泰勒公式与极值问题

1、第十七章多元函数微分学§ 4泰勒公式与极值问题§4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式.教学方法：讲授法.教学步骤：一 高阶偏导数由于z f(x,y)的偏导函数fx(x, y), fy(x, y)仍然是自变量x与y的函数，如果它们关于x与y的偏导数也存在，则说函数 f 四种情形：具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下y x2z2yx22x y注意 从上面两个例子看

2、到，这些函数关于22x y22 2 ,x y22x y22 2 ,x y2xy22 2 .x yx和y的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这种既有关于x混合偏导数),2zx, y2, xxyx2,x0,又有关于y的高阶偏导数称为2zx y但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数0.0,x2它的一阶偏导数为fxx, yfyx, y2 24x y22 2x y0,x24,22x x 4x y2y4y0,0,22 2x y0,x22,x0,y2 0,进而求f在(0, 0)处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得fxy 0,0fx lim 一 y 0fyx 0,0fy lim x 00, yfx0,0

3、yx,0fy 0,0xlim y 1,y 0 y. x .lim 1 .x 0 x由此看到，这里的 f x, y在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把fxy x0, y0与fyx x0, y0表示成极限形式.由于fx x, y因此有fx xo,yoyfx xo, yofxy xo,yoImy 0y.1 . f xox, yoy f(xo,yolim lim y 0 y x 0xlim f %x,yof(x0,yo)x 0y)limy o类似地有. f xox, yo y f (xo, yo y) f x0x, y°

4、; f (xo, yo)lim x 0x yfyx xo , yofxox,yoy f (xox,yo) fxo, yoy f (xo,yo)lim lim -x 0 y 0x y为使fxy xo, yofyx x0,yo成立，必须使 ,(2)这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序.下述定理给出了使极限(1), (2)相等的一个充分条件.定理17.7 若fxy, x, y和fyx. x,y都在点连续，则fxy x0 , 丫0fyx x0 , No证令F( x, y) f (xo x, yo y)f(x0x, yo)f(xo,yoy) f (xo, yo),xf(x, yoy) f (x

5、, yo)于是有F( x, y) (x0 x)(xo).4由于函数f存在关于x的偏导数，所以函数可导。应用一元函数的中值定理，有(xox)(xo)' x i x xfx xo 1 x, yoyfx xo1 x, y°x.(0 i 1)又由fx存在关于y的偏导数，故对以 值定理，又使上式化为(Xox)(Xo)y为自变量的函数 fx(xofxy Xo 1 x,yo 2 y1 x, y)应用一元函数中x y.由4则有f( x, y)fxy Xo如果令(y)f (x0则有(01, 21)，1 x, yo2 y x y.(01, 21)，x, y)f (xo,y),F( x, y) (

6、yo y) 用前面相同的方法，又可得到(yo) .F( x, y)fyx(Xo3 x, yo4 y) x yf x x, y f x, ylim x 0(03, 41)(6)当x, y不为零时，由(5), (6)两式得到fxy (Xo1. x，Vo 2 y) X y fyx(Xo 3 x, yo4 y) x y(01, 2, 3, 41)由定理假设fxy x, y与fyx x, y在点(xo, yo)连续，故当 x 0, y0时，式两边极限都存在而且相等，这就得到所要证明的(3)式.这个定理的结论对 n元函数的混合偏导数也成立。如三元函数u f (x, y, z),若下述六个三阶混合偏导数fx

7、yz(x,y,z),f yzx (x, y, z) ,fzxy(x,y,z),fxzy(x,y,z),f yxz(x, y,z),fzyx(x,y,z)在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数z f(x, y)在点(x,y)存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点m( n)阶混合偏导数都与顺序无关.今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序 无关.下面讨论复合函数的高阶偏导数.设z是通过中间变量x,y而成为s,t的函数，即z f(x, y)其中x (s,t), y (s,t),若函数f,都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的 z对s,t

8、同样存在二阶连续偏导数。具体计算如下：zzxzysxsyszzxzytxtyt显然上与上仍是s,t的复合函数，其中二，二是x,y的函数，上，上，上，N是家s tx ys t s t的函数。继续求z关于s,t的二阶偏导数2zzxzx2一一一ssxsxssz _y zys ys ys s2 z x-2x s22z yxzx2x y ssxs222z _x z y y z y22y x s y s s y s22z x2x s22z y2y s2z x2x s2y2 . s同理可得2 zF2 zy2 zs t2 z2 z2x2yt2z22xz x y-2t2z xx t2x xs t2z xt2x

9、y x y s tt s2y2y s2zat sx例3设z f x, ，求 y2 z-2 x解 这里z是以x和y为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式:f(u,v),u x, v由复合函数求导公式有zx注意，这里上，f仍是以u vu,v为中间变量x,y为自变量的复合函数.所以2 z2 x2 f u-2'u xf1 f.x uf v22f v 1 f u2f vu v2f2 uy2fv u x1 2fy2fy v2f vu2 y2fu v y2f vy2fv u yx 2f二中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于n元函数（n 2）

