考研数学三考试解析超详细版

1、考研数学三考试解析超详细版作者:日期:22016年考研数学(三)真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)sin x(1)若 lim (cosx b) 5,则 a =， b =x 0ex a(2)设函数f (u , v)由关系式f xg(y), y = x + g(y)确定,其中函数 g(y)可微,且g(y)2f0,贝Uu v(3)设 f(x)2xex1 ,x21 f (x 1)dx2-32 -(4)二次型 f (Xi,X2,X3)(Xix2)2 (X2 X3)2 (X3 Xi)2 的秩为(5)设随机变量X服从参数为 油勺指数分布，则px JDX22(6)设总体

2、X服从正态分布N(M, /),总体Y服从正态分布N(0-2),Xi，X2，Xn1和丫1,丫2,Yn2分别是来自总体 X和Y的简单随机样本，则n1_ 2 n2_ 2(Xi X)(Yj Y)E i 1j 1叫 n2 2二、选择题(本题共6小题，每小题4分，？菌分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)| x | sin( x 2)(7)函数f(x)()2在下列哪个区间内有界.x(x 1)( x 2)2(A) ( 1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2,3).、 一 一，、 f (1) . x 0 一(8)设 f

3、(x)在(，+ )内有7E乂，且 lim f (x) a , g(x),则x0 ,x 0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.(9)设 f (x) = |x(1 x)|,则(E) x = 0是f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线y = f (x)的拐点.(F) x = 0不是f (x)的极值点，但(0,0)是曲线y = f (x)的拐点.(G) x = 0是f (x)的极值点，且(0,0)是曲线y = f (x)的拐点.(H) x = 0不是

4、f (x)的极值点，(0,0)也不是曲线y = f (x)的拐点.(10)设有下列命题：若(u2n 1 u2n)收敛，则un收敛.(2)若 un收敛，则n 1un 1000 收敛.n 1若lim %31 ,则 un发散.n unn 1(4)若(Un Vn)收敛，则unn 1n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B)(2) (3).(11)设f (x)在a , b上连续,且f (a)vn者B收敛.n 1(C) (3) (4).(D)(1) (4).0, f (b) 0 ,则下列结论中错误的是(12)(13)(A)(B)(C)(D)至少存在一点至少存在一点至少存在一点至少存在一点设n

5、阶矩阵(A)当 |A|(C)当|A|设n阶矩阵x0X0xoxo(a,b),使得(a,b),使得(a,b),使得(a,b),使得A与B等价，则必有a(a 0)时,|B|0时,|B | 0. *A的伴随矩阵A0,f (Xo)> f (a).f (xo)> f (b).f (xo) 0.f (xo) = 0.(B)当 |A|a(a 0)时,|B|(D)当| A| 0 时，| B| 0.&,&,a, &是非齐次线性方程组Ax互不相等的解，则对应的齐次线性方程组(C)含有两个线性无关的解向量.(D)(B)Ax 0的基础解系 仅含一个非零解向量. 含有三个线性无关的解向

6、量/ / 1求 lim (x 0 sin2 xcos2 xx2).(A)不存在.(14)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a (0,1),数u0满足PX uj a,若P| X | X a,则X等于(A) Ua.(B) U a.(C)Ui a.(D)Ui a.1 _ 222三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)(16)(本题满分8分)b g(t)dt.ab证明：a xf (x) dxb axg(x)dx.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P,其中价格P(0,20), Q为需求量.求(v

7、9;x2y2 y)d ，其中D是由圆X2y2 4和(x 1)2y21所围成的D平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足xxbf(t)dtgdt,x a , b), fdtaaa(I)求需求量对价格的弹性Ed (Ed > 0);Ed说明价格在何范围内变化时,dR -(II)推导 Q(1 Ed)(其中R为收益)，并用弹性 dP降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分9分)设级数的和函数为S(x).求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分13分)设 0cl(1,2,0)T,2(1, a 2,

8、 3a)T,限(1, b 2, a 2b)T, 0 (1,3, 3)T ,试讨论当a,b为何值时，(I ) 0不能由oc1, 02 , a3线性表不(n ) B可由01 , 0C2 , «3唯一地线性表木,并求出表木式(in) B可由o1, oc2,出线性表不，但表木式不唯一,并求出表本式(21)(本题满分13分) 设n阶矩阵b b 1(I )求A的特征值和特征向量；(n)求可逆矩阵P,使彳导P 1AP为对角矩阵(22)(本题满分13分)111，P(A|B) ",令321设A, B为两个随机事件，且P(A) -, P(B|A) 4(I )5)(出)X 1， A发生，0, A

