二次函数与动态几何问题教师

1、学习好资料欢迎下载二次函数与动态几何问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时,2xOy中，抛物线y = ax bx c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(-3,0)，若将经过AC两点的直线kx b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x = -2(1) 求直线AC及抛物线的函数表达式；(2) 如果 P 是线段AC上一点，设MBP、也BPC的面积分别为S饷P、S曲PC，且S曲CBS也 三3求点 P 的坐标；(3) 设0Q 的半径为 I,圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在O

2、Q 与坐标轴相切的情况?若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由.并探究：若设OQ 的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，OQ 与两坐轴同时相切？答案：(1)解：抛物线的函数表达式为y=x2，4x，3。(2) 如图，过点 B 作 BD 丄 AC 于点 D。113.( 2010 四川成都)在平面直角坐标系直角边MP始终过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点QBP = x，CQ = y，那学习好资料欢迎下载-SBP:S 崗PC=2:3 ,(- AP，BD):(2PC，BD) = 2:3学习好资料欢迎下载 AP : PC =2:3。过点 P 作 PE 丄 x 轴于点 E

3、,OC =66=X+3，解得9点 P 的坐标为（9,-）5555 5(3)(I)假设OQ 在运动过程中，存在圆 Q 与坐标轴相切的情况。设点 Q 为(x0,y0)(1)当oQ 与 y 轴相切时，有X0=1,即X0二1。2当Xo1时，得yo=（-1）4 （-1） 3 = 0 , Q,-1, 0）2当X。=1时，得yo=14 13=8,Q2（1,8）当oQ与 x 轴相切时，有|y=1,即y =12 2当y0=-1时，得-1 =X04X03,即X0- 4X0-4=0，解得x=-2,Q3（-2, -1）2当y =1时，得1 = X04x03,Q5（-2+72, 1）。Q/-2 -2,1）,Q5（-2J

4、2,1）。存在这样的直线 EF，此时，x=66。1PE|AP|CO|AC|/ PE/ COAPEsACO ,2即X04X02 =0,解得X0- -2二2, Q4（-2-2 1）综上所述，存在符合条件的o其圆心Q 的坐标分别为Q1（-1, 0）,Q2（1, 8）,Q3（ -2,- U ,(H)设点 Q 的坐标为(x0,y0)。当OQ 与两坐标轴同时相切时，有y。二Xo。 由y。= X。，2 2 2X04X0X0,即X03X00, / =3 -4 1 - -3：0此方程无解。由壯二-Xo，得2 2X04X0-X0,即X05X00,解得X0Q 的半径r = Xo2时，OQ与两坐标轴同时相切。A .与

5、y轴交于点B；二次函数学习好资料欢迎下载4. (2010 湖北荆门)已知一次函数 y=x 1的图象与 x 轴交于点211yx2bx c图象与一次函数 y=x 1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点的22坐标为(1,0)(1 )求二次函数的解析式；(2)求四边形 BDEF 的面积 S;(3) 在X轴上是否存在点 P,使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点学习好资料欢迎下载P，若不存在，请说明理由。答案：解：(1 )由题意知：当 x=0 时,y=1, B(0，1)，当 y=0 时,x= -2, A (- 2, 0)C二1二1131解得3,所以y x2-3x 1bc

6、=Ob222 2123(2)当 y=0 时，x X 1 =0,解得X1=1,X2=2, D(1,0) E(2,0)AO=3,AE=4. S=SCAE-SABD,2211S=AE 3 AD OB, S=4.5,22(3)存在点 P(a,0),当 P 为直角顶点时,如图，过 C 作 CF 丄 x 轴于 F, / RtABOPsRtAPFC,由题意得，AD = 6, OD = 1,易知，AD / BE,BOOP1a - = .即- =,整理得:a2- 4a- 3=0,解得a=1 或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综PFCF4-a3上所述,满足条件的点P有两个5. (2010 福建泉

