安徽省名校高一数学下学期期末试卷(含解析)

1、安徽省名校2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题计 10小题，每小题5分，满分50分.每小题只有一个选项符合题目要求的）1.已知集合 A=x|x 2 - 3x+2 V 0, B=x|log 4x>1,则（）2A. A? BB. B? AC. AA ?rB=RD. AA B=?22 .函数 f （工）二&式门2（a b£R），若f （Isttz-t-）二2013,则 f（lg2014）2014=（）A. 2018B. - 2009C. 2013D. - 20133 .在坐标平面上直线l的方向向量(-o -5)，点O (0, 0) , A ( 1,

2、- 2)在l上的5 5正射影分别为Q、A,设第7=入%,则实数入=()A. 2B. - 2C.豆D. 一口554.将函数，一.-工)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的32倍(纵坐标不变)，再向左平移三个单位6所得函数的图象的一条对称轴为()A. RB.工=三C. XD. x=Tt乳 9x gX 25 .设Sn为等差数列an的前n项和，若a=1, a3=5, 3+2-4=36,则k的值为（）A. 8B. 7C. 6D. 56 .已知平面 a , 3和直线a, b,若a n 3 =l , a? “，b? 3 ,且平面与平面 3不垂直, 直线a与直线l不垂直，直线 b与直线l不垂直，则()A.直线a

3、与直线b可能垂直，但不可能平行B.直线a与直线b可能垂直，也可能平行C.直线a与直线b不可能垂直，但可能平行D.直线a与直线b不可能垂直，也不可能平行7 .若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx - 2y=0的两个交点恰好关于 y轴对称，则k=()A. 0B. 1C. 2D. 38 .若 ABC的周长等于20,面积是10d5, A=60° ,则BC边的长是()A. 5B. 6C. 7D. 89 .若直线y=x+b与曲线y=3+y4x -，有公共点，则实数 b的取值范围是（）A. 1, 1+2«B. 1 2/2, 1+2-/2C.1 2近，3 D. 1-应,310 .已知球的

4、直径 SC=4 A, B是该球球面上的两点，AB=2, /ASCW BSC=45 ,则棱锥 S-ABC的体积为（）BSA -二 A.二、填空题（本大题计5小题，每小题5分，满分25分）11 .已知| b|=2 ,与b的夹角为120° ,则b在a上的射影为.12 .电动自行车的耗电量 y与速度x之间的关系为 产工?_笆40工（工,0）,为使 32耗电量最小，则其速度应定为.13 .已知一个等腰三角形的顶点A （3, 20）, 一底角顶点B （3, 5）,另一顶点C的轨迹方程是.14 .现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cmx最下面的三节长度之和为

5、 114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则 n=.15 .已知 m l是直线，a、3是平面，给出下列命题:若l垂直于a内两条相交直线，则l，a ；若l平行于a ,则l平行于a内所有的直线；若 m? a, l ? 3 且 l,m,则若l? 3且l,a,则若 m? a , l ? 3 且 a / 3 ,则 l / m其中正确命题的序号是.、解答题（本大题计 6小题，满分75分）16 .函数f(x)=lg(x2-2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=2x-a (x<2)的值域为集合B.(I )求集合A, B;(n)若集合 A, B满足AA B=B求实数a的取值范围.17.已知

6、函数(I )求函数f(x)=2cos - V3sinxf (x)的最小正周期和值域；(n)若a为第二象限角，且 f (a- -) =1,求空在的值.33 l+cos2a_ sin2a18 .已知点 P (2, 0),及。C: x2+y2 6x+4y+4=0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程； 设过点P的直线与OC交于A、B两点，当|AB|=4 ,求以线段AB为直径的圆的方程.19 . 4ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知 3cos (B-C) - 1=6cosBcosC.(1)求 cosA;(2)若a=3, 4ABC的面积为2版 求b, c