9、不发生,丫 0,B发生，B不发生.二维随机变量(X,Y)的概率分布；X与Y的相关系数以丫；-2- .2ZX Y的概率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量X的分布函数为F(x,d )/ a1-X 0,X a,X a,其中参数0, B 1.设X1,X2, ,Xn为来自总体X的简单随机样本，(I)a 1时，求未知参数B的矩估计量；(D)a 1时，求未知参数B的最大似然估计量(出)2 2时，求未知参数a的最大似然估计量2016年考研数学(三)真题解析、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)sin x(1)右 lim -(cosx b) 5,则 a = 1, b =4

10、.x 0ex a 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为lim 网上(cosx b) 5,且lim sin x (cosx b) 0 ,所以 x o ex ax olim (ex a) 0,得a = 1.极限化为x 0sin xxlim (cosx b) lim -(cosx b) 1 b 5,得 b = 4.x 0ex ax 0x因此，a = 1, b = 4.【评注】一般地，已知lim f3 = A, g(x)(1)若 g(x) 0,则 f (x)0;(2)若 f (x)0,且 A 0,则 g(x) 0.(2)设函数f (u , v)由关系式f xg(y) , y = x +

11、 g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且g(y) 0,则上萼1.u vg2(v)【分析】令u = xg(y), v = y,可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可【详解】令u = xg(y),v = y,贝U f (u , v)=ug(v)g(v),所以,f 12fug(v)u vg (v)g2(v)(3)设 f (x)xex1,2 x1,x 21Q22 ,则 2 f (x21)dx【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元: 的积分性质即可.x 1 = t,再利用对称区间上奇偶函数2【详解】令x 1 = t,1 f(x 1)dx211 f(t)dt21 f(x)dt212=21

12、xex dx211i( 1)dx 0 (-)22【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解2二次型"为乃)(为 x2)22 ,(x2 x3)(x3%)的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩或配方法均可得到答案.,亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变换【详解一】因为f(x1,x2,x3)(x x2)2 (x2x3)2 (x3x1)2-2-22x12x22x322x1x22X1X32x2 x3于是二次型的矩阵为由初等变换得从而 r(A) 2,即二次型的秩为2.【详解二】因为f(x1,x2,x3) (x1x2)2(x2、2/x3)(x3x1)22x12

13、_2_22x2 2x32x1x22x1x32x2x32(x12y：11、2x2x3)2 2 2 3322y2 ,3 ,2 (x2x3)2其中y1x112x212x3,y2x2x3.所以二次型的秩为2.(5)设随机变量X服从参数为人的指数分布【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案【详解】由于DXX的分布函数为F(x)1 e0,Q0.PXDXP X DX 1PX【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查,属基本题型.2)，总体Y服从正态分布 N (他，b ),X和Y的简单随机样本,则n1(Xi i 1 E 2X)n22(Yj Y)j 1n1n222 (TXi，X2， Xn1和丫1,丫2

14、, Yn2分别是来自总体Enhn2_MP 丫)2二【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案1n1【详解】因为E (Xi X)【分析】考查极限lim g(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元U x 0 o2,n11 i 1故应填b2.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查 二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分 把所选项前的字母填在题后的括号内)24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,函数f (x)| x|sin(x_2L_在下列哪个区间内有界 x(x 1)( x 2)2(A) ( 1，0).(B) (0，1).(C) (1，2).【分析】如f

15、(x)在(a , b)内连续，且极限lim f(x)与 x a(D) (2,3).lim f(x)存在，则函数 bA f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而lim f (x)x 1sin 318lim f (x)x 0sin 24limx 0sin 2f(x) 7lim f (x), lim f (x)x 1x 2所以,函数f (x)在(,0)内有界，故选(A).【评注】一般地,如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a ,b)内连续，且极限lim f (x)与 limf(x)存

16、在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.(8)设 f (x)在()内有定义,lim f(x) a , xg(x)f (-), xx0 , x(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.可将极限lim g(x)转化为lim f(x).x 0xi'1.1一【详斛】因为 hm g(x) lim f ()lim f (u)= a(令 u 一)，又 g(0) = 0,所以,x 0 x 0 x ux当a = 0时，lim g(x) g(0),即g

17、(x)在点x = 0处连续，当a 0时，x 0lim g(x) g(0),即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性x 0与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性(9)设 f (x) = |x(1 x)|,则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0,0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0,0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0,0)也

18、不是曲线y = f (x)的拐点.C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况 【详解】设 0 < < 1,当 x (, 0)(0 ,)时，f (x) > 0,而 f (0) = 0,所以 x = 0是 f (x)的极小值点.显然，x = 0 是 f (x)的不可导点.当 x (, 0)时，f (x) = x(1 x), f (x)2 0,当 x (0 ,)时，f (x) = x(1 x), f (x) 2 0 ,所以(0,0)是曲线 y = f (x)的拐点.故选(