10、也有同样的公式，只是形式上更复杂一些.在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念.若区域D上任意两点的连线都含于 D,则称D为凸区域（图17-6）.这就是说，若D1),，恒有为凸区域，则对任意两点P1 (x1, y1), P2(x2, y2)D和一切(0P(xi(x2 xi ), y1(y2y1) D.凸区域定理17.8 （中值定理） 可微，则对D内任意两点图l"西设二元函数f在凸开域D R2上连续，在f (a h,bfx(a证令P(a,b),Q(a h,b k) f(a,b) h,b k )h fy(ak)h,bint D,存在某 （0k)k.D的所有点内都1）,使得(8)（t） f

11、（a th,b它是定义在0,1上的一元函数，由定理中的条件知tk).t在0,1上连续，在0,1内可微.于是根据一元函数中值定理，存在(01)使得 (0)().(9)由复合函数的求导法则'（）fx（a由于D为凸区域，所以（a注意若D是闭凸域, 都有h,bh,bk)hk)fy(aD ,h,b k）k.故由（9）, （10）即得所要证明的（且对 D上任意两点R（xi, yi）, P2（X2, y2）及任意（0(10)8)式.1)，P（X1（X2X1）,则对D上连续，int D内可微的函数例如D是圆域（x,y）（x）2y1 f ,(y则必有（8）式成立，倘若D是矩形区域(y2 只要y)2 a,

12、 byj)P,Q2rc,dint D,D ,也存在 (0,1)使(8)式成立.f在D上连续，在int D内可微，那就不能保证对D上任意两点P,Q都有（8）式成立（为什么？）公式（8）也称为二元函数（在凸区域上）的中值公式.它与定理17.3中值公式（12）相比较，差别在于这里的中值点（a h, b k）是在P,Q的连线上，而在定理17.3中1与2可以不相等.推论若函数f在区域D上存在偏导数，且 fxfy 0,则f在区域D上为常量函数.请同学们作为练习自行证明（注意本推论与§1习题16（2）两者证明的差别）.定理17.9 （泰勒定理） 若函数f在点Po（Xo, y°）的某邻域U

13、 （Po）内有直到n 1阶的连续偏导数，则对U（Po）内任一点（X0 h,y°k）,存在相应的（0,1）,使得f (xo h, y° k) f(Xo,y0) (h k)f (Xo, yo)x y12 .金y k-) f(x0,y0)1n,MG k-) f(X0，y0)n 1 -(11)(h k)f(xoh, y。k).x y(11)式称二元函数f在点Po的n阶泰勒公式，其中mm(h k)m f (xo,yo)CmI-imy f (x0,yo)hikmx yi o x y与定理17.8的证明一样.作函数 f(x° th,yo tk).，于是有由定理的假设，一元函数(

14、t)在0,1上满足一元函数泰列定理条件(1)(0)(n)(0) n!'(0)"(0)1!2!(n 1)()3(0(n 1)!1).(12)应用复合函数求导法则，可求得(t)的各阶导数:(m) (t) (h k)mf(x0 th,y° tk). (m 1,2, ,n 1). x y当t 0时，则有(m)(0) (h k )mf(x0,y。)(m 1,2,n).(13)x y及(n 1)n 1()(h k)f(x° h, y°k).(14)x y将(13), (14)式代入(12)式就得到所求之泰勒公式(11).易见，中值公式(8)正是泰勒公式(11

15、)在n0时的特殊情形.若在公式(11)中只要求余项R ( n)(相一")，则仅需f在U(P0)内存在直到n阶连续偏导数，便有f(x° h, y0 k)n 1 ,、P ,、， n、f(x0,y0)(h k ) f(x0,y0)().(15)p 0 p! x y,并用它计算(1.08)3.96.例4 求f(x, y) xy在点(1,4)的泰勒公式(到二阶为止)解 由于x01, y04,n 2,因此有f (x,y) xy, f (1,4)1,fx(x, y) yxy1,fx(1,4)4,fy (x, y) xy In x, fy (1,4)0,fx2(x, y)y(y 1)xy

16、2, f .x(1,4)12,fxy (x, y)xy 1yxy 1 In x, f (1,4)1.fy2(x,y)xy In x 2, fy2(1,4)0.将它们代入泰勒公式(15),即得 y422xy 1 4(x 1) 6(x 1) (x 1)( y 4) o .若略去余项，并让 x 1.08, y 3.96,则有1.08 居61 4 0.08 6 0.082 0.08 0.04 1.3552与§ 1例7的结果相比较，这是更接近于真值(1.356307)的近似值.因为微分近似式相当于现在的一阶泰勒公式.三极值问题多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进

17、行讨论.定义 设函数f在点P0x0,y。的某邻域 B内有定义.若对于任何点P x,y UP。，成立不等式f Pf (P0)或 f Pf(P0)，则称函数f在点P0取得极大(或极小)值，点P0称为f的极大(或极小)值点.极大值、 极小值统称极值.极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.例 5 设 f (x, y) 2x2 y2, g(x, y) / x2 y2, h(x, y) xy.由定义直接知道， 坐标原点(0,0)是f的极小值点，是g的极大值点，但不是 h的极值点.这是因为对任何点 (x, y),恒有 f(x, y) f (0,0) 0 ；对函数(x, y