7、.20 .如图，在斜三棱柱 ABC- A1B1C1中，点。E分别是 A。、AA的中点，AOL平面 ABC.已知/BCA=90 , AA1=AC=BC=2(I)证明：OE/平面ABC;(n)求异面直线 AB与AC所成的角；(出)求A1C与平面AAB1所成角的正弦值.5121 .设数列an的前n项和为Sn,若对任意的正整数 n,总存在正整数 m使得Sn=am,则称 an是“H数列”.(1)若数列an的前n项和为S=2n (nCN*),证明：an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项 a1=1,公差d<0,若an是“H数列”，求d的值； 、 、 一 一*(3)证明：对任意的等差数列an,

8、总存在两个“H数列” bn和cn,使得小=>+6 (n C N) 成立.安徽省名校2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题计10小题，每小题5分，满分50分.每小题只有一个选项符合题目要求的）1.已知集合 A=x|x 2- 3x+2 V 0, B=x|log 4x>l,则（）2A. A? BB. B? AC. AA ?rB=RD. AA B=?考点：交集及其运算.专题：三角函数的求值.分析：分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B,即可做出判断.解答： 解：由A中不等式x2-3x+2<0,变形得：（x-1） （x-2） <0,解得：1<x&

9、lt; 2,即 A=x|1 <x< 2,由B中不等式变形得：log 4x>=log 42,2解得：x>2,即 B=x|x >2,则 AA B=?.故选：D.点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.22.函数 f （工）=&式口（a，b£R），若f （lg；） =2013（lg2014）2014=（）A. 2018B. - 2009C. 2013D. - 2013考点：函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用.2分析： 根据已知，f （工）-asi（a, b£R） , f （1旦袅h）=2013 ,2014不能求得

10、a, b.注意到1 篇不与lg2014互为相反数关系，可以联想、借用函数的奇偶性，整体求解.2解答： 解：: f （工）二 asi n%+bx'+4，Ca, b£R），21f （- x） =asi 门？（ 一天）+b （- 工）3+4= asin2j+bx3+4=f x f （x）是偶函数，.f （lg2014） =f （ lg2014） =f=2013.故选：C.点评：本题考查函数值得计算，函数的奇偶性判断与应用.属于基础题.3.在坐标平面上直线l的方向向量:二（_9 2），点O （0, 0）, A （1, - 2）在l上的 e 5 5正射影分别为Q、A,设d访二入之，则实

11、数入=（）A. 2B. - 2C.皂D.-皂55考点：平面向量数量积的含义与物理意义.专题：平面向量及应用.分析：确定须=（1, - 2）,根据乖彳=（1, - 2） ? （ 卫）=-2,即可得到结论.5 5解答： 解：.O （0, 0） , A （1, 2）,0A= （1, - 2）OA-e= （1, 2）?（卫）=-25 50%=人已，实数入=-2故选B.2倍（纵坐标不变），点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.4 .将函数y=cOS（X-）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的3再向左平移 三个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（）671B. .丁C .丁D.

12、 x=兀考点： 函数y=Asin （x+（）的图象变换.专题：计算题.分析：通过函数y=8S（K-工）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函3数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可.解答： 解：函数 卡8s卜-工）的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函3数的解析式为：y=cos （三一）,再向左平移 4个单位得到函数为：2361717rl TTTTy=cos （=工一7+7二）=cos （士工一下）,所得函数的图象的一条对称轴为：x=.23 12242故选C.点评：本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算能力，是基础题.5 .设Sn为等

13、差数列an的前n项和，若a1=1, a3=5, 8+2-&=36,则k的值为（）A. 8B. 7C. 6D. 5考点：等差数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列.分析：由ai=1, a3=5,可解得公差d,进而由Sk+2-4=36可得k的方程，解之即可.解答： 解：由ai=1, a3=5,可解得公差 dJ-=2,3-1再由 Sk+2- Sk=ak+2+ak+i=2ai+ (2k+1) d=4k+4=36,解得k=8,故选A点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题.6 .已知平面 a , 3和直线a, b,若a n 3 =l , a? a , b? 3 ,且平面与平面 3不