19、C).f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断【评注】对于极值情况，也可考查(10)设有下列命题：(1)若 (U2n 1U2n)收敛，则 %收敛.n 1n 1(2)若 Un收敛，则Un 1000收敛.n 1n 1(3)若 lim UnA1 ,则 Un 发散.n unn 1(4)若 (Un Vn)收敛，则Un ,Vn都收敛.n 1n 1 n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B)(2) (3).(C)(3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】是错误的，如令Un( 1)n,显然， Un分散，而 (

20、U2n 1 U2n)收敛.n 1n 1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性(3)是正确的，因为由limnun 1un1可得到un不趋向于零(n )，所以 un发散.n 1(4)是错误的，如令Un1，vn n1 一工，皿一,显然， un ,vn都发散，而nn 1 n 1(un vn)收敛.故选(B). n 1【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型(11)设f (x)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) 0,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点 X0 (a,b),使得 f (X0)> f (a).(B)至少存在一点X0(a

21、,b),使得f (xo)> f (b).(C)至少存在一点xo(a,b),使得f (xo) 0.(D)至少存在一点x0 (a,b),使得f(x0) = 0.【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项【详解】首先，由已知f (x)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) 0,则由介值定理,至少存在一点x0 (a,b),使得f (x0) 0;另外，f (a) lim &x3 0,由极限的保号性，至少存在一点x0 (a,b)x a x a使得上(®_flai 0,即f(xo) f(a).同理，至少存在一点 Xo (a,b) xo

22、a使得f (xo) f (b).所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度 (12)设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当 |A| a(a 0)时，|B| a.(B)当 | A | a(a 0)时，|B| a.(C)当 |A| 0 时，|B| 0.(D)当 |A| 0 时，|B| 0. D 【分析】利用矩阵A与B等价的充要条件：r(A) r(B)立即可得.【详解】因为当|A| 0时，r(A) n,又 A与B等价，故r(B) n,即|B| 0,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查，属基本题型. _ (13)设n阶矩阵A

23、的伴随矩阵A 0,若&,&,&, &是非齐次线性方程组Ax b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数 =n r(A),而且n, r(A) n, *r(A )1, r(A) n 1,0, r(A) n 1.*根据已知条件 A 0,于是r( A)等于n或n 1.又Ax b有互不相等的解即解不惟一，故r(A) n 1.从而基础解系仅

24、含一个解向量，即选(B).*【评汪】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查(14)设随机变量X服从正态分布 N(0,1),对给定的a (0,1),数Ua满足PX Ua a,若P| X | x a,则X等于(A) Ua.(B) U a.(C) U1 a.(D)U1 a. C 1 _222【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得【详解】 由P| X | x a,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得PX、1 a x一厂.故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质，严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94

25、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分8分).)求 lim (x 02cos x一一22sin x x).【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可 0【详解】lim (x 012sin xcos2 x2- xlimx (2. 22x sin xcos x22. 20 x sin x2x=lim x 01 . 2 o 一sin 2x44xlimx 02x-sin4x_234x1 cos4xlim 4x 0 6x2limT(4x)2x 0 6x【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于0” 0型极限,应充分利用等价无穷小替换来简化计算(16)(本

26、题满分8分)(x 1)2y2 1所围成的平面区域(如图).求(：x2y2 y)d ，其中D是由圆x2D【分析】首先，将积分区域 D分为大圆Di (x, y) | x2 y2 4减去小圆D2 (x, y) | (x 1)2y2 1,再利用对称性与极坐标计算即可【详解】令 D1 (x,y)|x2 y2 4, D2 (x,y)|(x 1)2 y2 1,由对称性，yd 0.Dx2 y2d 、x2y2dx2 y2dDD1D22r2dr2 cosr2dr.163322)所以，(x2 y2 y)d 16(32).【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂 区

27、域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17)(本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足证明:xaf出xag(t)dt, x a , b)baf出bagdt.bxf (x) dx abxg(x)dx.F(x) = f (x)G(x)xF(t)dt,将积分不等式转化为函数不等式即可ax【详解】令 F(x)= f (x) g(x), G(x) F(t)dt, a由题设 G(x) 0, x a , b,G(a) = G(b) = 0, G (x) F(x).b从而 xF(x)dxabxdG(x) xG(x) abG(x)dx abG(x)dx , a由于 G(x)0, x

28、a , b,故有b G(x)dx 0, ab即 axF(x)dx 0. bb因此 xf (x)dx xg(x)dx. aa【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法 (18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P,其中价格P (0,20), Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性 Ed (Ed > 0);dR .(II)推导降低价格反而使dP Q(1 Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时,收益增加.【分析】由于Ed > 0,所以 EdP dQQ dP;由 Q = PQ 及 EdPdQQ dP可推导dR dP

