二次函数的图像和性质第一四版

1、二次函数y ax2的图象和性质一、教学目标(一) 学习目标1 会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念；2 通过观察图象，能说出二次函数 y=ax2的图象特征和性质；3在类比探究二次函数 y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图 象和性质的根本方法和数形结合的思想.(二) 学习重点会画二次函数y=ax2的图象，理解其图象特征和性质.(三) 学习难点用描点法画二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联 系.二、教学设计1. 知识回忆(1) 二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c (a0的函数叫做x的二 次函数.(2) 一次函数

2、y=kx+b (20的图象与性质：图象是一条直线；当 k>0时，直 线通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线通过二、四象限，y 随x的增大而减小.(3) 研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象.(4) 画函数图象的主要步骤：列表.描点.连线.2. 问题探究探究一画出二次函数y ax2的图象活动合作探究1实践操作：用描点法画y x2的图象。解：1列表：师：列表时应注意什么问题？生抢答：数据的代表性正、负、0都要包含、简单性尽量选择整数和较小的数据、多样性至少选择 5个数据进行描点x-3-2-10123y94101492描点：师：在平面直角坐标系中描点时应以哪些

3、数值作为点的坐标？ 生抢答：一组x和y的对应值就是一个点的横、纵坐标3连线:师：连线时应注意什么？生抢答：平滑的曲线连接用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y x2的图象.2、观察探究：观察y x2这个函数的图象，它有什么特点？1你能描述图象的形状吗？2图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？(3) 图象有最低点吗？如果有，坐标是什么？(4) 当x<0时，随着x值的增大,y的值如何变化？当x>0呢？(5) 当x取什么值时,y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的? 特点：图象是一条抛物线，开口向上；(2) 原点(0,0)是图象的顶点，也是最低点，当 x=0时，函数y有最小值0；

4、(3) 图象是轴对称图形，对称轴是y轴(直线x=0)；在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，y在对称轴的左侧时,y随着x的增大而减2y=x时所经过的路线 叫做抛物线.的图象形如物体抛射我们把它随x的增大而增大.是它的对称轴.10在对称轴的右 侧时,y随着x 的增大而增大这条抛物线关于y轴对称,y轴就对称轴与抛物线的交点叫做 抛物线的顶点3-2抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点 是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸 展;当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.探究二二次函数y ax2的图象及性质活动自主探究1.画出函数y 2x2 ,

5、 y - x2的图象:2(1)列表:x.-2-1012.y=2x2.82028.1 2 y= _x2.2120122.(2)在平面直角坐标系中描点:1用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y 2x2，y 2x2的图象-2.思考归纳函数y 2x2， y - x2的图象与函数y x2的图象相比，有什么共同点和不2同点？学生讨论后答复，教师点拨相同点：图象都是抛物线，都开口向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对 称轴是y轴，当x=0时，y的最小值是0；在对称轴左侧，y随x的增大而减小, 在对称轴右侧，y随x的增大而增大.不同点：a (a>0)越大，抛物线的开口越小.猜测：二次函数的开口方向是由什

6、么决定的？开口大小的程度又是由什么决定的？活动类比探究1.画出函数y x2 ，y 2x2，y- x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.相同点：图象都是抛物线，都开口向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对 称轴是y轴，当x=0时，y的最大值是0；在对称轴左侧，y随x的增大而增大, 在对称轴右侧，y随x的增大而减小。不同点：|a越大，抛物线的开口越小.思考：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由什么决 定的?开口方向：由a的正负决定正，开口向上；负，开口向下开口大小：由a的大小绝对值决定一一a越大，抛物线的开口越小2.归纳慨括：二次函数y=ax2的性质是什么？ 小组讨

7、论，列表归纳：y ax2a>0avO图像中TL开口开口向上开口向下la |越大，开口越小对称性关于y轴对称或直线x 0对称顶点顶点坐标是原点0,0顶点是最低点顶点是最高点增减性在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小最值当x=0时，函数y的最小值是0当x=0时，函数y的最大值是0舌动性质应用1. 抛物线 y6x猜测：y ax2与y 结论：y ax2与y探究三拓展应用活动二次函数y开口向，对称轴是，顶点坐标是在对称轴 侧，y随着x的增大而增大，在对称轴 侧，y随着x的增大而减小；当 x= 时，函数y的值

8、最小，最小值是 ；抛物线y 6x2在x轴的 方除顶点外22. 抛物线y 2x2在x轴的方除顶点外，在对称轴的左侧，y随着x3的增大而，在对称轴的右侧，y随着x的增大而；当x=0时，函数 y的值最大，最大值是 ;当 x0时，y<0.舌动比照探究1.比照：观察抛物线y x2与yx2，思考它们有什么关系?ax2的图象有什么关系？ax2的图象关于x轴对称ax2解析式确实定例1抛物线y ax2经过点A -3，-181求此抛物线的解析式;(2) 判断点B (-2, -6)是否在此抛物线上.(3) 求出此抛物线上纵坐标为-10的点的坐标.【知识点】二次函数解析式【解题过程】解：(1)把(-3， -18

9、)代入 y=ax?,得-18=a(-3)?,解出 a= -2.所求抛物线解析式为y= -2x2.(2) 因为62( 2)2，所以点B(-2，-6)不在此抛物线上.(3) 由 -10=-2x2,得 x2=5,. x 5 .所以纵坐标为-10的点有两个，它们分别是C. 5, 10),(5, 10).【思路点拨】由于y ax2中只有一个待定系数a所以只需一个条件(图象上一个点的坐标或一对对应值)，利用待定系数法就可以确定其解析式.判定一个点是否在抛物线 上，只需把这个点的坐标代入抛物线解析式看左右两边是否相等就可判定【答案】(1) y= -2x2 ； (2)不在此抛物线上；(3) C 5, 10),

10、( . 5, 10)练习：一个抛物线形涵洞如下图，在平面直角坐标系中，当水位在EF位置时，水面宽度为12m，此时水面到桥拱的距离是 关系式为()2 2 1 2A. y9xB. y 9xC. y x9【知识点】二次函数y ax2图象及性质.E、F的坐标代入【数学思想】数形结合【思路点拨】用待定系数法设函数解析式，再根据题意找到点 即可。【答案】C【设计意图】熟练运用待定系数法确定函数解析式，是求解二次函数问题的根本技能3课堂总结 1二次函数的图象是一条抛物线 .2二次函数y=ax2性质： 开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 对称轴：对称轴是直线x=0 或y轴. 顶点坐标：顶点是原点，即0，0. 增减性：当a>0时，在对称轴左侧即x<0时，y随x的增大而减小，在对 称轴右侧即x>0时，y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧即x<0 时，y随x的增大而增大，在对称轴右侧即 x>0时，y随x的增大而减小. 最值：