14、垂直, 直线a与直线l不垂直，直线 b与直线l不垂直，则()A.直线a与直线b可能垂直，但不可能平行B.直线a与直线b可能垂直，也可能平行C.直线a与直线b不可能垂直，但可能平行D.直线a与直线b不可能垂直，也不可能平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：由平面与平面 3不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直分别分析当a/1 ; b / 1和当a与b在a内的射影垂直时的 a, b位置关系.解答： 解：因为平面与平面 3不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直, 所以当a /1 ; b / 1时，a / b;当a与b在a内的射影垂直时 a与

15、b垂直.故选：B.点评：本题考查了两个平面相交时平面内直线的位置关系的判断；开心学生的空间想象能力.7.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx - 2y=0的两个交点恰好关于 y轴对称，则k=()A. 0B. 1C. 2D. 3考点：直线与圆相交的性质.专题：计算题；直线与圆.分析： 直线y=kx+1与圆x2+y2+kx - 2y=0联立，利用两交点恰好关于 y轴对称，可得xi+X2=0,即可求出k.1+k2解答： 解：由直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx- 2y=0 的得(1+k2) ?x2+kx - 1=0,一两交点恰好关于 y轴对称，x i+X2=0,l+kJ1. k=0.故选：

16、A.点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.8 .若 ABC的周长等于20,面积是10丫反，A=60° ,则BC边的长是()A. 5B. 6C. 7D. 8考点：余弦定理.专题：计算题.分析： 先设A、B C所对的边分别为 a、b、c,然后利用面积公式 S=UcsinA得到bc的2值，因为周长为 a+b+c=20,再根据余弦定理列出关于a的方程，求出a的值即为BC的值.解答： 解：依题意及面积公式SbcsinA ,2得 10V=°bcsin60 ,得 bc=40.2又周长为 20,故 a+b+c=20, b+c=20 - a,由余

17、弦定理得：a2=b2+c2 - 2bccosA=b2+c2- 2bccos60°=b2+c2- bc= (b+c) 2- 3bc, 故 a2=2- 120,解得 a=7.故选C点评：考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，以及会用三角形的面积公式， 掌握整体代换的数学思想.9 .若直线y=x+b与曲线丫=3+/般_ 7有公共点,则实数 b的取值范围是()A. 1, 1+2、mB. 1 -2/2, 1+2、mC.1 - 2-/2, 3 D . 1-加，3考点： 直线与圆的位置关系. 专题：直线与圆.分析： 由曲线 y=3+y4x-得(X 2) 2+ (y-3) 2=4, 0<x&

18、lt;4,直线 y=x+b 与曲线 丫=3+,43_ J有公共点,圆心(2, 3)至ij直线y=x+b的距离d不大于半径r=2 ,由此结合 图象能求出实数b的取值范围.解答： 解：由曲线y=3+Jq；得(x-2) 2+ (y-3) 2=4, 0<x<4,直线y=x+b与曲线丫=3+54工-J有公共点,圆心（2, 3）到直线y=x+b的距离d不大于半径门口 12 - 3+b | ）即 d=又 2,. 1 - 2f2<b<l+2Vs,0<x<4,，x=4 代入曲线 v=3+,&x _ 得 y=3,把（4, 3）代入直线 y=x+b,得 bmin=34=1

19、,联立，得-lVb4l+2后.，实数b的取值范围是T, 1+2近.点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意数形结合思想的合理运用.10.已知球的直径 SC=4 A, B是该球球面上的两点，AB=2, /ASCW BSC=45 ,则棱锥 S-ABC的体积为（）考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：综合题；空间位置关系与距离.分析： 证明SCL面ABQ利用VS abc=VC oa+VS oab,求出棱锥 S- ABC的体积.解答： 解：.AB=2 .OAB为正三角形.y. Z BSC= ASC=45 ,且 SC为直径, ASC与 BSC均为等腰直角三角形

20、. .BOLSC AOLSC又 AS BO=O SCL面 ABOs-ab(=VC- oab+V=；- oae=?Saoab? (SO+OC = 1 X X 4 X 4=故选：D.点评：本题考查线面垂直，考查棱锥S- ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.二、填空题（本大题计 5小题，每小题5分，满分25分）11 .已知|芯|=2 , W与芯的夹角为120。，则芯在W上的射影为.考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角.专题：平面向量及应用.分析：已经知道了 |七|=2,%向量的夹角为120。，所以由射影的定义及计算公式即可得出答案.解答：解：根据射影的定义， Z在彳

