二次函数(旋转,折叠)

1、学习好资料欢迎下载二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）21 已知抛物线 y=x +bx+c 经过 A（ 1，0），B（0，2）两点，顶点为 D.（1）求抛物线的解析式；（2） 将厶 OAB 绕点 A 顺时针旋转 90后，将 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后 经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.（3） 设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 Di,若点 N 在平移后的抛 物线上，且满足厶 NBB1 的面积是厶 ND D1面积的 2 倍，求点 N 的坐标.学习好资料欢迎下载22、如图，已知点 A (-2, 4)和点 B (1, 0)都在抛物线 y=m

2、 x +2mx+ n 上.(1 )求 m、n;(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为 A ，点 B 的对应点为 B ，若四边 形 AA B B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；(3) 试求出菱形 AA B B 的对称中心点 M 的坐标.学习好资料欢迎下载3、把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形 EDCF .在旋转过程中，(1)_如图，当点 E 在射线 CB 上时，E 点坐标为 _;(2)_当厶 CBD是等边三角形时，旋转角 a 的度数是 _ (a 为锐角时)；(3) 如图，设 EF 与 BC 交于

3、点 C,当 EC=CG 时，求点 G 的坐标；(4) 如图，当旋转角 a=90时，请判断矩形 EDCF 的对称中心 H 是否在以 C 为顶点， 且经过点 A 的抛物线上.MtV水图圉图学习好资料欢迎下载4、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A (3, 0), C (0, 1).将矩形 OABC 绕原点逆时针旋转 90,得到矩形OA B C.设直线 BB 与 x 轴交于点 M、 与 y 轴交 于点 N， 抛物线 y=a x2+bx+c的图象经过点 C 、M、N .解答下列问题：(1 )求出该抛物线所表示的函数解析式；(2)将厶 MON 沿直线 BB 翻折，点 O 落在点 P 处，

4、请你判断点 P 是否在该抛物线上，并请说明理由；(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向) 要求的新抛物线的解析式.，使它恰好经过原点 O，求出所有符合学习好资料欢迎下载6、如图抛物线 y=a x +ax+c (a 0)与 x 轴的交点为 A、B (A 在 B 的左边)且 AB=3，与 y5、在平面直角坐标系中点 A( 0,2)C( 4,0),AB / x 轴， ABC 是直角三角形，/ ACB=90 (1) 求出点 B 的坐标，并求出过 A , B, C 三点的抛物线的函数解析式；(2 )将厶 ABC 直线 AB 翻折，得到 ABC!，再将 ABC1 绕点 A 逆时针旋转 90 度，得

5、到 ABC请求出点 C2的坐标，并判断点 C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上；(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m ,并使抛物线的顶点落在 ABC 的内部或者边上，请求出此时m 的取值范围.轴交于 C,若抛物线过点 E (-1, 2).(1) 求抛物线的解析式；(2) 在 x 轴的下方是否存在一点 P 使得 PBC 的面积为 3 ?若存在求出 P 点的坐标，不存 在说明理由；(3) 若 D 为原点关于 A 点的对称点，F 点坐标为(0, 1.5),将厶 CEF 绕点 C 旋转，在旋 转过程中，线段 DE 与 BF 是否存在某种关系(数量、位置)？

6、请指出并证明你的结论.2学习好资料欢迎下载B （5, 0）,连接 AB .（1）现将 AOB 绕点 0 按逆时针方向旋转 90。，得到厶 COD ,（点 A 落到点 C 处），请画 出厶 COD，并求经过 B、C、D 三点的抛物线对应的函数关系式；（2） 将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B 的对应点为点 E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点 F、P 为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF,当|PE-PF 取得最大值时，求点 P 的坐标；（3） 在（2）的条件下，当点 P 在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P 使厶 EPF 为直角三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请