7、州南安)如图 1，在Rt ABC中，.A = 90；,AB二AC,BC = 4、2，另有一等腰梯形DEFG(GF / DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在 AB、AC 上，且 G、F 分别是 AB、AC 的中点.(1) 直接写出厶 AGF 与厶 ABC 的面积的比值；(2) 操作：固定 ABC，将等腰梯形DEFG以每秒 1 个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止.设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF G(如图 2).探究 1 ：在运动过程中，四边形CEF F能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说 明理由.探究 2：设在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠

8、部分的面积为y，求y与x的函数关 系式.1当CE二CF AC =2时，四边形CEF F为菱形，此时可求得x=2.-当x =2秒时，四边形2CEF F为分两种情况：当0 x : 2 . 2时，如图 3 过点G作GM _ BC于M.；AB=AC，BAC =90，BC=4、2，G为AB中点,图 2学习好资料欢迎下载-GM -2.又：G, F分别为AB, AC的中点，GF =1BC = 2 2.2；FG =2 .2-x,DC=4、2-x,GM2,重叠部分的面积为：学习好资料欢迎下载y2x)*、2_x)壬6一忌.当0X：2、2 时，y与x的函数关系式为y=6 -2x.当2 ,2X4. 2时,设FC与DG

9、交于点P，则.PDC =/PCD =45：.CPD =90 ,PC =PD作PQ _ DC于Q,则.PQ二DQ二QC二丄件 一2 x）2.重叠部分的面积为：彳44dy二（4、一2 -x） （4 .2 -x）二（4、2 -x）2二x2-2一2x 8.2244综上：当0 x：2 迈时，y与X的函数关系式为y=6-、2x.;一图一6. (2010 福建福州)如图，在平面直角坐标系中，点B 在直线 y= 2X上，过点 B 作X轴的垂线，垂足为G1A, OA= 5 .若抛物线 y=：x2+ bx+ c 过 O、A 两点.6(1 )求该抛物线的解析式；(2) 若 A 点关于直线 y= 2X的对称点为 C,

10、判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由；(3) 如图 2,在(2)的条件下，OO1 是以 BC 为直径的圆.过原点P 与点 C 不重合).抛物线上是否存在点 Q,使得以 PQ 为直径的圆与O标；若不存在，答案：解：(1)该抛物线的解析式为 y=1X2-5X.6 6O 作OO的切线 OP, P 为切点(点O相切？若存在，求出点 Q 的横坐E当2.2X42时学习好资料欢迎下载(2)点 C 在该抛物线上.理由：过点 C 作 CD 丄X轴于点 D，连结 OC,设 AC 交 OB 于点 E.学习好资料欢迎下载425 125m+ = am - M .33 663 209一 3 + 209 亠3 209

11、点 Q 的横坐标为或 的直线I从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴向右平移，到 C 点时停止；I分别交线段 BC、OC点 B 在直线 y= 2x 上， B(5, 10).点 A、C 关于直线 y= 2x 对称， OB 丄 AC , CE = AE, BC 丄 OC, OC = OA = 5, BC= BA = 10.又 AB丄 X 轴，由勾股定理得 OB = 5 ,5.c11 SRQOAB= 2AE OB= 2OA AB, AE = 2 5, AC= 4.5./ / OBA 十/ CAB = 90 , / CAD +ZCAB = 90, / CAD=ZOBA.又T /CDA=

12、ZOAB=90, CDA OAB.CD = AD = ACOA = AB = OBCD = 4, AD = 815C (- 3,点 C 在抛物线 y= 6x2 |x 上.(3)抛物线上存在点 Q,使得以 PQ 为直径的圆与OO1相切. 过点 P 作 PF丄 x 轴于点F，连结 O1P,过点 O1作 O1Hx 轴于点 H .CD / O1H / BA. / C( 3, 4), B(5, 10),1O1是 BC 的中点. 由平行线分线段成比例定理得AH = DH = -AD = 4,OH= OA AH= 1 ./ BC丄 OC,又/OP 为OO1的切线，四边形OPO1C为正方形.又/PFD =/

