八年级数学上册17.2直角三角形中考名题点评素材(新版)冀教版

1、中考名题点评2 2例 1 ：证明边长为 3(2m+ 3),2m 6m,2m 6m 9(m 是正整数)的三角形是直角三角形。2 2证明：/2m 6m 92m 6m,22m 6m 9 3(2m + 3),2 2m 6m 9是最长的一条边。(2m26m 9)2=(2m26m)=(2m?6m)2+ 18(2m26m)+ 81=(2m2+6m)2+3(2m+3)，所以根据勾股定理的逆定理可知，以此三数为边长的三角形是直角三角形。2 2例 2:试判断：三边长分别为2n +2n, 2n+ 1,2n +2n + 1(n 0)的三角形是否是直角三角形？点悟：先确定最大的边。解：(2n22n 1) -(2n22n

2、)=10,2 2(2n 2n 1)(2n -1) 2n0(n 0)2 2n 2n 1为三角形中最大边。又(2n22n 1)2=4n48n38n24n 1222432(2n2n)- (2n 1)=4n 8n8n14n2 2 2 2 2.(2n2n 1) -(2n 2n)(2n1)根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形22 2例 3 :如果 ABC 的三边分别为 a、b、c,且满足 a b 50 =6a - 8b - 10c,判断ABC 的形状。点悟：要判断 ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件2 2a b 50 =6a - 8b - 10c，故只有从该条件入手，

3、解决问题。解：由a + b +40 =6a+8b+10c，得2 2 2a -6a 9 b -8b 16 c -10c 2 5=0，2 2 2. (a -3) (b-4) (c-5)=0。(a-3)2H0,(b-4)2Z0,(c-5)2H0。a= 3, b= 4, c= 5/ 3242=52,.a2b2二c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。点拨：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的。例 4 :在正方形 ABCC 中(图 1- 18) F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC=4BC 求证：/ EFA= 90。圈1-18证明：设正方形 ABCD 勺边长为

4、 4a，贝 U EC= a, BE= 3a, CF= DF= 2a,Rt ABE 中，由勾股定理得：AE2二AB2 BE2=(4a)2 (3a)2=25a2。在 Rt ADF 中，由勾股定理得：AF? DF ? = (4a)? (2a)?。2 2 2 2 2 2在 Rt ECF 中，由勾股定理得：EF =ECCF=a (2a)=5a。32 2 2 2 2在厶 AFE 中，AF +EF =20a +5a =25a。又AE2=25a2, AF2EF2二AE2。由勾股定理的逆定理可知： AEF 为 Rt，且 AE 为最大边，/ AFE= 90。例 5:如图 1 19,已知 ABC 中，/ ACB=

5、90, CDAB 于 D,设 AC= b, BC= a, =c,CD= h,求证：图1-19(1) c+ ha+ b;(2) 以 a+ b, c + h, h 为三边可构成一个直角三角形。证明：(1)在 Rt ABC 中，/ CDL AB,即 ab = ch。ab-(c + h) (a + b)ab(c ) -(a b)cc2ab -ac -beABSABC= -CD ABAC CB2 24cc(c -a) -b(c -a)(c a)(c b)=c又在 Rt ABC 中，AB= c 为斜边， ca, cb。(c _a)(c _b)0c。即(c + h) (a + b)0。-c+ ha+ b。(

6、2)由(1)得ab二ch =2SABC,a2bc2。2 2 2(c h)二c h 2ch=c2h24SABC2 2 2 2 2(a b) h二a b 2ab h=c h4S.ABC(a b)2h2=(c h)2以 a+ b, h, c + h 为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。点拨：要比较 a 与 b 的大小，可先求 a- b,再将结果与 0 比较。若 a b0,则 ab; 若 a b =0,贝 U a = b,若 a b0,则 ab。直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半。 故两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。常用此来求出斜边上的高。例

7、 6:如图 1 20, ABC 中，/ C= 90, M 是 BC 的中点，MDLAB 于 D,52 2 2求证：AD二AC BD999点悟：欲证AD =AC +BD，只须将 BD 用 AD AC 表示出来即可，这样有2 2 2 2 2BD =BM -MD2= CM2-MD2 2 2 2 只要证明AD二AC(MC-MD )即可。即证明2999AD2MD = AC2CM2就可以了。证明略。2na、b、c,且 a= n, b =4,是大于 2 的偶数)。求证： ABC 是直角三角形。证明:=1616 22 c由勾股定理的逆定理，得 ABC 是直角三角形。例 8:如图 1 21,在等腰 Rt ABC

8、 中，/ CAB= 90, P 是厶 ABC 内一点，且 PA= 1,PB= 3, PC=7。求：/ CPA 的大小。例 7 :已知在厶 ABC 中，三条边长分别为(n6点悟：已知条件中的 PA PB PC 过于分散，可将其集中到一个或两个三角形中，再应用三角形的有关知识解决问题。7解：在厶 ABC 外部作 AQ3AAPB 连结 PQ 贝 UAQ= AP= 1, CQ= PB= 3,/QA(=ZPAB/PA 聊/ PAC= 90,/QACFZPAC= 90,即 / PAQ= 90 。2 2 2 2 2PQ2=AQ2AP2=1212=2 ?/ QPA=ZPQA= 45。在厶 PQC 中 ,PQ2=2 PC2=(.7)2=