7、说明理由.学习好资料欢迎下载9、在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴的负半轴上，边 OC 在 y 轴的正半轴8、在平面直角坐标系 xOy 中，把矩形 AOCB 绕点 A 逆时针旋转a角，得到矩形 ADEF , 设 AD 与BC 相交于点 G,且 A(-9，0)，C(0，6)，如图甲.(1 )当a=60。时，请猜测厶 ABF 的形状，并对你的猜测加以证明.(2) 当 GA=GC 时，求直线 AD 的解析式.(3)当a=90。时，如图乙请探究：经过点F,且以点 B 为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF 的对称中心 H，并说明理由.学习好资料欢迎下载10、如图所示，在平面直角坐

8、标系中,矩形ABOC的边BOBCEO上，且 0A=1 , 0C=2 .将矩形 OABC 绕点 0 顺时针旋转 90,得到矩形 DEFG （如图 1）.（1 ）若抛物线 y=- x2+bx+c 经过点 B 和 F,求此抛物线的解析式；（2）将矩形 DEFG 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴负方向平移，平移 t 秒时，所成图形 如图 2 所示.1图 2 中，在 OvtV1 的条件下，连接 BF , BF 与（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形 DEFG 与矩形 OABC 重合部分的面积为 S1 , AQF 的面积为 S2,试判断 S1+S2 的 值是否发生变化？如果不变，求出其值；2在

9、 Ovtv3 的条件下，P 是 x 轴上一点，请你探究：是否存在t 值，使以 PB 为斜边的 Rt PFB 与 Rt AOC 相似？若存在，直接写出满足条件t 的值及点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（利用图 3 分析探索）.学习好资料欢迎下载在X轴的负半轴上，边0C在y轴的正半轴上，且AB=1,OB3，矩形ABOC绕点0按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F, 点C的对应点为点D，抛物线y =ax2 3 bx c过点A E, D(1) 判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2) 求抛物线的函数表达式；(3)在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点0,B,P

10、,Q为顶点的平行四边形的 面积是矩形ABOC面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2r11.已知如图，抛物线 y x2mx n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，四边形 OBHC为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D (5, 2),连结 BC、AD.(1)求 C 点的坐标及抛物线的解析式；学习好资料欢迎下载将 BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90后再沿 x 轴对折得到 BEF (点 C 与点 E 对应)，判断 点 E 是否落在抛物线上，并说明理由；(3)设过点 E 的直线交 AB 边于点 P,交 CD 边于点 Q.问是否存在点

11、 P,使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积为 1 : 3 两部分？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由学习好资料欢迎下载【解析】(1)本题需先根据题意把A (-2, 4)和点 B (1, 0)代入抛物线 y=mx2+2mx+n二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移）21 已知抛物线 y=x +bx+c 经过 A（ 1，0），B（0，2）两点，顶点为答案D.学习好资料欢迎下载（1）求抛物线的解析式；学习好资料欢迎下载【解析】(1)本题需先根据题意把A (-2, 4)和点 B (1, 0)代入抛物线 y=mx2+2mx+n(2) 将厶 OAB 绕点 A 顺时针旋转 90后，将 B 落

12、到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后 经过点 C,求平移后所得图象的函数关系式.(3)设(2)中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点N 在平移后的 抛物线上，且满足厶 NBB1 的面积是厶 NDD1 面积的 2 倍，求点 N 的坐标.解析(1 )利用待定系数法，将点A , B 的坐标代入解析式即可求得；(2)根据旋转的知识可得：A ( 1, 0), B ( 0, 2), OA=1 , OB=2 ,可得旋转后 C 点的坐标为(3, 1),当 x=3 时，由 y=x2-3x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x2-3x+2 过点(3, 2)将原抛物线沿 y 轴向下平移

