复习资料(不定积分定积分)资料

1、第四章不定积分一、知识小结1.原函数定义1如果对任一 XI，都有F (x)二f(x)或dF(x)二f(x)dx则称F(x)为f (x)在区间I上的原函数。原函数存在定理：如果函数f (x)在区间1上连续，则f (x)在区间1上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数F(x)，使得对任一 xI，有F (x)二f (x)。注1：设F(x)是f (x)的原函数，则F(x) C也为f (x)的原函数，其中C为任意常数。注 2 :女口果F(x)与G(x)都为f(x)在区间上的原函数，则F(x) -G(x)二 C( C 为常数)(1)若f(x)的导函数是sinx ,则 f(x)有一个原函数为()A. 1 S

2、inx. B.1 - Si nx.C.1 CosxD.1 - Cosx.2. 什么是不定积分?f(x)的全体原函数。exdx =()excA. 2X丄 2B. e cC.ex cD. ex13. 两者的联系与区别？联系：它们的导数相同，都是f (x).区别：不定积分是函数族；原函数是不定积分中的一个函数。4. 由原函数与不定积分的概念可得：1) f (x)dx 二 f (x) dx2) d f (x)dx 二 f (x)dx . F (x)dx = F(x) C4) dF(x)二 F(x) C5) dx 二 x C5. 积分公式1)kdx = kx C（k为常数）；2）=（»式_1）

3、3)dxIn |x| C ；x5)dxarcsinx C ; 6)cos xdx =sin x C7)dxsin xdx - -cosx C ； 8)厂' cos x2=sec xdx = ta n x C9)dxcsc2 xdx = -cot x C ; 10)secxtan xdx = secx Csin x11)cscxcotxdx - -cscx C ； 12) exdx 二 ex C13)xxaa dxC ;14) tan xdx=_|n| cosx| C .ln a15) cotxdx = In |sin x| C .16) secxdx = In |secx tanx|

4、C17) Jcscxdx =1 n |cscx -cot x|.18) -21 dxarctan' C .、a2+x2a a19) 舌dxln|冗1 C20) J ； 1dx=arcsinK+C .a2 -x2a21) 1 _严_ in(x、x2 a2) C x2 七222) J 2 =|n|x+Vx2a2|£6.不定积分的性质性质 1. f (x) g (x)dx 二 f (x)dx 亠 i g(x)dx性质 2 kf (x)dx = k f (x)dx ,( k 为常数，k = 0 )、要点解析1.直接积分法通过简单变形，利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法(1)

5、求 m xndx。解：原式=_+1m+n(2)求 secx(secx-tan x)dx。解:原式=、;s - i工仁-亠匚嗟,则 x2丄exCA.2x C; aB.C.2a2 C;D.丄 d(2ax),2ax C2a ,2ax2a(4 )求1 +cos2xdx。解：dx' 1 +cos2x12 cos2x -1dx12 cos21dx tan x 亠 Cx 2(5)求 ex(ax解：.ex (a右心（ea）(ea)x*2+ arccosx + C In (ea)）。x%/xd. 5x3 CA. 2B.4x7 C7C.D. 7"C2 xex dx）。x2A. e CB.C.(e

6、x -1)+ C1 2x(ex -1) CD. cos2 xdx =(8)2.第一类换元积分法设F(u)为f(u)的原函数，u二(x)可微，则f (x) : (x)dx"f(u)duu=(x)例:dx +1X =4 x41(x4 - 1) +2 2 d (x2)2 - 1(X2)称为第一类换兀积分公式(凑微分)X +2x dx x41=丄1 n x4 +1 +arctanx2 +C4例:tan xdx = sin x dx 二- 一d cosx'cosx 'cosx=-丄du =-1 n |u| Cu-ln|cos x| C即tanx d x ln |c oS| C

7、.类似地可得 cotxdx=ln |sinxC .例:L 1 dx = -(：)1. xX cda r c st nCX、2 aa叫)dx =a r c stnC . -x2a例:=1a1 d =1a r ct nC -1 亠(X)2 a a a a7Jar ct肴nC a a即宀2(1 )求 xe dx。=elfNl*>c(2)泪 2 +sin x2banvl JT +(3)泪 r > - x +2X +51 fd(+2"+5 赛舸MqJH ma+2x+ 5j + c(4)3 + rs-nx L(6)汪-= dx o<cosx尊fIgx dx H (sin x :

8、 dx H - cos 2X .sin xdx H 丄 cos xd(cosx) H 2C0SL x + /cosx cosx /cosxJdx)dx1 X 1 =l n4 x + i1-a r ctxa rC 。23.第二类换元积分法设x =：(t)是单调的可导函数，且在区间内部有< (t) =0，又设ft(t)'-：(t)具有原函数，则f(x)dx = 1- fr (t)P (t)dt L-(x)其中 t ="(x)为 X = t(t)的反函数，称为第二类换元积分公式。2x(1) 求.22 dx(a 0)。Va - xIEIT i解：设x二as血一<u<

9、讣则曲2-W = oco曲dx=acosudu，于是l 22/x2dx2 , , ,2 fl-cos2u a2 sin2u<r , a? 删怡来+c2 a 2 dx (2)求 (x_1)。令汙 tanu (字 < 饥 < 爭、贝！IJ尤2 + = secur dx =sec2uduf 于是 J J cosudu stnu + C =? + £4.分部积分法udv二u v - vdu称为不定积分的分部积分公式。解：xcosxdx = xd sin x = xs i nx-si x d xsin x cosx C例2：求x2exdx解：x2exdx 二 x2dex例 1

10、：求 xcoscdx2 xx 2=x e - e dx= x 求 x2 sin xdx。解：x2 sin xdx 二-x2d cosx 二-x2 cosx 2 xcosxdx = -x2 cosx 2 xd sin xex2 xexdx= x2ex_2(xex_ exdx)二 x2ex 一 2xex 2ex C例 3：求 exs i rxd x解：exsin xdx = sin xdex =exsinx- exdsinx=ex sin x - excosxdx 二 exsinx- cosxdexxxxX Xx二 e sin x-(e cosx - e d cosx)二 e sin x-e co

11、sx-<e sin xdx因此得 2 exsinxdx =ex(sinx-cosx)X1 X即 e sin xdx e (sin x - cosx) C2例 4:求 exdx .2解令 X=t .则.dx=2tdt.于e Xdx =2 tetd2et(t -1) C =2e X ( _ x 1) C .jexdx = Jed &x)2 =2 RGeEd Jx=2 ! Jxde x =2、xe x -2 e xd . x=2 .xe x2e 该 C =2e x(.x1) C(1 )求.xln2 xdx。解：原式J ln2xd ( 一 J xlnxdx -y ln2x - f Inxd (y j - 卽妝畤血十斥必卡届2企+ 1)“2 2=x cosx 2( xs in x - si n xdx) = x cosx 2xs in x 2cosx C(3)求不定