数列经典例题(裂项相消法)

1、数列裂项相消求和的典型题型11.已知等差数列an的前n项和为Sn, a5 = 5,S5 = 15,则数列的前100项和为()anan -11009999101A而B ioT C 100 D 1001 ，一 一、. 9 .2 .数列an =，其刖n项之和为 一，则在平面直角坐标系中，直线 (n+1)x+y + n = 0在y轴上的截距n(n 1)10为()A. 10 B. -9 C. 10 D. 93 .等比数列an的各项均为正数，且 2a1 +3a2 =1,a2 = 9a2a6.(I )求数列m的通项公式；(n)设bn =log3 a1 +log3 a2 + +log3an,求数列，的前 n项

2、和.4 .正项数列an满足 an (2n 1)an 2n = 0.(I )求数列 an的通项公式an ；- .1(n)令bn =，求数列bn的前n项和Tn，(n 1)an5,设等差数列an的前n项和为Sn ,且S4 =4S2,a2n =2+1.(I )求数列an的通项公式；b bob 1*(n)设数列bn满足+=+=1- -,ne N，求bn的前n项和Tn. a1 a2an26.已知等差数列an满足：a3 =7,a5 +a7 =26. an的前n项和为Sn .(I )求七及Sn ；1(n)令bn =(nu N ),求数列bn的前n项和an -11、27 .在数列an中，a1 =1,2an+ =

3、(1 + ) an . n(I )求an的通项公式；.1(II )令bn =七十一一 an,求数列。的刖n项和Sn ； 2(出)求数列an的前n项和Tn.8 .已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4.(I )求数列an的通项公式；(n )设bn =(4 -an)qnA(q #0, nw N*),求数列bn的前 n 项和 Sn .29 .已知数列an满足 a1 =0,a2 =2,且对 Vm,n W N 都有 a2m+ a2n=Zam+ 2(m n) .(i )求 a3,a5；(n )设bn =a2n书a2n(n w N ),证明：0是等差数列； n 1*(出)设Cn =(an书an)q

4、(q#0,n=N力求数列g的前n项和Sn .10 .已知数列an是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a3a6 =55e2+a7 =16 .(i )求数列an的通项公式；b1b2b3b*(n)数列J an和数列J bn满足等式an =+若殍+T(nW N，求数列bn的前n项和Sn .222211 .已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且Si,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；n _1 4n(2)令b2 =(1)，求数列bn的前n项和Tn.anan 112 .正项数列an的前 n项和 Sn满足：S： -(n2 +n 1)S0-(n2 +n) =0.求数列an的通项公式an

5、；一n 1* 工 一 _5(2)令bn = 2方,数列bn的前n项和为Tn,证明：对于V n = N，都有Tn 一 .(n 2)2a264答案：1. A; 2. B3 .解：(I )设数歹U an的公比为 q,由 a32=9a2a6有 a32=9a42, 1- q2=4.由条件可知各项均为正数，故q二.3由 2a1+3a2=1 有 2a1+3a1q=1 ,a1=.,:i故数列an的通项式为an=. 3n，一、d 、 a, 、* 一口(+1)(n) bn= log:+ log? +11+log21 1+2+ -+n) = ，故-= -= - 2 ( - -3)bn n (n+1) n n+1贝U

6、，+-L+t-L= _ 2 (1-1) + (1-1) + (1-=bj b2bn22 3 n n+1n+1，数歹U _!_的前n项和为 bnn+14 .解：(I)由正项数列an满足：a2 - ( 2n- 1) ar2n=0,可有(an- 2n) (an+1) =0.3n=2n.(n )an=2n , bn=；i-,In+1?黑b 一 i 一 i un (n+1) an 2n (n+1)2 n n+1Tn(1)=工2 T2 3 n n+12n+12n+2数列bn的前n项和Tn为一.2n+25.解：(I)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S4=4S2, 32n=2an+1有:4&+6d=

7、8aa+ (2n_ 1) d= 2a2 (n- 1) d+1L 11解有 ai=i, d=2, * an=2n - 1, n N .bi bnbn 1*(n )由已知+ , ,+=1 , n N , 有：al a22n当 n=1 时，-=-,aj 2当 n或时，-= (1 - ) - ( 1J) =,n=1 时符合.,nN% 2n*由(I )知，an=2n - 1, nN .2n- 1bn=,2nn=+-r+- +2 22 23 2n2n-l_31 2n-l 2 ml 2 2r1.上3+.+9二型二, 2 22 23 2n 2nH两式相减有：-Itn=.l+ (且+卫+-+2) 2222 23