13、 1 个单位后过点 C. 平移后的抛物线解析式为： y=x2-3x+1 ;(3) 首先求得 B1 , D1 的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想.图2、如图，已知点 A (-2, 4)和点 B (1, 0)都在抛物线 y=mx2+2mx+n 上.(1 )求 m、n;(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为 A ，点 B 的对应点为 B ，若四边形 AA B B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；(3)试求出菱形 AA B B 的对称中心点 M 的坐标.ax.FA. /,KJA11|X图学习好资料欢迎下载中，解出 m、n 的值即可.(2) 本题需先根据四边形 AA B B 为

14、菱形得出 y 的解析式，再把解析式向右平移|5个单 位即可得到平移后抛物线的表达式.(3)本题需根据平移与菱形的性质，得到A 、 B 的坐标， 再过点 A作 A H 丄 x 轴， 得出 BH 和 A H 的值，再设菱形 AA B B 的中心点 M,作 MG 丄 x 轴，根据中位线性质得到 MG、BG 的值，最后求出点 M 的坐标.3、把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平 面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转 a 角， 旋转后的矩形记为矩形 EDCF .在旋转过程中，(1) 如图，当点 E 在射线 CB 上时，E 点坐标(2) 当厶 CBD 是等边三角形时，旋转角 a 的度

15、数是_ (a 为锐角时)；(3) 如图，设 EF 与 BC 交于点 C,当 EC=CG(2)已知/ BCD=60。，/ BCF=30 ，然后可得/ a =60 .(3 )设 CG=x，贝 U EG=x, FG=6-x，根据勾股定理求出 CG 的值.时，求点 G 的坐标；(4)如图，当旋转角且经过点 A 的抛物线上.a=90时，请判断矩形 EDCF的对称中心H 是否在以 C 为顶点,图圉【解析】(1)依题意得点E 在射线 CB 上，横坐标为 4,纵坐标根据勾股定理可得点E.0E匚C学习好资料欢迎下载【解析】(1)本题需先根据题意把A (-2, 4)和点 B (1, 0)代入抛物线 y=mx2+2

16、mx+n(4)设以 C 为顶点的抛物线的解析式为y=a (x-4) 2,把点 A的坐标代入求出 a 值.当 x=7时代入函数解析式可得解.4、如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A (3, 0) , C (0, 1).将矩形 OABC 绕原点逆时针旋转 90,得到矩形 OA B C.设直线 BB 与 x 轴交于点 M、 与 y 轴交 于点 N， 抛物线 y=ax2+bx+c的图象经过点 C、M、N .解答下列问题：(1 )求出该抛物线所表示的函数解析式；(2)将厶 MON 沿直线 BB 翻折，点 O 落在点 P 处，请你判断点 P 是否在该抛物线上， 并 请说明理由；(3)将该抛

17、物线进行一次平移(沿上下或左右方向) 要求的新抛物线的解析式.学习好资料欢迎下载【解析】(1)根据四边形 OABC 是矩形，A ( 3, 0), C ( 0,1)求出 B 的坐标，设直线BB 的解析式为 y=mx+ n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把 CMN 三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；(2)设 P 点坐标为(x,y)，连接 OP, PM，由对称的性质可得出 OP 丄 MN , OE=PE, PM=OM=5， 再由勾股定理求出 MN 的长，由三角形的面积公式得出 OE 的长，利用两点间的距离公式求

18、 出 x、y 的值，把 x 的值代入二次函数关系式看是否适合即可；(3)由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论.【解答】(3)在上下方向上平移日时根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把(0, 0)这个点代入得常数 项为 0，新解析式就为：y=-12x2+2x ;在左右方向平移时， 开口大小不变，二次项 系数不变，为-12，这时根据已经求出的 C (-1，0) , M ( 5,0)， 可知它与 X 轴的两个交点的距离还是为6,所以有两种情况，向左移 5 个单位，此时 M 与原点重合，另一点经过(-6, 0),代入解出解析式为y=-12x2-3x ;当它向右移时要移一个单位C 与原点重合，此时另一点过(6, 0),所以解出解析式为 y=-12x2+3x .5、在平面直角坐标系中点 A( 0,2)C( 4,0),AB / x