经典截长补短法巧解

1、方法二(好证不好想)例题不详解截长补短法截长补短法是几何证明题中十分 重要的方法。通常来证明几条线 段的数量关系。截长补短法有多种方法。截长法：(1)过某一点作长边的垂线(2)在长边上截取一条与某一短 边相同的线段，再证剩下的线段 与另一短边相等。 补短法(1)延长短边。(2)通过旋转等方式使两短边拼 合到一起。例:在正方形 ABCD中，DE=DFDGCE 交 CA于 G, GHAF,交AD于P,交CE延长线于H,请问 三条粗线DG GH CH的数量关系方法一(好想不好证)(第2页题目答案见第3、4页)(1)正方形ABCDK 点E在CD上, 点 F 在 BC上，/EAF=45。求证：EF=DE

2、+BF(1)变形a正方形ABCDK点E在CD延长线上,点F在BC延长线上，/ EAF=45o。请问现在EF、DE BF又有什么数量关 系？(1)变形b请问现在EF、DE BF又有什么数量关 系？(1)变形c正三角形 ABC中，E在AB上，F在AC上 / EDF=45。 DB=DC / BDC=120o请问现在EF、BE、CF又有什么数量关 系？(1)变形d正方形ABCD,点E在CD上，点F在 BC 上，/EAD=15, /FAB=30。AD=3(1)解：(简单思路)正方形ABCDK点E在DC延长线上, 点F在CB延长线上，/ EAF=45o 。求二AEF的面积延长CD到点G使得DG=BF连接A

3、G由四边形ABC此正方形得ADG= ABF=9(0AD=AB又 DG=BF所以：ADGe . ABF (SASGAD= FABAG=AF由四边形ABC此正方形得,DAB=9(= DAF+ FAB=.DAF+ GAD= GAF所以. GAE= GAF- EAF=90° -45 0 =45o由四边形ABC比正方形得.ADE= ABG=90AD=AB又 DE=BG所以 A ADE AABG (SAS EAD= GABAE=AG由四边形ABC比正方形得DAB=90= DAG+ GAB=.DAG+ EAD= GAE 所以 / GAFW GAEZ EAF=90°-45 ° =

4、45°GAF= EAF=46又 AG=AEAF=AF所以 AEA后 A GAF(SASef=gf=bf-bg=bf-de6GAE= FAE=4E又 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF (SASEF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）EF= BF-DE在BC上截取BG使彳导BG=DF连接AG变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG使得DG=BF连接AG由四边形ABC比正方形得ADG= ABF=9(°AD=AB又 DG=BF所以 AADG A ABF (SASGAD= FABAG=AF由四边形ABC比正方形得DAB=90 = . DAG+ G

5、AB=.BAF+ GAB= GAF 所以,GAE= GAF- EAF=90o -45 0 =45oGAE= FAE=45o又 AG=AFAE=AE所以 : EAG ：EAF (SASEF=EG=ED-GD=DE-BFEDB= GDCDE=DG又 DBC=120= EDB+ EDC=GDC+ EDC= EDG 所以 /GDFN EDG/EDF=120o-60 o=60oGDF= EDF=60又 DG=DEDF=DF所以 AGDF EDF(SASef=gf=cg+fc=be+fc变形c解：（简单思路）变形d解：（简单思路）EF=BE+FC延长AC到点G使得CG=BE连接DG由 ABC是正三角形得A

6、BC= ACB=60又 DB=DC BDC=120所以 DBC= DCB=30DBE= ABC+ DBC=60+30o=9OoACD= ACB+ DCB=60+30o=90o所以 GCD=180 - ACD=9(oDBE= DCG=90又 DB=DC BE=CG所以 DBE DCG (SAS延长CD到点G使得DG=BF连接AG过E作EHLAG.前面如(1)所证，ADG ABF . EAG EAF/ GAD= FAB=3(o , SA EAG=S EAF在 Rt AD-GAD=30, AD=3AGD=60, AG=2设 EH=x在 Rt EGhfr和 Rt EHAtAGD=60, HAE=45H

7、G=lx, AH=xAG=2=HG+AH3x+x,EH=x=3- 33S EAF=S EAG=EHAG- 2=3- 3.(第5页题目答案见第6页)(2) 正方形ABCDfr,对角线AC与B攻于。，点E在BD上，AE平分/ DAC 求证：AC/2=AD-EO(2)加强版正方形ABCD, M在CD上，N在DA 延长线上，CM=AN点E在BD上，NE 平分.DNM请问MN AD EF有什么数量关系？(2)解：(简单思路)过E作EGLAD于G因为四边形ABC此正方形/ADC=90, BD平分/ADC AC1 BD所以.ADB= ADC/2=45因为 AE平分 / DAC EOJ_ AC EG1AD 所

8、以.EAO= EAG.DGE= AOE= AGE=90 又 AE=AE所以：AEO AEG (AAS 所以 AG=AO EO=EG又.ADB=45, . DGE=90所以QG助等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2(2)加强版解：(简单思路)MN/2=AD-EF 过E作EG AD于G,彳EQ AB于Q过 B做 BPj_MNT P按照(2)的解法，可求证，GNE : FNE(AAS DGE等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF因为四边形ABC时正方形，ABC= GAQ= BCM=90BD 平分/ABC BC=BA/ ABD= ABC/2=45o ,又 / EQB=90A EQ助等腰Rt三角形，/ BEQ=45因为. GAQ= EGA= EQA=90所以四边形AGEQJ矩形，EQ=AG=AD-E FEQ/AGQEN= ENG又 ENG= ENF 所以 QEN= ENF由 BC=BA BCM= BAN=90 , CM=AN所以 ABCM ABAN(SASBM=B N CBM= ABNABC=90= ABM+ CBM=ABM+ ABN= MBN 又 BM=BN所以AMBN；等腰Rt三角形，又BP_斜边MNT P,所以ANP助等腰Rt三角形。BP=MN/2 NPNB=4E 。BNE=