18、) (x, y)x2 y2 1 ,恒有 g(x,y) g(0,0) 1；而对于函数h,在原点的任意小邻域内，既含有使h(x, y) 0的I、m象限中的点，又含有使h(x, y) 0的n、iv象限中的点，所以 h(0,0) 0既不是极大值又不是极小值.口由定义可见，若f在点x0,y0取得极值，则当固定y y0时，一元函数f x,y0必定 x x0在取相同的极值上.同理，一元函数f x0,y.在y y°也取相同的极值.于是得到二元函数取极值的必要条件如下：定理17.10 (极值必要条件)若函数f在点P0 x0,y0存在偏导数，且在P0取得极值，则有fx x0, y00, fy x0, y

19、00.(16)反之，若函数f在点P0满足(16),则称点P0为f的稳定点.定理17.10指出：若f存 在偏导数，则其极值点必是稳定点。但年I定点并不都是极值点，如例 5中的函数h ,原点 为为其稳定点，但它在原点并不取得极值.与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。例如 f(x,y) xxy2在原点没有偏导数，但 f(0,0) 0是f的极小值.为了讨论二元函数 偏导数，并记f在点P0 x0,y0取得极值的充分条件，我们假定f具有二阶连续Hf(P0)fxx(P0)fxy(P0)fyx(P0)fyy(P0)(17)它称为f在P0的黑赛(Hesse;)矩阵.定理17.11 (

20、极值充分条件)设二元函数f在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0)内具有二阶连续导数，且P0是f的稳定点。则当H f (P0)是正定矩阵时，f在P0取得极小值；当H f(P0)是负定矩阵时，f在P0取得极大值；当H f(P0)是不定矩阵时，f在P0不取极值.证 由f在P0的二阶泰勒公式，并注意到条件fx(P0) fy(P0) 0,有f(x, y) f(xo,yo)1T222( x, y)H f (Po)( x, y) o x , y .由于 Hf(P0)正定，所以对任何(x, y) 0,0, 恒使二次型Q( x, y) ( x, y)Hf(Po)( x, y)T 0.因此存在一个与 x,

21、y无关的正数q,使得_22Q( x, y) 2q( x , y ).从而对于充分小的 U(Po), 只要 (x, y) U(Po) 就有222222f x,y f x0,y0q x y ox y x y q 10即f在点(x0,y°)取得极小值.同理可证H f (P0)为负定矩阵时，f在P0取得极大值.最后，当Hf(P0)不定时，f在P0不取极值.这是因为倘若f取极值(例如取极大值)，则沿任何过 P0 的直线 x x0 t x, y y° t y, f (x, y) f(x0 t x, y° t y) t , 在t 0亦取极大值.由一元函数取极值的充分条件&quo

22、t;(0) 0是不可能的(否则 在t 0将取极小值)，故"(0) 0.而'(t)fx x fy y,、 一 22(t)fxx x 2fxy x y fyy y ,"(0) x y H f (P0) x y T.这表明H f (P0)必须是负半定的。同理，倘若 f取极小值，则将导致H f (P。)必须是正半定的。也就是说，当 f在P0取极值时，H f (P0)必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设相矛盾.根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成如下比较实用的形式：若函数f如定理17.11所设。P0是f的稳定点，则有：(ifxxP。0,(

23、fxx fyyfxy)P00 时，f 在点P。取得极小值；(ii)当fxxP00,( fxx fyyfxy)P00 时，f 在点P0 取得极大值；(近)当(fxxfyyfxy) P00时，f在点P0不能取得极值；(iv)当(fxx fyyfxy) P00时，不能肯定f在点P0是否取得极值例 6 求 f (x, y) x2 5y2 6x 10y 6 的极值. 解由方程组fx 2x 6 0,fy 10y 10 0得f的稳定点P0 3, 1 ,由于fxxP0fyyP0因为f在点P0取得极小值f(3, 1)2, fxy P00,2_10,( fxx fyyfxy) P020.8.又因f处处存在偏导数，

24、故(3, 1)为f的惟一极值点.例7讨论f (x, y) x2 xy是否存在极值.解 由方程组fx 2x y 0, fy x 0得稳定点为原点.因 fxx fyyfx21值点。例8讨论f （x, y）解容易验证原点是0,故原点不是f的极值点。又因f处处可微，所以f没有极(y x2) yf的稳定点,22x在原点是否取得极值.2f在原点是否取到极值.但由于当x22 、y 2x 时 f(x, y) 0,而当 y 2x 或yx2时,且在原点fxxfyyfxy0,故由定理17.11无法判定f（x,y） 0,（图177）,所以函数f不可能在原点取得极值.图 17-8在区域由极值的定义还知道，极值只是函数f在某一点的局部性概念.要获得函数f地D上的最大值和最小值（由上一章知道在有界区域上的连续函数一定能取得最大值与最小值），与一元函数的问题一样，必须考察函数f在所有稳定点、无偏导点以及属于区域的界点上的函数值.比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在D上的最大（小）值.例9证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小.证 分别为设圆的半径为a .任一