二次根式的化简与求值

1、精品资料欢迎下载二次根式的化简与求值代数式的化简与求值始终是一个经久不衰的问题，它包含各类技巧的运用.而二次根式的化简与求值中的技巧更加灵活，有些题的解法更加新颖.其中重要的方法有：分解 因式、配方、运用公式、换元等方法 .例1、化简：32-2 .352 - 2 55267 _2師分析：此题每一个分式的分子与分母都有根式，显然此题要去掉分母中的根号，所以比较自然的想法是分母有理化.但是，计算过于复杂，容易出差错，故不予采纳.观察这个需要化简的式子中的第一个分式，分母为 5 - 26,分子为 32- 23,易发现23=6, ( . 2 )2+ (3)2= 5, Z6 2= 2 .3,6 . 3

2、= 32.将这些所发现的式子结合起来则分子=.6(32).分母=(3)2 232+ (2)2=(32)232 -2 3=6( 3 - 2) =65 -2、6 C3 - 2)23 - .26( 3 - 2)10( 5 - 2)( 3 - 2)2(一5 -、2)25 22 5=3.2+ 23+3=14血+6“ +2岛=3说明：本题运用了许多因式分解的知识，比如a , b -b】a = 一ab( a-疳b)(a 0 b 0)a+ b 2ab = (a -b)2(a 0 b 0).而一般 a+ b 2ab会写为 c2、.ab,这样便 a + b= c,让 a+ b 显得比较隐蔽，但可以 2ab中观察出

3、 a、b,使 a + b这时再化简就不难了解：原式=+V10. 5 -、210( 52)3精品资料欢迎下载=c.例 2、化简：(1)7-4 3(2). 6 . 8 12 、24分析：所化简的 2 例均为复合 2 次根式，即一个根号里面还有根号.这种题一上手，觉得好恐怖，认为无从下手.我们不妨冷静下来观察式子，第一个式子让我联想到上题c2ab形式，但出现的是 43而不是 23，所以将4 . 3变为 212便于我们观察.因 为 c 2ab要写成( (.a - b)2则要使 a+ b= c，要使12的 12 分解成 2 个因式的积，使 它们的和为 7,才能让 7 43成为( (. a -b)2的形式

4、.显然12=3X4 3+4=7. 743=4+343=(4)2+( 一3)2212=(43)2=(23)2.7 -4.3=23 .再看第2个式子6. 124 ,又觉得无从下手但;6 8 - 12 24可化为62 22 32 6根式中的后三个小根式前均带有一个 2,又由第一题的经验想到了( (a+ b+ c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2bc+ 2ca 这难道是某种巧合吗？再观察只要使2= a b3= a - c6= b c 再使 a2+ b2+ c2= 6,问题便解决了 .恰好2=23=323=6(1)2(2)2(3)2= 66 2 2 2 3 2 6 f；( 1)2( 2)2(

5、 3)22 12 2 23213=.1+- 2+. 3= 1 +、2+. 3解：(1)原式=；7-4、3=.4-4, 33=.3(2)原式=1 ( 2)2( 3)22 2 2 3 2 6=2+3+1说明：做完这一题我们再次感受到了配方的乐趣，并欣赏到了公式的妙用.在做题中，我们又发现了一项规律,即复合二次根式的化简中，其实是要配成平方式，去掉最外层精品资料欢迎下载的根号.例 3、化简：1014-15-2110141521分 析 ； 若 直 接 分 母 有 理 化 显 得 比 较 恐 怖，而 我 们 不 难 发 现. . . 1 0=2 514 27.15、35, 2 3 7,这时我们发现了公因

6、式！于是只要将此题分子分母同时分解因式再计算，就可以了 .解：原式=.2、5、2、7 -、3、5 -3. 7 2 ,7 3/ 5 x 7( (72 _V3)()(T5 + 77) )=4i -4i(23)( 57)2,3=-(5 26)= 26 5说明：此题运用因式分解，运用得恰到好处，将原本复杂的问题简化了许多abc= 1,求 x.分析：由题日的结构和 abc= 1 这个条件，易想到一道以前做过的一道题:a b * ab c abc aba ab ca ab c ab,这必然让我们联想到这一题的方法.也就是将本题的分母ab * bc * aa b ab b c bc c a caa * ab

7、ab a 1 ab a 1ab a 1=1,这一题好像与本题毫无关系，但其实本题的abxa b abbcxb _ c be=2004,其中c a caa、b、e 是正数,且abc= 1求证:a bab a 1 bc b 1 ca c 1这一题的做法十分简单,利用条件将每个公式分母统abab a 1 bc b 1 ca c 1aab a 1结构与这题的结构极为相似精品资料欢迎下载将因式分解及分式的一些知识运用得特别到位，是一道好题!抽abbeb aca_、a bab a , b、b a, bea . b be b * a、e b、aab a eaabba,=1a亠b ab ab a亠b、b ab

8、 . a/ 1 x= 2004/ x= 2004.解：见分析.说明：联想，化归是做数学题的重要思想，它能给你指引正确的方法，将题目做正确.例5、已知 S= *M + + +1 + + + + Ji +- +-2，求 S 的整X 12222322003220042数部分.分析：S 中每一项的形式为11212,则此题关键在于对V n2（n+1）2=1+1-丄n n 11=2003+1- =2004-V200420042004 S 的整数部分为 2003.说明：本题对,1；2n112配方的技巧性十分强是一道解法巧妙的竞赛题1I 5：）：）2化简.且1I（n；）；）2n2112 2n2(n 1)22n

9、 1-+-n2(n 1)21(n 1)2解：原式=1+11且 S 20032n 1n2n n 1n111+ +1 +20032004精品资料欢迎下载11 1例 6、设 x= 1 + -,求凶，此处凶表示不超过 x 的最大整数.23、2025分析：要求 x 的整数部分X,就需估计 x 的取值，于是就利用 x 的表达式来构造一个 不等式.,_ _ 1 1解： 对任意正整数 k 有.kk _ vJk +1+ 你2j k12k 2(k1 -k)v1v2( i k -k-1)在不等式 Vk令 k = 1、2、3-n,将所得 n 个不等式相加，得 x2( . n T -1 )在不等式丄v2( Vk Jk -1)中令 k = 2、3n,将所得 n 1 个不等式相加，得 x- 1v2(石1)k 2( n 1 -1)vxv2n -1,令 n=2025=4522(20261)vxv89x =88.说明：本题中运用了“夹逼”的方法，夹出凶，使 x 在两个相邻的整数之间.运用根式的变形，是一道巧题！小