21、上的射影为|b|cosl20" = - 1故答案为：-1.点评：考查向量夹角的定义，射影的定义及计算公式.12 .电动自行车的耗电量 y与速度x之间的关系为y=3 - -x2- 40x Ik>。），为使 32耗电量最小，则其速度应定为40.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：计算题.分析：欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可， 对函数求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果.解答： 解：由题设知y'=x 2 - 39x - 40,令 y' >0,解得 x>40,或 xv- 1,故函数 厂工工

22、-二？氐2 - 40K （其0）在40 , +°°）上增，在（0, 40上减，32当x=40, y取得最小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40;故答案为：40.点评：考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型.13 .已知一个等腰三角形的顶点A （3, 20）, 一底角顶点B （3, 5）,另一顶点C的轨迹方程是（x-3） 2+ （y- 20） 2=225 （x3）.考点：轨迹方程.专题：综合题；直线与圆.分析： 设出点C的坐标，利用|AB|=|AC| ,建立方程，根据 A, B, C三点构成三角形，则三点不共线且B, C不重合，即可求得结论

23、.解答： 解：设点 C 的坐标为(x, y),则由 |AB|二|AC| 得(x - 3) 2+ (y-20) 2= (3-3) 2+， 一一、 2(5-20),化简彳导(x- 3) 2+ (y- 20) 2=225.A, B, C三点构成三角形，三点不共线且 B, C不重合，顶点 C 的轨迹方程为(x-3) 2+ (y- 20) 2=225 (x3).故答案为：(x-3) 2+ (y- 20) 2=225 (x3).点评： 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题.14 .现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cmx最下面的三节长度之和为 114cm

24、,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则 n=16.考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：把已知问题用一个等差数列表示，然后利用等差数列的通项公式和等比中项即可得出.解答： 解：设此根n节的竹竿的自上而下每节的长度依次构成等差数列为an,公差为d.由题息可知：a1=10, an-2+an- 1+an=114,己.a二10f r G联立可得 3%+ (3门-6) d=114,解得勺二1031+5d) at+ Cn- 1) d 1*2因此n=16.故答案为16.点评：熟练掌握等差数列的通项公式和等比中项是解题的关键.15 .已知 m l是直线，a、3是平

25、面，给出下列命题: 若l垂直于a内两条相交直线，则l，a ； 若l平行于a ,则l平行于a内所有的直线； 若 m? a, l ? 3 且 l,m,则 a，3； 若l? 3且l，a,则a ± 3 ；若 m? a , l ? 3 且 a / 3 ,则 l / m 其中正确命题的序号是.考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系.专题：压轴题.分析：对于，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于考虑a X 3的判定方法，而条件不满足，故错误；对于符合面面垂直的判定定理，故正确；对于

26、不符合线线平行的判定，故错误.解答： 解：若l垂直于a内的两条相交直线，则 l，a ,故正确，若l / a ,则l行于a内的大部分直线，还与一部分直线是异面关系，故不正确，若m? a , l ? 3,且l,m则a ± 3或平行或斜交，故不正确，若l? 3,且l，a,则a，3；这是面面垂直的判定定理，故正确若m? a , l ? 3且a / 3 ,则m/ 1或异面，故不正确，总上可知有1个命题正确，故选B.故正确命题的序号是 .点评： 本题考查立体几何中线线关系中的平行、 线面关系中的垂直、 面面关系中的垂直的 判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直

27、线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用.三、解答题(本大题计 6小题，满分75分)16 .函数f (x) =lg (x2-2x-3)的定义域为集合 A,函数g (x) =2x- a (x<2)的值域为 集合B.(I )求集合A, B;(n)若集合 A, B满足AA B=B求实数a的取值范围.考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域.专题：函数的性质及应用.分析： (I)对数的真数。求解函数f (x) =lg (x2-2x-3)的定义域得到集合 A,再根据指数函数的值域求解 B即可；(II )由题意A, B满足An B=B得B是A的子集，建立关于 a的不等关系，可解出实数