8、 2n.Tn=3-.2n6.解：(I )设等差数列an的公差为d,电=7 , a5+a7=26,有a 1+2d=725+10*26 解有 ai=3, d=2, an=3+2 (n-1) =2n+1 ;Sn=n 卜X2=n2+2n；-M(n )由(I )知 an=2n+1 ,bn=- 1 C2n+1 ) 2 -1 4 n (n+l)4n n+122.,1=.=_n+14 (n+1)即数歹U bn的前n项和Tn=4 (n+1)7.解：（I ）由条件有arr1-l _ 1 _ %i an；T-2=o-5,又 n=1 时，-n-1，(n+1)* 2 n*n2故数列门】构成首项为n-IQ-I21,公式为

9、工的等比数列.二. 一即a二二二2n2 2 n 2皿, X 1(n+1)(n )由b* n 2n2 2n+l 右 口 3一二有S22n 2rL 11 2+2n+l2n2n- 1 2n+l再+诃1 X _ 2n+l2n 21THn_+4n+62kl8.解：（I ）设an的公差为d,两式相减，有：S , ： . I 2 n 22 2（出）由Sn=（气+叼+ /h）4+为IT%）有丁”11 + %1 -乱二工, , Tn=2Sn+2a1 _ 2an+1= 12由已知有3,+3d= 68ai+28d=- 4I 1解有 a1=3, d=- 1故 an=3+ (nT) (T) =4 - n;(n)由(I)

10、的解答有,bn=n?qn 1,于是Sn=1 ?q0+2 ?q1+3?q2+-+n?qn 1.若q月，将上式两边同乘以 q,有qSn=1 ?q1+2?q2+3?q3+n?qn.上面两式相减，有(q-1) Sn=nqn- ( 1+q+q2+- +qn 1) =nqn-q-1“一； JiSn=： (Q-1) 2若 q=1 ,则 Sn=1+2+3+ +n=2(n+1) qn+l(q-D &廿1)n=1,可有 33=2电-a+2=6a1+8=209.解：(I )由题意，令m=2, 再令 m=3, n=1 ,可有 a5=2a3 -(n )当 n CN 时，由已知(以 n+2 代替 m)可有 a2n+3+a

11、2n-1=2a2n+1+8于是a2 (n+1) +1 a2(n+1) 1 _ ( a2n+1 - a2n - 1)=8即 bn+1 - bn=8bn是公差为8的等差数列(出)由(1)( n )解答可知bn是首项为b1=a3- a1=6,公差为8的等差数列贝U bn=8n 2,即 a2n+1 a2n 1=8n 2另由已知(令m=1)可有2an=( n T )- a2n-l - Sn-2 - an+1 an=2n+1=- 2n+1=2n日n 1当q=1时,当q省时，两边同乘以_ 1Cn=2nqSn=2+4+6+2n=n (n+1)qSn=2?q +4?q +6?q +- +2n?q .上述两式相减

12、，有Sn=2?q0+4?q1+6?q2+2n?qn 1(-q) SK(1+q+q2i+qn1) - 2时=2?空-2nqJ，：9.I(Q-1) 2n (n+1)(q=1)廿1)综上所述，、=，- (n+1) q+l 2*3(Q-1) 310 .解：(I)设等差数列an的公差为d,则依题意可知d0由a2+a7=16,有，2ai+7d=16 由 a3a6=55,有(ai+2d) (ai+5d) =55由联立方程求，有 d=2, ai=i/d= - 2, ai=-y (排除)an=i+ ( n- i) ?2=2n - i (n )令 Cn=贝u有 an=ci+c2+ +cn2nan+i=Ci+C2+

13、 -+Cn+i两式相减，有an+i an=Cn+i,由(1)有 ai = i , an+i - an=2 , - 5+1=2 ,即 Cn=2 ( n 或),即当n段时，bn=2n+1,又当 n=1 时，bi=2ai=2(2, (n=l)bn=.一；于是 Sn=bi+b2+b3+. +bn=2+23+24+ 2n+1=2n+2 - 6, n 2,Ms142-6 n22X 1、，11 .斛 (1)因为 Si = ai, S2 = 2ai+ 2 *22ai + 2,一 .4X3.S4= 4ai + 2 *24a1+12,由题意得(2ai+2)2= ai(4ai+12),解得 ai=1,所以 an=

14、2n 1.n 14nn 1 4nn 1111):=(T)(2n1(2n+1 :)+ 磊)2n2n+ 1当n为偶数时,3。+”（3 + ”.十（十二）1十二 I 不当n为奇数时,111十十尹（12n 31 , ； 12n-1)+(2n-1 +12n+ 1)=1 +12n+ 12n +22n+2,n为奇数,2n+ 1所以Tn2n|上一，n为偶数.2n+ 1n 12n+1 + f1 (或 Tn=L2n+ 112 . (1)解 由 4 (n2+n 1)Sn (n2+n) = 0,得Sn-(n2+n)(Sn+ 1)=0,由于an是正项数列，所以 Sn+10.所以 Sn= n2+ n(n C N ).n2 时，an= Sn Sn 1