29、Q(1 Ed).(I) EdPdQQ dPP20 P(II)由R = PQ,得dR cQ dPPdQ dPQ(1”(1Ed).又由EdP20 PP = 10.当 10 < P < 20 时,Ed> 1， dR 八是 0dP故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加【评注】当Ed > 0时，需求量对价格的弹性公式为PdQQ dPP dQQ dP利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:dR (1dRdRdR (1 Ed)Q，dR (11Ed)P ，ER 1 Ed (收益对价格的弹性).Ep(19)(本题满分9分)设级数46>x x2-

30、7 2 4 6 2的和函数为S(x).求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程;(II) S(x)的表达式.S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式【分析】对S(x)进行求导，可得到【详解】(I) S(x)易见 S(0) = 0 ,S(x)x32x52 4x74 6S(x).因此S(x)是初值问题x3_xy , y(0) 0 的解.2(II)方程yx3 一 .xy 的通解为2xdx.e x3e2xdxdx Cx221.2002年考过类似的题(1,2,0)T,%(1, a 2, 3 a)T, 出(1, b 2, a 2b)T,(1,3, 3)T,试讨论当a,b为何值时，(I )

31、B不能由小, 02, OC3线性表示(n)B可由0), oc2, o3唯一地线性表木,并求出表本式(in ) B可由1 ,(22 1 0C3线性表不，但表木式不唯一,并求出表布式.【分析】将B可否由% «2, 他线性表示的问题转化为线性方程组kiai k2 a2卜3购 B是否有解的问题即易求解.【详解】设有数k11k2,k3，使得kl 1 k2 02k3 03(*)记A (如如为).对矩阵(A, B)施以初等行变换,有(A, B)2 a 2 b 230 3a a 2b 3(i)当a 0时，有(A, B)可知r(A)r(A, B).故方程组(*)无解,B不能由伪，a2 , 03线性表示

32、(n)当a 0,且a b时，有1(A, B)10 0 1- a0 10- a0 0 10r(A) r(A, B) 3,方程组(*)有唯一解：,1.1,八k11一，k2一，k30.a a此时B可由的，的, 出唯一地线性表示，其表示式为(出)当a b 0时，对矩阵(A, B)施以初等行变换110 0 1111a(A, B)c ，1a b 10 11-a0 a b 00 000r( A) r (A, B)2,方程组(*)有无穷多解，其全部解为k21c, ak30 可由01, 0(2, 03线性表不'，但表不'式不唯一"c, 其中c为任意常数.其表示式为C1B (1 )四 a

33、【评注】本题属于常规题型(21)(本题满分13分)设n阶矩阵1(一 C) 02C %.a,曾考过两次(1991,2000).(I )求A的特征值和特征向量；(n )求可逆矩阵P,使彳导P 1AP为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题，通常可由求解特征方程| E A| 0和齐次线性方程组(正 A)x 0来解决.【详解】(I)1当b 0时,1 (n 1)b入(1b)n1得A的特征值为1 1 (n 1)b,不对4 1 (n 1)b,1)bJbb(n 1)11bJ(n 1)bb1(n 1)1bb(n 1)b11(n 1)(n111111n 1解得 & (1,1,1,1)T

34、A的属于入的全部特征向量为k&k(1,1,1,1)T(k为任意不为零的常数)对 1b,%E得基础解系为& (1, 1,0,0)T,(1,0, 1,0)T(1,0,0,1)T.故A的属于灰的全部特征向量为(k2, k3 ,kn是不全为零的常数)2 当b 0时,(入1)n,入1 ,任意非零列向量均为特征向量.(n)1当b 0时，A有n个线性无关的特征向量，令P (匕，&,幻，则1 (n1_P 1AP1)b1 b2当b 0时，A E,对任意可逆矩阵P ,均有1 P 1AP E.【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算，齐次线性方程组的求解和矩阵的对角

35、化等问题，属于有一点综合性的试题 .另外，本题的解题思路是容易的 ，只要注意矩阵中含有一个未 知参数，从而一般要讨论其不同取值情况 .(22)(本题满分13分)111人设A, B为两个随机事件，且P(A) -, P(B|A) -, P(A|B)-,令 432X 1. A发生，Y 1,B发生，0, A不发生，0, B不发生.求(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布；(n) X与Y的相关系数次丫;(X,Y)的各取值对转化为随机事(出)Z X2Y2的概率分布【分析】本题的关键是求出(X,Y)的概率分布，于是只要将二维随机变量件A和B表本即可.【详解】(I)因为P(AB) P(A)P(B | A)112是 P(B)P(AB) 1P(A| B) 6则有 PX 1,Y 1P(AB)112，PX1,Y0P(AB)P(A) P(AB)PX0,Y1P(AB)P(B) P(AB)16，112PX0,Y0P(A B)P(A B)1 P(A) P(B)P(AB) I，3PX0,Y0 111212二),12 3即(X,Y)的概率分布为:(n)方法一：因为 EXCov(X,Y)所