28、a 的取值范围.解答： 解：(I) A=x|x 2 - 2x - 3 > 0=x| (x3) (x+1) > 0=x|x < - 1,或 x>3 ,. .B=y|y=2 x- a, x<2=y| - a<y<4- a.(n) AAB=R /.B ? A,.4 - a< - 1 或-a>3,.a< 3或 a>5,即 a 的取值范围是(8, -3 U (5, +8).点评： 本题考查集合的求法，对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键，考查计算能 力.17-已知函数f (x) = 2得一加三inx(I)求函数f (x)的最小正周期和

29、值域；(n)若a为第二象限角，且f (a工)=4,求；浮纹的值.33 l+cos2a_ sin2a考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性.专题：计算题；压轴题.分析：(I)利用三角函数间的关系将 f (x)化为f (x) =1+2cos (x+),即可求函数 f (x)的最小正周期和值域;(n) 依题意可求得 cos a = - -1, sin a =，%, 3s2 "可化简为33 l+cos2a - sin2assQ+sinQ从而可求得其值.2cos 口解答： 解：(I)因为 f (x) =1+cosx J5sinx, 一 ， TT、=1

30、+2cos (x+)，3所以函数f (x)的周期为2兀，值域为-1,3.(n)因为f (a 三)，33所以 1+2COS a =_,即 COS a = - _ .33l+cos2a - sin2a_ cos- cl - sm a= 2cos?a - 2sinQcos a=(cnsQ+finQ) (cos- sind )2cos Cl (costl - sind )_cos 口 +sinCt，2cos<X又因为a为第二象限角，所以 sin3所以原式= 'T'2cos, 1 >/2=3=1-班.2点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性及其求法，

31、考查倍角公式，掌握三角函数间的关系是化简求值的关键，属于中档题.18 .已知点 P (2, 0),及。C: x2+y2 6x+4y+4=0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程； 设过点P的直线与OC交于A、B两点，当|AB|=4 ,求以线段AB为直径的圆的方程.考点：圆的标准方程；直线的一般式方程.专题： 综合题；分类讨论.分析： (1)把圆的方程变为标准方程后，分两种情况斜率k存在时，因为直线经过点巳设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d,让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到 k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方 程即可；

32、当斜率不存在时显然得到直线 l的方程为x=2;(2）利用弦|AB|的长和圆的半径，根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长，然后设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,让d等于|CP|列出关于k的方程，求出方程的解即可得到 k的值，写出直线l的方程，把直线l的方程与已知圆的方程联 立消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可求出线段AB中点的纵坐标，把纵坐标代入到直线l的方程中即可求出横坐标，即可得线段AB的中点坐标即为线段 AB为直径 的圆的圆心坐标，圆的半径为|AB|的一半，根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可.解答：解：（1）由题意知，圆的标准方程为：（x-

33、3） 2+ （y+2） 2=9,设直线l的斜率为k （ k存在）则方程为 y- 0=k （x 2）即 kx - y - 2k=0又OC的圆心为（3, - 2）, r=3 ,3k 二2k+2所以直线方程为（s_2）即3x+4y - 6=0;当k不存在时，直线l的方程为x=2.综上，直线l的方程为3x+4y - 6=0或x=2 ;2喈）二场，即|CP尸娓,设直线l的方程为y- 0=k （x-2）即kx-y-2k=0则圆心（3, - 2）到直线l的距离d二3k+2 - 2k=、高,解得k=l,所以直线l的方程为x-2y-2=0联立直线l与圆的方程得 2'x - 2y- 2=0l （X - 3

34、） 2+ ty+2） 2=9消去x得5y2-4=0,则P的纵坐标为0,把y=0代入到直线l中得到x=2,则线段AB的中点P坐标为（2, 0）,所求圆的半径为： J|AB|=2 ,故以线段AB为直径的圆的方程为：（x-2） 2+y2=4.点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题.19 .4ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b,c.已知 3cos(B-C)- 1=6cosBcosC.(1)求 cosA;(2)若a=3, 4ABC的面积为2dz 求b, c.考点： 余弦定理；诱导公式的作用；两角

