二次函数与一元二次方程与一元二次不等式

1、二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数y = ax2bx c （a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基b4ac _ b时，函数在x处取得最小值- ，无最大值；当2a4a处取得最大值4acb，无最小值.4a方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例 1

2、 1】已知二次函数y = -x2 2x m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2-X 2x m = 0的解为.点横坐标。根据已知条件y = -X2 2x m，可知抛物线的对称轴为直线x = 1；根据图象可知抛物线与 x x 轴的一个交点的横坐标为x = 3，所以利用抛物线的对称性知抛物线 与 x x 轴的另一个交点横坐标为一 1 1，因此，方程-x2 2x m = 0的解为 3 3 和一 1 1。本题 禾U用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况（当a . 0a：0时，bx =2a2-X

3、2x m = 0的根为二次函数y = -x22xm的图象与 x x 轴交【例 2 2】二次函数y = ax2 bx c（a = 0, a,b, c是常数）中，自变量x与函数y的对 应值如下表：x-1-1_120121 1322 2523 3y-21_41 1742741 11_4-2（1 1 ）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标.（2） 元二次方程ax2bx弋=0 = 0,a, b, c是常数）的两个根x，x2 2的取值范围是下列选项中的哪一个.1315Xi；： 0,X2 - 2-1；：Xi,2；：X222251 3X10,2 . x?-1 X1，x? . 222 2本题以表格的形

4、式给出二次函数y二ax2 bx c的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解读式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大， 观察表格的特征发现，与x =1等距离的 x x 对应的函数值相等，所以直线X二1是抛物线的 对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（ 1 1, 2 2）;观察表格发现：当x 1时，y y 随着 X X 的增大 而减小，当X：:1时，y y 随着 x x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（ 2 2） 一元二次方程ax2 bx c = 0（a =0, a, b, c是常数）的根即为抛物线y = ax2 bx c与 x x 轴交点的15横坐标，观察表格发现：与 o

5、 o 之间一定有一个 x x 的值，使y = ax2 bx c= 0 0； 2 2 与一22之间一定有一个 x x 的值，使y =ax2 bx c= 0 0，所以ax2bx 0的两根, x2的取15值范围是X1：0,2：X2，故答案为22【例 3 3】已知函数y二ax2 bx c的图象如图所示，那么关于x的方程2ax bx c 0的根的情况是（）A A.无实数根B B.有两个相等实数根C C.有两个异号实数根D D 有两个同号不等实数根分析：本题以图象的形式给出信息，要判断关于x的方程ax2bx c0的根的情况,2 2 2因为ax bx c 0可化为ax bx -2，即y =ax bx-2，所

6、以，方程2ax bx c0的根即为抛物线与直线 y y=- 2 2 的交点横坐标，作直线 y y=- 2 2,观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D D。本题把方2一12分析：程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。【例 4 4】二次函数y =ax2bxc(auO)的图象如图所示，根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2bx c = 0的两个根.(2)写出不等式ax2bx c 0的解集.(3)写出 y y 随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(4)若方程ax bxk有两个不相等的实数根，求分析：本题以图象的形式给出信息 ，考查了二次函数、二次方程、二次不等

7、式这三个二次之 间的关系。(1(1)方程ax2bx0的根即抛物线y = ax2 bx c(a = 0)与 x x 轴交点的横坐标，观察图象得方程ax2bx 0的两根为Xi=1,X2=3；(2) 不等式ax2bx c 0的解集即抛物线y =ax2 bx c(a = 0)位于 x x 轴上方的那一段的 x x 的范围，观察图象得不等式ax2bx c 0的解集为1：x：3；(3)抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为x = 2，结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小，所以x 2；22(4)方程ax bxk的解为抛物线y = ax bx c( 0)与直线y = k的交点，所以当k : 2时，抛

8、物线与直线有两个交点，即方程ax2bx c = k有两个不相等的实数根的k的取值范围是k : 2。【例 5 5】当-2乞x乞2时，求函数y =x2- 2x - 3的最大值和最小值.分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.解：作出函数的图象.当x=1时，ymin，当x=-2时，ymax=5.【例 6 6】当1乞X乞2时，求函数y = _X2- X 1的最大值和最小值.解：作出函数的图象当X=1时，ymin二_1，当x=2时，ymax=5.由上述两例可以看到，二次函数在自变量X的给定范围内，对应的图象是抛物

9、线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量X的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：位置.【例 7 7】当x _0时，求函数y可以看出：当x =1时，ymin- -1，无最大值.所以，当X _0时，函数的取值范围是y _ -1.【例 8 8】当t zx岂t 1时，求函数15八产2沙工的最小值(其中t为常数).分析：由于X所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对125解:函数 7 -的对称轴为X二1.画出其草图.(1)(1)当对称轴在所给范围左侧.t 1时:当X =t时,ymin15；(2)(2

10、)当对称轴在所给范围之间.当X =1时，ymin=丄212-1当对称轴在所给范围右侧.即t _1 _t 1= 0 _t _1时:2；t 1：1= t : 0时：2_(t 1)_=丄t2_3.2 21t2_3,t :：: 02综上所述：y -3,0 _ t _ 1在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例 9 9】某商场以每件 3030 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m( (件) )与每件的销售价x( (元) )满足一次函数m = 162 - 3x,30 _ x _ 54.(1)(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)(

11、2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？解：(1)(1)由已知得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y二m(x -30)，又m二162 -3x.y =(x30)(162 3x) 3x2252x 4860,30乞x m 54(2)(2)由(1)(1)知对称轴为x =42，位于x的范围内，另抛物线开口向下.当x =42时，ymax二-3 422252 42-4860 = 432-当每件商品的售价定为 4242 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432432 元.课后自我检测A A 组21.1._ 抛物线y = x (m4)x+

12、2m3，当m=_ 时，图象的顶点在y轴上；当m=_ 时，图象的顶点在x轴上；当m=_ 时，图象过原点.2.2. 用一长度为IM M 的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为3.3. 求下列二次函数的最值：2(1)(1)y = 2x4x 5；(2)(2)y = (1x)(x 2).4 4求二次函数y =2x2-3x 5在-2乞x乞2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.t5,t1222 _5 5.对于函数y=2x，4x-3，当x- 0时，求y的取值范围.6 6 求函数y = 3 -5x - 3x -2的最大值和最小值.7 7.已知关于x的函数y =x2 (2t 1)x t2-1，当t

13、取何值时，y的最小值为 0 0?& &若不等式x2+bx +c 0的解为一 1 1 xx20对R恒成立，则1的取值范围是 _27.7. 不等式(a-2)x，2(a-2)x-4：0对一切实数 x x 恒成立，则实数 a a 的取值范围是21 1& &一元二次不等式ax bx 20的解是x，则a b的值是23课后自我检测参考答案1 1. 4 4 1414 或 2,-2,-22m 1693 3. (1)(1)有最小值 3 3,无最大值；(2)(2)有最大值一，无最小值.43314 4当X时，ymin；当X= -2时，ymax=19485 5. y _ -55y/326