13、ODC=90,同理可得 O1H = 7.点 O1的坐标为(1 , 7). OC 为OO1的切线.OC = OP = 01C = 01P = 5./ COP= 900. / POF = / OCD . POFOCD . OF = CD , PF = OD . P(4, 3).设直线 O1P 的解析式为 y= kx+B (k0). 把。1(1 , 7)、P(4, 3)分别代人 y = kx+B ,L_ 4/曰 k b =7,k_ 3,得解得34k b =3.,25b =I 3直线1P 的解析式为 y= |x+25.O1相切，则点 Q 为直线 O1P 与抛物线的若以 PQ 为直径的圆与O交点，可设点

14、 Q 的坐标为(m,n)，则有 n= 3m +25,125n= 6m6M整理得 m2+ 3m 50= 0,解得 m=27. (2010 广西桂林)如图，过 A ( 8, 0)、B (0, 8 弱)两点的直线与直线y = 3x交于点 C.平行于y轴02XD学习好资料欢迎下载于点 D、E,以 DE 为边向左侧作等边 DEF，设 DEF 与厶 BCO 重叠部分的面积为 S (平 方单位)，直线I的运动时间为 t (秒).(1)直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围；(2)求 S 与 t 的函数关系式；(3)设直线I与x轴交于点 P,是否存在这样的点 P,使得以 P、O、F 为顶点的三角形为等腰三角形

15、， 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.学习好资料欢迎下载8.若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标; DE=-；3t 8、,3-、,3t=8.,3-2、,3t二等边 DEF 的 DE 边上的高为：12-3t当点 F 在 BO 边上时：12-3t=t,.t=3当 0 t3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：8. 3 - 2、3t-互3 t3S=L（8.32、3t 8.3-2石t）23=(16巧-一廳t)=-V3P +8/3t233当 34.3, FP 4. 3, OPW4-以 P, O , F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO, FP,242

16、4FO=FP 时，t=2 (12-3t),t= , P (，0)-(2010 福建晋江)(13 分)已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.(1)试直接写出点D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上， 点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ _ x轴于点Q，连结OP.0C =3,BC =2，取AB学习好资料欢迎下载2试问在抛物线的对称轴上是否在一点(3V答案：解：依题意得：D -,2 I； 丿；(2)OC=3,BC=2 , B 3,2.抛物线经过原点，设抛物线的解析式为y =ax2 bx a=0又抛物

17、线经过点B (3, 2卢点D -3,2 i：、2丿9a 3b二2,93a b =242422抛物线的解析式为y x2x.93点P在抛物线上，二设点P X,4X2_2x I. 93丿点卩巴進116 64丿422x xx 939一，解得：X1= 0（舍去）或X2：322解得:1）若PQO s . QAO,PQDAQOAO，x，解得:2c51X1= 0（舍去）或X2 :162）若OQP s.：DAO，则-PQDA AOT,使得TO TB的值最大学习好资料欢迎下载x.点P|,6.学习好资料欢迎下载x存在点T，使得TO -TB的值最大423f3、抛物线yx2x的对称轴为直线x，设抛物线与x轴的另一个交点

18、为E,则点E ,0. /点9342丿O、点E关于直线x对称，4 TO =TE要使得卩0 TB|的值最大，即是使得|TE T耳的值最大，课后练习学习好资料欢迎下载x1.如图，点 G D C 在直线a上，点 E、F、Rt GEF 从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直至 EG 与 BC重合.运动过程中 GEF与矩形ABCDt合部分的面积 变化的图象大致是(A )A、B 在直线b上，若a/b,(S)随时间(t)2.如图，抛物线C1：y = x2-4x的对称轴为直线x =a,将抛物线Ci向上平移 5 个单位长度得到抛物线C2,则抛物线C2的顶点坐标为_(2, 1)；图中的两条抛物线、直线x二a