35、和与差的余弦函数；正弦定理.专题：计算题.分析： (1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos (B+。的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将 cos (B+。的值代入即可求出 cosA的值；sinA的值,(2)由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6,记作，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作，联立即可求出b与c的值.解答：化简得:变形得:解：(1) 3cos (B-Q

36、 - 1=6cosBcosC,3 (cosBcosC+sinBsinC ) - 1=6cosBcosC,3 ( cosBcosCsinBsinC ) = - 1,即 cos ( B+C = - _,3贝U cosA= cos ( B+C =;3(2) ,.飞 为三角形的内角，cosA=-l,3-sinA=# - sJa=¥'又 Saabc=2、/,即工bcsinA=2&,解得：bc=6，2又 a=3, cosA，3，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA 得：b2+c2=13(2),联立解得:32或1 c-3b=3c=2点评：此题考查了余弦定理， 三角形的面积公式

37、，两角和与差的余弦函数公式， 诱导公式,以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.20.如图，在斜三棱柱 ABC- A1BC1中，点。E分别是 AG、AA的中点，AOL平面 ABC.已知/BCA=90 , AA1=AC=BC=2(I)证明：OE/平面ABC;(n)求异面直线 AB与AC所成的角；(出)求A1C与平面AAB1所成角的正弦值.考点： 用空间向量求直线与平面的夹角； 异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定; 直线与平面所成的角.专题分析:（II）计算题；证明题.解法一：（I）证明 OE/ AO,然后证明 OE/平面ABCi.先证明AC BiC,再证明AC平面

38、ABG,推出异面直线 AB与AiC所成的角为90° .（出）设点C到平面AAB1的距离为d,通过丫&,口口二,广 口 ，求出AiCi与平面 7A-A1BlCl G -AA1E1AAB所成角的正弦值返L7解法二：如图建系 O- xyz,求出A,（I）通过计算无二-人。；，证明-.A, E, Ci, Bi, C 的坐标OE AC,然后证明 OE/平面ABC.（n）通过 函片=0,证明ABXAiC,推出异面直线AB与AiC所成的角为90° .（出）设AiC与平面AABi所成角为0 ,设平面AABi的一个法向量是 口二k. y, z）禾1J用AjBj n=0推出n= （1,

39、 A 占 二。近），通过3sin8 =cos< AC,:22 V21 , , 一一一一，.一万二丁厂，求出AiCi与平面AAB所成角的正弦值.Y3解答： 解法一：（I）证明：二.点 。E分别是AiC、AA的中点，.OE/ ACi,又.在0?平面 ABCi, AC?平面 ABG,.OE/平面 ABC.（n） .AOL 平面 AiBC,，AOL BiC,又 A iCB iCi,且 AiCinAO=Q .BiCi,平面 AiCCA，AiC，BiO.又AAi=AC, 四边形ACCA为菱形， -.AiC±AG,且 BiCinAG=G，AiC，平面 ABC, .ABAiC,即异面直线 AB

40、与AC所成的角为90° .（出） 设点C到平面AABi的距离为d, 吃 =V.-，3rl丫 C 一乩乩凡即.,二， 1 .I?"又在4AAB 中，ABlABl2a，SSAB=/V.d*，'AiG与平面AABi所成角的正弦值 华解法二：如图建系 O-xyz,A（0，0, V3）出（0, 一 1, 0） , E （0,立）， iiMC （0, i , 0）, Bi （2, i, 0）, C（0, 2,肥）.（I） 0E= （0,记二（Q, 1，-a），瓦二-弓记，即。日/ AG,又EO?平面 ABG, AG?平面 ABG,，OE/平面 ABCi.(n)二西二(2, 1, - Vs)0 3,如)，,可二0,即.ABAC,，异面直线AB与AiC所成的角为90° .(出)设 AiC与平面AABi所成角为0 , 7=(0, 2, 0)，/B二（2, 2> 0）, AtA= （05 1,西）设平面AABi的一个法向量是 门二(七 了,AiB 1 n=0则，A1 A* n =0即"1升总二0.不妨令x=1,可得门二(1,sin9=cos< AC i,，AiCi与平面AAB所成角的正