的值；（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程）S 12 t（）若，则.4xC Q第18页共47页4

22、.19 如图1,过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC的“水平宽” (a),中间的这条直线在垂高 (h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:ABC内部的线段的长度叫 ABC的“铅1e 1 ,即三角形面积等S 一 ahABC 2于水平宽与铅垂高乘积的一半.垂高水平宽解答下列问题：如图2,抛物线顶点坐标为点C ( 1 , 4),交x轴于点 A (3, 0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2) 求4CAB的铅垂高 CD Sa；及CAB (3) 设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P,使SPAB =9SCAB若存

23、在,求出P点的国标；若不存在，请说明理由.第19页共47页4.20如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(150)、(0,点B在x轴上.已知某次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F.(1)求该二次函数的解析式；(2)若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长.(3)求 PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.x=14.21如图所示，菱形 ABCD的边长为 6 呼，t B 60 ,从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿 A C B的方

24、向运动， 点Q以2厘米/秒的速 T T T度沿A B C D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为 x秒时， APQ与ZABC 30阶的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为O的三角形)，解答下列问题:(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒;(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当 APQ是等边三角形时 x的值是秒;(3)求y与x之闻的函数关系式.CD第20页共47页4.22定义一种变换：平移抛物线Fi得到抛物线F2,使F2经过Fl的顶点 A .设F2的对称轴BD的对称点.分别交Fi, F2于点D, B,点C是点A关于直线2如图1,右Fi： y =

25、乂，经过变换后，得到2F2 ： y = x + bx，点 C 的坐标为（2,0）,C.菱形则b的值等于 四边形ABCD为 A .平行四边形(2)如图2,若Fi :2y ax+c ,经过变换后，点B的坐标为(2 , c- 1),求 ABD的面积;(3)如图3,若x ,经过变换后,ACV2 3，点P是直线AC上的O （A）（图i）（图2）（图3）第21页共47页14.23如图，已知直线 =-一 十y x 1交坐标轴于 A,B两点，以线段 AB为边向上作正方形2ABCD ,过点A , D , C的抛物线与直线另一个交点为E .(1)请直接写出点 C, D的坐标;(2)求抛物线的解析式； 一(3)若正

26、方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S ,求S关于滑行时间t的函数关系式，弁写出相应自变量 t的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C , E两点间的抛物线弧所扫过的面积.第22页共47页4.24如图，点 A、B坐标分别为(4,0)、(0, 8),点C是线段OB上一动点，点 E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE 2OC=设CE tt ( 0 =，矩&OEDC与 AOB重合部分的面积为S .根据上述条件，回答下列问题：(1)当矩形CEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；(2)当t 4时，求S的值；(3)直接写出S与t的函数关系式；(不必写出解题过程)(4)若 S 12 it _4.25 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC 的空地进行生态环境改造.已知 ABC的边BC长120米，高 AD长80米.学校计划将它分割成ZXAHG、 BHE、 GFC和矩形EFGH四部分(如图).其中矩形 EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在 AHG上种草，每平米投资6元；在 BHE、AFCG上都种花，每平方米投资 10元