19、与y轴所围成的图形(图中阴影部分)的面积为23. (1 )将抛物线yi= 2x向右平移 2 个单位，得到抛物10DGEADBCF ACaCBby二x学习好资料欢迎下载线y2的图象，贝Uy2=2(x 2)2或(2x2_8x-8)(2)如图，P是抛物线y对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于 点A、B.若厶ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，贝Ut=( 3、1、5或55)2 24.如图 1，已知矩形ABCD的顶点A与点0重合，AD AB分别在x轴、y轴上，且AD = 2, AB = 3，抛 物线y= X2bx c经过坐标原点0和x

20、轴上另一点E(4,0).(1) 当x为何值时，该抛物线的最大值是多少？(2) 将矩形ABCD以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一 动点P也以相同的速度 从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0 t 3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图 2 所示).判断点P是否在直线ME上，并说明理由;以P、N C D为顶点的多边形面积是否可能为5,理由.解：(1)得当X=2时，该抛物线的最大值是 4.(2)点P不在直线ME上.已知M点的坐标为(2, 4),E点的坐标为(4, 0), 设直线ME的关系式为y = kx b.k = -2b=8直线ME的关

21、系式为y = -2x 8当t =H时，OA=AP=1,44即 pH1! 点P的坐标不满足直线ME勺关系式y =2x 8.P4 ,4当t =H时，点P不在直线ME上.4以P、N C D为顶点的多边形面积可能为 5点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，且OA=AP三t点P,N的坐标分别为 (t,t)(t,t24t)2AN二-t 4t(0t0, PN=t23t/ PN / CD, AD 丄 CD,4k十匕=，解得丿2k +b =4于是得学习好资料欢迎下载2112 2-S (CD PNLAD 3 (_t23t) 2 - -t23t 3222当-t3t 5时，解得t =1、2；而 1、2 都在0 t

22、0)的图象经过点B(12, 0)和 C( 0, -6),对称轴为x= 2.(1)求该抛物线的解析式;(2)点D在线段AB上且ADAC若动点P从A出发沿线段AB以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是 否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在， 请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若不存在， 请说明理由；(3)在(2)的结论下， 直线x=1上是否存在点M使厶MPC为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.在 Rt AOC中,AO 8262=10=AD点D在对称轴上，连结DQ则/PDC/QDC由已知/PD

23、C/ACD /QDCZACD DQ/ AC/ DB =AB-AD =20-10=10DQABC勺中位线 DQ 二丄AC = 52AP = AD -PD = AD - DQ =10- 5= 5t = 5 _1 =5(秒)存在t =5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分在RtABOC中，BC二62122=6 5 CQ=3 5解：(1)该抛物线的解析式为亠一 J164(2)存在，设学习好资料欢迎下载点Q的运动速度为每秒 丄、5单位长度5(3)存在过点Q作QH丄x轴于H,则QH =3, PH =9在RtPQH中，PQ =9232=3 10学习好资料欢迎下载2_ 6 = bb =1当MP=M,即M为顶点

24、，设直线CD的直线方程为：y = kx + b贝U：丿解得：丿0 = 2k+bk = 3J二y =3x -6当x =1时，y=3 M(1,-3)2当PM=Pffi，且P为顶点设直线x=1上存在点M(1,y)，由勾股定理得：42y2=90即y二74 M2(1 ,. 74) M3(1 , -. 74)3当QP=Q时，且Q为顶点过点Q作QE丄y轴于E,交直线x = 1于F,则F(1,；)设直线x =1存在点M(1,y),由勾股定理得：(y 3)252= 90即y - -3_ - 65M( 1,山+佟)M( 1, -v65)综上所述：存在这样的五点：M(1 ,-3),M( 1,74),M( 1, v 74),M( 1,-3+ 心65),M(1 ,3J65)6.如图，抛物线y=ax+bx+