二次函数中根的分布问题

1、一元二次方程ax2bx c 0根的分布情况2 2设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为且人x?，相应的二次函数为f x ax bx c 0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0为0,x20两个正根即两根都大于0捲0, x20一正根一负根即一个根小于0，一个大于 0 捲0 x2得出的结论b2aO大致图象a0得出的结论b2ab2af 0综合结论不讨论ab2ab2a0表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即x1k, x2k两根都大于k即x1k, x2k一个

2、根小于k，一个大于k即Xik x2o大致图象a得出的结论b2a k2ao大致图象a得出的结论b2af kb2af k综合结论不讨论ab2ab2aa f k表三：（根在区间上的分布）两根有且仅有一根在m, n内（图象有两种情况，只画了一种）一根在m,n内，另一根在p,q内，m n p qf m 0fn0fm fn0或fp0fpfq0f q 0f m 0fn0f mf n0或fp0f pf q0f q 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧x-i m, x2n,（图形分别如下）需满足的条件是综合结论不讨论a分布情况两根都在m,n内得出的0f m 0f n 0bmn2

3、aO大致图象得出的结论0f m 0f n 0bm一n2af n 0f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1)两根有且仅有一根在m, n内有以下特殊情况：1若f m 0或f n 0,则此时f m f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m, n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m 2 x 2 0、22 2在区间1,3上有一根，因为f 10，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为，由13mm2得m 2即为所求；32方程有且只有一根，且这个根在区间m, n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值

4、带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x24mx 2m 60有且一根在区间3,0内，求m的取值范围。分析：由f 3杠00即152314m 15 m 30得出3 m；由0即16m4 2m 60得出m 1或m，当14233m1时，根x 23,0，即m1满足题意；当m时，根x 33,0，故m不满足题意；2215综上分析，得出3 m一或m 114例 1、已知二次方程2m 1 x22mx m 10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。012m 1 m 10,从而得m 1即为所求的范围。222 f 0解：由2m 1 |f例 2、已知方程2x20有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由8m 0m 3 2、2或m 3 2.20 m 3 2.2或m3 2 2即为所求的范围。例 1、已知二次方程2m 1 x22mx m 10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。02例 3、已知二次函数y m2x 2m 4 x 3m 3与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实 数m的取值范围。解：由m 2 f 10即m 2 2m 102 m g即为所求的范围。例 4、已知二次方程mx22m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则f